1、 努力+勤奋+信心=成功 戴氏教育集团 1DSE 金牌数学专题系列 经典专题系列第 4 讲矩形、菱形、正方形一、 导入老先生与服务生老先生常到一家商店买报纸，那里的服务生总是一脸傲慢无礼的样子，就连基本的礼貌都没有。做事追求效率固然重要，可是缺乏礼貌一定会流失客人，没有了客人服务速度再快，又有什么用？朋友对老先生说，为何不到其他地方去买？老先生笑着回答：“为了与他赌气，我必须多绕一圈，浪费时间，徒增麻烦，再说礼貌不好是他的问题，为什么我要因为他而改变自己的心情?”大道理：不要因为别人的不好而影响了自己做事情时候的心情，也不要因外界的不如人意而影响了一生的幸福快乐。想想美好的一面，心情也会是很快
2、乐的。二、 知识点回顾矩形、菱形、正方形1.性质：（1）矩形：矩形的四个角都是直角矩形的对角线相等矩形具有平行四边形的所有性质（2）菱形：菱形的四条边都相等菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角具有平行四边形所有性质（3）正方形：正方形的四个角都是直角，四条边都相等正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角2判定：（1）矩形：有一个角是直角的平行四边形是矩形对角线相等的平行四边形是矩形有三个角是直角的四边形是矩形（2）菱形：对角线互相垂直的平行四边形是菱形一组邻边相等的平行四边形是菱形四条边都相等的四边形是菱形（3）正方形：有一个角是直角的菱形是正方形有一组邻边
3、相等的矩形是正方形对角线相等的菱形是正方形对角线互相垂直的矩形是正方形3.面积计算：（1）矩形：S=长宽；（2）菱形： （ 是对角线）12Sl2l、（3）正方形：S=边长 2努力+勤奋+信心=成功 戴氏教育集团 2三、 专题讲解 考点一、特殊平行四边形的性质【例】如图,矩形 ABCD 的对角线相交于点 O，OFBC，CE BD，OE BE=1 3，OF=4，求ADB 的度数和 BD 的长.解：由矩形的性质可知 OD=OC.又由 OEBE=13 可知 E 是 OD 的中点.又因为 CEOD，根据三线合一可知 OC=CD,即 OC=CD=OD，即OCD 是等边三角形,故CDB=60. 所以ADB=
4、30.又由矩形是轴对称图形得 CD=2OF=8,即 BD=2OD=2CD=16.把一张长方形的纸片按如图所示的方式折叠,EM、FM 为折痕,折叠后的 C 点落在 BM或 BM的延长线上,那么EMF 的度数是( )A.85 B.90 C.95 D.100解析：EMF=EMB+FMB= BMC+ CMC= 180=90答案:B2121考点二、 会用“阶梯型”思路判定特殊平行四边形【 例 】 如图,在 RtABC 中，ACB=90，BAC=60，DE 垂直平分 BC，垂足为 D，交 AB 于点 E.又点 F 在 DE 的延长线上，且 AF=CE.求证：四边形 ACEF 是菱形.答案:证明：ACB=9
5、0，DE 是 BC 的中垂线，E 为 AB 边的中点.CE=AE=BE.BAC=60，ACE 为正三角形.在AEF 中，AEF= DEB=BAC=60 ，而 AF=CE，又 CE=AE,AE=AF.AEF 也为正三角形.CAE=AEF=60.AC EF.努力+勤奋+信心=成功 戴氏教育集团 3四边形 ACEF 为平行四边形.又 CE=AC，平行四边形 ACEF 为菱形.如图，在 ABCD 中，E、F 分别为边 AB、CD 的中点，BD 是对角线，AGDB 交 CB 的延长线于 GA（1）求证：ADECBF；（2）若四边形 BEDF 是菱形，则四边形 AGBD 是什么特殊四边形？并证明你的结论【
6、解析】 （1）四边形 ABCD 是平行四边形1=C，AD=CB，AB=CD点 E、F 分别是 AB、CD 的中点，AE= AB，CF= CD2AE=CFADECBF（2）当四边形 BEDF 是菱形时，四边形 AGBD 是矩形四边形 ABCD 是平行四边形，ADBCAGBD，四边形 AGBD 是平行四边形四边形 BEDF 是菱形，DE=BEAE=BE，AE=BE=DE1=2，3=41+2+3+4=180，22+23=1802+3=90即ADB=90，四边形 AGBD 是矩形考点三、作辅助线构造特殊平行四边【例 3】如图 E 是矩形 ABCD 的边 AD 上一点，BE=ED，P 是对角线 BD 上
7、任意一点，PFBE,PGAD,垂足分别为 F,G.求证：PF+PG=AB如图，点 M 是矩形 ABCD 的边 AD 中点，点 P 是 BC 边上一动点，PEMC，PFBM，垂足分别为 E、F ， （1）当四边形 PEMF 为矩形时，矩形 ABCD 的长与宽应满足什么条件？ （2）在（1）中，当点 P 运动到什么位置时，四边形 PEMF 变为正方形？为什努力+勤奋+信心=成功 戴氏教育集团 4么？考点四、会解决与特殊平行四边形有关的动手操作问题【例 4】如图,在一张长 12 cm、宽 5 cm 的矩形纸片内，要折出一个菱形.李颖同学按照取两组对边中点的方法折出菱形 EFGH（见方案一） ，张丰同
8、学按照沿矩形的对角线 AC 折出CAE=DAC，ACF=ACB 的方法得到菱形 AECF（见方案二） ，请你通过计算，比较李颖同学和张丰同学的折法中，哪种菱形面积较大？解：（方案一）S 菱形 =S 矩形 -4SAEH =125-4 6 =30（cm 2）.215（方案二）设 BE=x，则 CE=12-x,AE= .225xABE因为四边形 AECF 是菱形，则 AE2=CE2,25+x 2=(12-x)2.x= .419S 菱形 =S 矩形 -2SABE =125-2 5 35.21(cm2).2149经比较可知，(方案二)张丰同学所折的菱形面积较大.如图，在矩形纸片 ABCD 中，AB=3
9、，BC=6，沿 EF 折叠后，点 C 落在 AB 边上的点3P 处，点 D 落在点 Q 处，AD 与 PQ 相交于点 H，BPE=30努力+勤奋+信心=成功 戴氏教育集团 5（1）求 BE、QF 的长 （2）求四边形 PEFH 的面积【分析】折叠型试题是近年中考试题的热点，要想解好此类题，考生必须有想像力，抓住折叠的角与边不发生变化，必要时需要考生剪一个四边形实际折叠一下帮助理（1）BE=2，QF=1 （2）7 3四、 巩固练习：（1）填空题1如图 1，在菱形 ABCD 中，已知 AB=10，AC=16，那么菱形 ABCD 的面积为_2 （黄冈市）如图 2,将边长为 8cm 的正方形 ABCD
10、 的四边沿直线 L 向右滚动（不滑动） ，当正方形滚动两周时，正方形的顶点 A 所经过的路线的长是_cm(1) (2) (3)3用两个全等的直角三角形拼下列图形：平行四边形；矩形；菱形；正方形；等腰三角形；等边三角形；一定可以拼成的是_（只填序号） 4如图 3，点 E、F 是菱形 ABCD 的边 BC、CD 上的点，请你添加一个条件（不得另外添加辅助线和字母） ，使 AE=AF，你添加的条件是_(5) (6) (7) (8)（2）填空题6 （广安市）正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）A对角线相等 B对角线互相垂直平分 C对角线平分一组对角 D四条边相等7如图 5，在菱形 ABCD 中，E
11、、F 分别是 AB，AC 的中点，如果 EF=2，那么菱形 ABCD的周长是（ ）A4 B8 C12 D168 （江阴市）已知如图 6，则不含阴影部分的矩形的个数是（ ）A15 B24 C25 D169 （潍坊市）如图 7，边长为 1 的正方形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转 30到正方形 ABCD，图中阴影部分的面积为（ ）A B C1- D1-12333410 （淄博市）将一矩形纸片按如图 8 方式折叠，BC、BD 为折痕，折叠后 AB 与 EB 在同一条直线上，则CBD 的度数（ ）A大于 90 B等于 90 C小于 90 D不能确定（3）解答题努力+勤奋+信心=成功 戴氏教育集团 61
12、2 （泉州市）如图，在矩形 ABCD 中，E、F 分别是 BC、AD 上的点，且 BE=DF求证：ABECDF13 （沪州市）如图，在矩形 ABCD 中，点 E 是BC 上一点，AE=AD，DFAE，垂足为 F线段DF 与图中哪一条线段相等？先将你的猜想出的结论填写在下面的横线上，然后再加以证明即 DF=_ （写出一线段即可）14已知：如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与边 AD、BC分别相交于 E、F，求证：四边形 AFCE 是菱形五、 拓展训练15 （河南省）如图，在ABC 中，ACB=90，AC=2，BC=3D 是 BC 边上一点，直线 DEBC 于 D，交AB 于
13、 E，CFAB 交直线 DF 于 F设 CD=x（1）当 x 取何值时，四边形 EACF 是菱形？请说明理由；（2）当 x 取何值时，四边形 EACD 的面积等于 2？考点精练 196 216 +16 3 24BAE=DAF（答案不唯一） 5B（4，0） ， （2 ，2） ，C（4，3） ， （ ） 434,26A 7D 8C 9C 10B 努力+勤奋+信心=成功 戴氏教育集团 712根据 SAS 证ABECDF 13DF=DC证略 14证AOECOF即得 AE FC四边形 AFCE 是平行四边形/又 ACEF，四边形 AFCE 是菱形 15解：（1）ACB=90，ACBC又DEBC，EFAC
14、又AECF，四边形 EACF是平行四边形当 CF=AC 时，四边形 ACFE 是菱形此时，CF=AC=2，BD=3-x，tanB= ，ED=BDtanB= （3-x） ，2323DF=EF-ED=2- （3-x）= x23在 RtCDF 中，CD 2+DF2=CF2，x 2+（ x） 2=22，x= （负值不合题意，舍去） ，613即当 x= 时，四边形 ACFE 是菱形 613（2）由已知得，四边形 EACD 是直角梯形，S 梯形 EACD= （4- x）x=- x2+2x1231依题意，得- x2+2x=2，整理得，x 2-6x+6=0解之，得 x1=3- ，x 2=3+ 13 3x=3+
15、 BC=3，x=3+ 舍去，当 x=3- 时，梯形 EACD 的面积等于 2六、反思总结当堂过手训练 （快练 5 分钟，稳准建奇功）1、如图,工人师傅砌门时,常用木条 EF 固定矩形门框 ABCD,使其不变形,这种做法的根据是( )A.两点之间线段最短 B.矩形的对称性 C.矩形的四个角都是直角 D.三角形的稳定性解析：因钉上 EF 后,构成CEF,根据三角形的稳定性使其不变形.答案: D例 1图 E ODCBA（1 题图） （2 题图） （ 3 题图）2、 如图，已知矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，AEBD，垂足为努力+勤奋+信心=成功 戴氏教育集团 8E，DAEBAE
16、31，EAC= 分析：本题充分利用矩形对角线把矩形分成四个等腰三角形的基本图形进行求解。 解略，答案 450。3、如图是一块矩形 ABCD 的场地，长 AB=102 m，宽 AD=51 m，从 A、B 两处入口的中路宽都为 1 m，两小路会合处路宽为 2 m，其余部分为草坪，则草坪面积为 ( )A.5 050 m2 B.4 900 m2 C.5 000 m2 D.4 998 m2解析：根据平移的性质：平移不改变图形的大小.本题可将两侧的草坪分别向中间平移 1 m，向下平移 1 m，三块草坪拼成了一个长为 100 m，宽为 50 m 的矩形，因此草坪的面积为 10050=5 000 m2.答案:
17、C4、如图，矩形 ABCD 中，M 是 AD 的中点（1）求证：ABMDCM；（2）请你探索，当矩形 ABCD 的一组邻边满足何种数量关系时，有 BMCM 成立，说明你的理由 （1）略 （2）AB= AD 时，BMCM 125、如图,在四边形 ABCD 中，E、F、G、H 分别是 AB、 BC、CD、DA 的中点，请添加一个条件，使四边形 EFGH 为菱形，并说明理由.解：添加条件：对角线相等.理由：连结 AC、BD.在ABC 中，AE=BE，BF=CF，EF 为ABC 的中位线.EF= .同理可得 FG= ，GH= ，HE= .AC21BD21ACBD21又AC=BD（添加条件）,EF=FG
18、=GH=HE.故四边形 EFGH 为菱形.6.如图,已知过平行四边形 ABCD 的对角线交点 O 作互相垂直的两条直线 EG、FH 与平行四边形 ABCD 各边分别相交于点 E、F、G、H. 求证：四边形 EFGH 是菱形.答案:证明：在 ABCD 中，OD=OB，OA=OC，ABCD，OBG=ODE.又BOG=DOE ，OBGODE.OE=OG.同理 OF=OH. 四边形 EFGH 是平行四边形.又EGFH ，四边形 EFGH 是菱形.7、如图,已知平行四边形 ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与边 AD、BC 分别相交于 E、F.求证:四边形AFCE 是菱形.努力+勤奋+信心=成功 戴氏教育集团 9答案:证明：EF 垂直平分 AC,EFAC,AO=CO.四边形 ABCD 为平行四边形,ADBC.AEO= CFO.AOE COF.OE=OF.四边形 AECF 是平行四边形.又ACEF,四边形 AFCE 是菱形.
