全等三角形(历年中考难题).doc

1、红城教育培训学校数学教研组制作制作人：汪皞监制：汪校长 黄校长 童老师全等三角形专题（一） 姓名：1.如图， 平分 于点 ，点 是射线 上的一个动点，OP,MNAOQOM若 ，则 的最小值为（ ）2AQA.1 B.2 C.3 D. 42.如图所示，两块完全相同的含 30角的直角三角形叠放在一起，且DAB=30。有以下四个结论： AF BC ； ADG ACF； O 为 BC 的中点； AG： DE= ：4，其中正确结论的序号是 .（错填3得 0 分，少填酌情给分）3如图，在 RtABC 中，BAC=90，AC=2AB，点 D 是 AC 的中点，将一块锐角为 45的直角三角板如图放置，使三角板斜

2、边的两个端点分别与 A、D 重合，连结 BE、EC试猜想线段 BE 和 EC 的数量及位置关系，并证明你的猜想AB CDE4八（1）班同学上数学活动课，利用角尺平分一个角（如图）.设计了如下方案：（）AOB 是一个任意角，将角尺的直角顶点 P 介于射线 OA、OB 之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与 M、N重合，即 PM=PN，过角尺顶点 P 的射线 OP 就是AOB 的平分线.（）AOB 是一个任意角，在边 OA、OB 上分别取 OM=ON，将角尺的直角顶点 P 介于射线 OA、OB 之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与 M、N 重合，即 PM=PN，过角尺顶点 P 的射线 OP 就是AO

3、B 的平分线.（1）方案（） 、方案（）是否可行？若可行，请证明；若不可行，请说明理由.（2）在方案（）PM=PN 的情况下，继续移动角尺，同时使 PMOA，PNOB.此方案是否可行？请说明理由. （第 6 题）AO NMQP5 （2010 湖南娄底）如图 10，在四边形 ABCD 中，ADBC，E 为 CD 的中点，连结 AE、BE，BEAE，延长 AE 交 BC 的延长线于点 F.求证：（1）FC=AD；（2）AB=BC+AD6 （2010 江苏扬州）电子跳蚤游戏盘是如图所示的ABC，AB=6，AC=7 ，BC=8如果跳蚤开始时在 BC 边的 P0处，BP 0=2跳蚤第一步从 P0 跳到

4、AC 边的 P1（第一次落点 )处，且 CP1=CP0；第二步从 P1 跳到 AB 边的 P2（第一次落点)处，且 AP2=AP1；第三步从 P2 跳到 BC 边的 P3（第三次落点)处，且 BP3=BP2；跳蚤按上述规则一致跳下去，第 n 次落点为 Pn（n 为正整数） ，则点 P2007 与 P2010 之间的距离为（ ）A1 B2 C3 D4AB CP0 P3P2 P1第 8 题7 （2010 安徽蚌埠）在 中， 分别是 上的点， ， 交于点ABED、 ACB、 CDBE2,BEA、，若 ，则四边形 的面积为_。F3ABCSF8 （2010 安徽蚌埠）三角形纸片内有 100 个点，连同三

5、角形的顶点共 103 个点，其中任意三点都不共线。现以这些点为顶点作三角形，并把纸片剪成小三角形，则这样的三角形的个数为_。9.观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第 5 个大三角形中白色三角形有 个 第 1个 第 2个 第 3个10、 （2009 临沂）数学课上，张老师出示了问题：如图 1，四边形 ABCD 是正方形，点 E 是边 BC 的中点，且 EF 交正方形外角 的平行线 CF 于点 F，求证：AE=EF90AEF DCG经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取 AB 的中点 M，连接 ME，则 AM=EC，易证，所以 MC AEF在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1

6、）小颖提出：如图 2，如果把“点 E 是边 BC 的中点”改为“点 E 是边 BC 上（除 B，C 外）的任意一点” ，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图 3，点 E 是 BC 的延长线上（除 C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE =EF”仍然成立你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由A DFC GEB图 1A DFC GEB图 2A DFC GEB图 311、 （2009 年牡丹江）已知 中， 为 边的中点，RtABC 90CD， ， AB90ED

7、F，绕 点旋转，它的两边分别交 、 （或它们的延长线）于 、EDF EF当 绕 点旋转到 于 时（如图 1） ，易证DE12FCCSS 当 绕 点旋转到 不垂直时，在图 2 和图 3 这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予和证明；若不成立， 、 、 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明EFS C ABCSAEC F BD图 1 图 3ADFEC BADBCE图 2F12 （2008 山东泰安）两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图 1 所示放置，图 2 是由它抽象出的几何图形，在同一条直线上，连结 BCE， ， DC图 1 图 2DC EAB（第 22 题）（1）请找出图 2

8、中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母） ；（2）证明： D13、在等边 的两边 AB、AC 所在直线上分别有两点 M、N ，D 为 外一点，且 ,ABC ABC60MDN,BD=DC. 探究：当 M、N 分别在直线 AB、AC 上移动时，BM 、NC、MN 之间的数量关系及120D的周长 Q 与等边 的周长 L 的关系MN图 1 图 2 图 3（I）如图 1，当点 M、N 边 AB、AC 上，且 DM=DN 时，BM、NC、MN 之间的数量关系是 ； 此时 ； LQ（II）如图 2，点 M、N 边 AB、AC 上，且当 DM DN 时，猜想（I）问的两个结论还成立吗？写

9、出你的猜想并加以证明； （III） 如图 3，当 M、N 分别在边 AB、CA 的延长线上时，若 AN= ，则 Q= （用 、L 表示） xxFEDCBA14、已知四边形 中， ， ， ， ， ， 绕ABCDABCDABC120 60MBN B点旋转，它的两边分别交 （或它们的延长线）于 ， EF，当 绕 点旋转到 时（如图 1） ，易证 MN EF当 绕 点旋转到 时，在图 2 和图 3 这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证 明；若不成立，线段 ， 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明，15 正方形 ABCD 中，E 为 BC 上的一点，F 为 CD 上的一点，BE+DF

10、=EF，求EAF 的度数.16、如图，OP 是MON 的平分线，请你利用该图形画一对以 OP 所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图，在ABC 中，ACB 是直角，B=60，AD、CE 分别是BAC 、BCA 的平分线，AD、CE相交于点 F。请你判断并写出 FE 与 FD 之间的数量关系；（2）如图，在ABC 中，如果ACB 不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。（图 1）ABCDFN（图 2）ABCDFMN（图 3）ABCDEFMN(第 23 题图)O PAMNEBC

11、DFA CEFBD图 图 图OED CBA17、如图，已知在ABC 中，B=60，ABC 的角平分线 AD,CE 相交于点 O，求证：OE=OD18、如图，ABC 中，AD 平分BAC，DGBC 且平分 BC，DEAB 于 E，DFAC 于 F. （1）说明 BE=CF 的理由；（2）如果 AB= ，AC= ，求 AE、BE 的长.ab1、如图， 中，AB=2AC，AD 平分 ，且 AD=BD，求证：CDACABCBACEDGFCBACDBA全等三角形难题1.在ABC 中，ABAC，A20，D、E 分别是AB、AC 上的点，DCB50，EBC60，求DEB 的度数。2.在三角形 ABC 中，A

12、B=AC,AD 平分角 ABC 交 AC 于 D，AD+BD=BC，求角 A 的度数。3.在直角三角形ABC 中，BAC=90，AB=AC，点D、E 是直线AC 上的两个动点，且AD=EC，AMBD，垂足为M，AM 的延长线交BC 于N，直线BD 直线NE 相交于点F，试判断三角形DEF的形状，并加以证明。4.如图，在 ABC 中， C = 2 B ， D 是 BC 上的一点，且 AD AB ，点 E 是 BD的中点，连结 AE （1）求证： AEC = C（2）求证： BD = 2AC（3）若 AE = 6.5， AD = 5，那么 ABE 的周长是多少？全等三角形中的动态几何问题汪老师：动

13、态几何题，是指以几何知识和几何图形为背景，渗透运动变化观点的一类试题；而通过对几何图形运动变化，使同学们经历由观察、想象、推理等发现、探索的过程，是中考数学试题中，考查创新意识、创新能力的重要题型；解决这类问题，要善于探索图形的运动特点和规律，抓住变化中图形的性质与特征，化动为静，以静制动本文以中考试题中的全等三角形动态几何题为例，谈谈这类问题的解题思路，供同学们学习时参考例 1 （扬州）在 ABC 中，ACB=90，AC=BC，直线 MN 经过点 C，且 ADMN 于 D，BEMN 于 E（1）当直线 MN 绕点 C 旋转到图 1 的位置时，求证： ADC CEB； DE=ADBE；（2）当

14、直线 MN 绕点 C 旋转到图 2 的位置时，求证：DE=ADBE；（3）当直线 MN 绕点 C 旋转到图 3 的位置时，试问 DE、AD、BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明证明：评注：本题以直线 MN 绕点 C 旋转过程中与 ABC 的 不 同 的 位 置 关 系 为 背 景 设 置 的 三 个 小 题 ， 第 （ 1） 小 题 的 两 个小 题 中 ， 是的台阶，只要证明了，不难得到； 第 （ 1） 小 题 思 路 又 作 为 解 决 第 （ 2） 小 题 的 借鉴； 第 （ 3） 小题 为 探 索 性 问 题 ， 探 索 的 结 论 及 证 明 过 程 可 借 鉴

15、第 （ 1） 、 （ 2） 两 小 题 ， 整 个 试 题 考查了同学们从具体、特殊的情形出发去探究运动变化过程中的规律的能力CBAED图 1NMA BCDEMN图 2ACBEDNM图 3例 2 （锦州）如图 A，ABC 和CEF 是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点 C，连接 AF 和 BE（1）线段 AF 和 BE 有怎样的大小关系?请证明你的结论； （2）将图 A 中的CEF 绕点 C 旋转一定的角度，得到图 B，（1）中的结论还成立吗?作出判断并说明理由；（3）若将图 A 中的ABC 绕点 C 旋转一定的角度，请你画山一个变换后的图形 C（草图即可），（1）中的结论还成立吗?作

16、出判断不必说明理由； （4）根据以上证明、说理、画图，归纳你的发现答：BAABOC全等三角形提高练习1.如图所示，ABCADE，BC 的延长线过点 E，ACB=AED=105，CAD=10，B=50，求DEF 的度数 。A BCFDE2.如图，AOB 中，B=30，将AOB 绕点 O 顺时针旋转 52得到AOB边 AB与边 OB 交于点 C（A不在 OB 上） ，则ACO 的度数为 。3如图所示，在ABC 中，A=90，D,E 分别是 AC,BC 上的点，若ADBEDBEDC,则C的度数是 。DE CBA4.如图所示，把ABC 绕点 C 顺时针旋转 35，得到ABC,AB交 AC 于点 D，若

17、ADC=90，则A= 。BDACBA5已知，如图所示，AB=AC,ADBC 于 D,且 AB+AC+BC=50cm,而 AB+BD+AD=40cm,则 AD= .ABDC6如图，RtABC 中，BAC=90，AB=AC,分别过点 B，C,作过点 A 的直线的垂线 BD,CE,垂足为D,E，若 BD=3，CE=2,则 DE= .D A ECB7如图，AD 是ABC 的角平分线，DEAB,DFAC,垂足分别是 E,F，连接 EF,交 AD 于 G,AD 与 EF垂直吗？证明你的结论。B D CFAE G8.如图所示，在ABC 中，AD 为BAC 的角平分线，DEAB 于 E,DFAC 于 F, A

18、BC 的面积是 28cm2,AB=20cm,AC=8cm,求 DE 的长。AEFB D C9.已知，如图，AB=AE, B=E, BAC=EAD, CAF=DAF. 求证：AFCDB EDFC10.如图，AD=BD,ADBC 于 D,BEAC 于 E,AD 于 BE 相交于点 H，则 BH 与 AC 相等吗？为什么？AAB D CEFGFHA DCEB11.如图所示，已知，AD 为ABC 的高，E 为 AC 上一点，BE 交 AD 于 F ,且有 BF=AC,FD=CD.求证：BEACBAEHDC12DAC, EBC 均是等边三角形，AE,BD 分别与 CD,CE 交于点 M,N,求证：（1）

19、AE=BD (2)CM=CN (3) CMN 为等边三角形（4）MNBCDA C BNM13已知：如图 1，点 C 为线段 AB 上一点，ACM，CBN 都是等边三角形，AN 交 MC 于点 E，BM 交CN 于点 F (1)求证：AN=BM； (2)求证：CEF 为等边三角形；(3)将ACM 绕点 C 按逆时针方向旋转 90 O，其他条件不变，在图 2 中补出符合要求的图形，并判断第（1） 、 （2）两小题的结论是否仍然成立（不要求证明） 14.如图所示，已知ABC 和BDE 都是等边三角形。下列结论： AE=CD；BF=BG；BH 平分AHD； AHC=60 0,BFG 是等边三角形； F

20、GAD。其中正确的有（ ）A 3 个 B 4 个 C 5 个 D 6 个EE15.已知：BD，CE 是ABC 的高，点 F 在 BD 上，BF=AC,点 G 在 CE 的延长线上，CG=AB.求证:AGAFB CDAGEF16.如图：在ABC 中，BE、CF 分别是 AC、AB 两边上的高，在 BE 上截取 BD=AC，在 CF 的延长线上截取 CG=AB，连结 AD、AG。求证：（1）AD=AG，（2）AD 与 AG 的位置关系如何。17.如图，已知 E 是正方形 ABCD 的边 CD 的中点，点 F 在 BC 上，且DAE=FAE.求证：AF=AD+CFAB F CED18.如图所示，已知

21、ABC 中，AB=AC,D 是 CB 延长线上一点，ADB=60，E 是 AD 上一点，且 DE=DB,求证：AC=BE+BCADEB CGHF EDCBA19.如图所示，已知在AEC 中，E=90，AD 平分EAC,DFAC,垂足为 F,DB=DC.求证：BE=CF.ABFCDE20.已知：如图 3-50，AB=DE，直线 AE，BD 相交于 C，BD=180，AFDE，交 BD 于 F 求证：CF=CD21.如图，OC 是AOB 的平分线，P 是 OC 上一点，PDOA 于 D， PEOB 于 E，F 是 OC 上一点，连接DF 和 EF，求证：DF=EF。22.已知：如图，BFAC 于点

22、 F，CEAB 于点 E，且 BD=CD求证：BDECDF 点 D 在A 的平分线上23 如 图 ， 已 知 AB CD， O 是 ACD 与 BAC 的 平 分 线 的 交 点 ， OE AC 于 E， 且 OE 2， 则AB 与 CD 之 间 的 距 离 为 BADCCCEFA BDCOE24.如图，过线段 AB 的两个端点作射线 AM、BN，使 AMBN,按下列要求画图并回答：画MAB、NBA 的平分线交于 E。（1）AEB 是什么角？（2）过点 E 作一直线交 AM 于 D，交 BN 于 C，观察线段 DE、CE，你有何发现？（3）无论 DC 的两端点在 AM、BN 如何移动，只要 D

23、C 经过点 E，AD+BC=AB； AD+BC=CD 谁成立？并说明理由。26. 如图，ABC 的三边 AB、BC、CA 长分别是 20、30、40，其三条角平分线将ABC 分为三个三角形，则 SABOS BCOS CAO等于（ ）A111 B123 C234 D34527正方形 ABCD 中,AC、BD 交于 O,EOF90 o,已知 AE3,CF4,则 SBEF 为.29如图，在 R ABC 中，ACB=45 0，BAC=90 0，AB=AC，点 D 是 AB 的中点，AFCD 于tH 交 BC 于 F，BEAC 交 AF 的延长线于 E，求证：BC 垂直且平分 DE. 30.在ABC 中,ACB90 o,ACBC,直线 MN 经过点 C,且 ADMN 于 D,BEMN 于 E. 当直线 MN 绕点 C 旋转到图的位置时,求证: DEADBE当直线 MN 绕点 C 旋转到图的位置时,求证: DEADBE;当直线 MN 绕点 C 旋转到图的位置时,试问 DE、AD、BE 具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系.