1、 1中考专题复习之正方形知识考点：理解正方形的性质和判定，并能利用它进行有关的证明和计算。精典例题：【例 1】如图，E、F 分别是正方形 ABCD 的边 AB、BC 上的点，且 EFAC，在 DA 的延长线上取一点 G，使AGAD，EG 与 DF 相交于点 H。求证：AHAD。分析：因为 A 是 DG 的中点，故在DGH 中，若 AHAD ，当且仅当DGH 为直角三角形，所以只须证明DGH 为直角三角形（证明略）。评注：正方形除了具备平行四边形的一般性质外，还特别注意其直角的条件。本例中直角三角形的中线性质使本题证明简单。例 1图 HGFEDCBA例 2图 QPEDCBA【例 2】如图，在正方
2、形 ABCD 中，P、Q 分别是 BC、CD 上的点，若PAQ45 0，求证：PB DQ PQ。分析：利用正方形的性质，通过构造全等三角形来证明。变式：若条件改为 PQPBDQ，那么PAQ？你还能得到哪些结论？探索与创新：【问题一】如图，已知正方形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，E 是 AC 上一点，过 A 作 AGEB 于G，AG 交 BD 于点 F，则 OEOF，对上述命题，若点 E 在 AC 的延长线上，AGEB，交 EB 的延长线于点 G，AG的延长线交 DB 的延长线于点 F，其它条件不变，则结论“OEOF”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，说明理由。问 题
3、 一 图 1 OFGEDCBA问 题 一 图 2 OFGEDCBA分析：对于图 1 通过全等三角形证明 OEOF ，这种证法是否能应用到图 2 的情境中去，从而作出正确的判断。结论：（2）的结论“OEOF”仍然成立。提示：只须证明AOFBOE 即可。评注：本题以正方形为背景，突破了单纯的计算与证明，着重考查了学生观察、分析、判断等多种能力。【问题二】操作，将一把三角尺放在边长为 1 的正方形 ABCD 上，并使它的直角顶点 P 在对角线 AC 上滑行，直角的一边始终经过点 B，另一边与射线 DC 相交于点 Q。探究：设 A、P 两点间的距离为 。x（1）当点 Q 在边 CD 上时，线段 PQ
4、与线段 PB 之间有怎样的关系？试证明你观察得到的结论；（2）当点 Q 在边 CD 上时，设四边形 PBCQ 的面积为 ，求 与 之间的函数关系式，并写出函数的定义域；yx（3）当点 P 在线段 AC 上滑行时，PCQ 是否可能成为等腰三角形，如果可能，指出所有能使PCQ 成为等腰三角形的点 Q 的位置，并求出相应的 值；如果不可能，请说明理由（题目中的图形形状大小都相同，供操作用）。x2DCBADCBADCBA分析：（1）实验猜测：PQPB，再利用正方形性质证明；（2）将四边形面积转化为三角形面积求；（3）可能。略解：（1）如图 1，易证 BPPD，12，PQD 1800PQC PBC PD
5、QPBPDPQ问 题 二 图 1 21QPDCBAx问 题 二 图 2 QPDCBA问 题 二 图 3 NMQPDCBA（2）如图 2，易证BOPPEQQEPOAO AP x PCQBPCQSS四 边 形 )(21)(21ECPEBO2)(1x （0 ）2xy（3）PCQ 可能成为等腰三角形。当点 P 与点 A 重合时，点 Q 与点 D 重合，这时 PQQC，PCQ 是等腰三角形，此时 0；x当点 Q 在边 DC 的延长线上，且 CPCQ 时，PCQ 是等腰三角形（如图 3）。此时，QNPM，CN CP ，所以 CQQNCN ，当 时，解得 。x22x112x12x1评注：本题是一道新颖别致的
6、好题，它考查学生实践操作能力和探究问题的能力。跟踪训练：一、填空题：1、给出下面三个命题：对角线相等的四边形是矩形；对角线互相垂直的四边形是菱形；对角线互相垂直的矩形是正方形。其中真命题是 （填序号）。2、如图，将正方形 ABCD 的 BC 边延长到 E，使 CEAC，AE 与 CD 边相交于 F 点，那么 CEFC 。3第 2题 图 EFDCBADCBA第 3题 图 DCBA3、如图，把正方形 ABCD 沿着对角线 AC 的方向移动到正方形 的位置，它们的重叠部分的面积是正方形DABCD 面积的一半，若 AC ，则正方形移动的距离 是2A。4、四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点
7、 O，给出以下题设条件：ABBCCDDA；AOBOCODO；AOCO，BODO ，ACBD；ABBC ，CDDA。其中能判断它是正方形的题设条件是 （把正确的序号填在横线上）。二、选择题：1、如图，把正方形 ABCD 的对角线 AC 分成 段，以每一段为对角线作正方形，设这 个小正方形的周长和为 ，nnp正方形 ABCD 的周长为 ，则 与 的关系式是 。SpA、 B、 C、 D、 与 无关SpSpSp2、如图，在正方形 ABCD 中，DE EC，CDE60 0，则下列关系式：1441；1311；（12）（34）53 中，正确的是（ ）A、 B、仅 C、仅和 D、仅和第 1题 图 DCBA第
8、2题 图 4 321EDCBA第 3题 图 FED CBA3、如图，正方形 ABCD 的面积为 256，点 F 在 AD 上，点 E 在 AB 的延长线上，RtCEF 的面积为 200，则 BE 的值为（ ）A、10 B、11 C、12 D、154、有若干张如图所示的正方形和长方形纸片，表中所列四种方案能拼成边长为 的正方形的是（ ）)(baba数量（张） 卡片方案（1） （2） （3）A 1 1 2B 1 1 14C 1 2 1D 2 1 1三、解答题：1、如图，在正方形 ABCD 中，E 是 AD 的中点，BD 与 CE 交于 F 点，求证：AFBE。2、已知正方形 ABCD 中，M 是
9、AB 的中点，E 是 AB 延长线上一点，MNDM 且交CBE 的平分线于 N。（1）求证：MDMN；（2）若将上述条件中的“M 是 AB 的中点”改为“M 是 AB 上任意一点”，其余条件不变，则结论“MD MN”还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由。第 1题 图 DCBA EF第 2题 图 1 NMD CBA E第 2题 图 2 NMD CBA E3、如图，ABCD 是正方形，P 是对角线上的一点，引 PEBC 于 E，PFDC 于 F。求证：（1）AP EF；（2）AP EF。第 3题 图 P FEAB CD第 4题 图 FEA BCD4、如图，过正方形 ABCD 的顶点
10、B 作 BECA，作 AEAC，又 CFAE，求证：BCF AEB。21跟踪训练参考答案一、填空题：1、；2、 ；3、 ；4、12二、选择题：CDCA三、解答题：1、易证ABFCFB 和BAECDE，由ABFCFB AFBBFC FADDCE；由BAECDE DCEABF。所以DAFEAB，故EHAEAB90 0，AFBE。2、（1）如图 1，取 AD 中点 F，连结 MF，由 MNDM 得DAM90 0，易证12，又因MNBNBE 245 02，DMFAFM145 01，所以DMFMNB，又因 DFBM，所以DMF MNB，故 MD MN。5第 2题 图 1 21NMD CBA E第 2题
11、图 2 21F NMD CBA E第 3题 图 P FEAB CDH321（2）成立，如图 2，在 AD 上取 DFMB，则易知：1 90 0DMA ，又2DMA90 0，12，又DMF 45 01，MNB45 02，DMFMNB，又 DFMB，DMFMNB，故 MDMN。3、略证：延长 AP 与 EF 相交于点 H，连结 PC，因为 BD 是对角线，易证 PAPC，12，根据 PEBC于 E，PFDC 于 F，知 PECF 为矩形，PC EF，且DAH FPH，又因为123，所以在PHF 中，FPH 34190 0，所以PHF 为直角三角形，故 APEF。4、提示：证 AEFC 是菱形，过 A 点作 BE 的垂线构造 300 角的直角三角形。
