1、第 5 讲 找规律(一)这一讲我们先介绍什么是“数列”，然后讲如何发现和寻找“数列”的规律。按一定次序排列的一列数就叫数列。例如，(1) 1，2，3，4，5，6，(2) 1，2，4，8，16，32；(3) 1，0，0，1，0，0，1，(4) 1，1，2，3，5，8，13。一个数列中从左至右的第 n 个数，称为这个数列的第 n 项。如，数列(1)的第 3 项是 3，数列(2)的第 3 项是 4。一般地，我们将数列的第 n 项记作 an。数列中的数可以是有限多个，如数列(2)(4)，也可以是无限多个，如数列(1)(3)。许多数列中的数是按一定规律排列的，我们这一讲就是讲如何发现这些规律。数列(1)
2、是按照自然数从小到大的次序排列的，也叫做自然数数列，其规律是：后项=前项+1，或第 n 项 ann。数列(2)的规律是：后项=前项2，或第 n 项数列(3)的规律是：“1，0，0”周而复始地出现。数列(4)的规律是：从第三项起，每项等于它前面两项的和，即a 3=1+1=2，a 4=1+2=3，a 5=2+35，a 6=3+5=8，a 7=5+8=13。常见的较简单的数列规律有这样几类：第一类是数列各项只与它的项数有关，或只与它的前一项有关。例如数列(1)(2)。第二类是前后几项为一组，以组为单元找关系才可找到规律。例如数列(3)(4)。第三类是数列本身要与其他数列对比才能发现其规律。这类情形稍
3、为复杂些，我们用后面的例 3、例 4 来作一些说明。例 1 找出下列各数列的规律，并按其规律在( )内填上合适的数：(1)4，7，10，13，( )，(2)84，72，60，( )，( )；(3)2，6，18，( )，( )，(4)625，125，25，( )，( )；(5)1，4，9，16，( )，(6)2，6，12，20，( )，( )，解：通过对已知的几个数的前后两项的观察、分析，可发现(1)的规律是：前项+3=后项。所以应填 16。(2)的规律是：前项-12=后项。所以应填 48，36。(3)的规律是：前项3=后项。所以应填 54，162。(4)的规律是：前项5=后项。所以应填 5，1
4、。(5)的规律是：数列各项依次为1=11， 4=22， 9=33， 16=44，所以应填 55=25。(6)的规律是：数列各项依次为2=12，6=23，12=34，20=45，所以，应填 56=30， 67=42。说明：本例中各数列的每一项都只与它的项数有关，因此 an可以用 n 来表示。各数列的第 n 项分别可以表示为(1)an3 n+1；(2)a n96-12n；(3)an23 n-1；(4)a n5 5-n；(5)a nn 2；(6)a nn(n+1)。这样表示的好处在于，如果求第 100 项等于几，那么不用一项一项地计算，直接就可以算出来，比如数列(1)的第 100 项等于 3100+
5、1=301。本例中，数列(2)(4)只有 5 项，当然没有必要计算大于 5 的项数了。例 2 找出下列各数列的规律，并按其规律在( )内填上合适的数：(1)1，2，2，3，3，4，( )，( )；(2)( )，( )，10，5，12，6，14，7；(3) 3，7，10，17，27，( )；(4) 1，2，2，4，8，32，( )。解：通过对各数列已知的几个数的观察分析可得其规律。(1)把数列每两项分为一组，1，2，2，3，3，4，不难发现其规律是：前一组每个数加 1 得到后一组数，所以应填 4，5。(2)把后面已知的六个数分成三组：10，5，12，6，14，7，每组中两数的商都是 2，且由 5
6、，6，7 的次序知，应填 8，4。(3)这个数列的规律是：前面两项的和等于后面一项，故应填( 17+27=)44。(4)这个数列的规律是：前面两项的乘积等于后面一项，故应填(832=)256。例 3 找出下列各数列的规律，并按其规律在( )内填上合适的数：(1)18，20，24，30，( )；(2)11，12，14，18，26，( )；(3)2，5，11，23，47，( )，( )。解：(1)因 20-18=2，24-20=4，30-24=6，说明(后项-前项)组成一新数列2，4，6，其规律是“依次加 2”，因为 6 后面是 8，所以，a 5-a4=a5-30=8，故a 5=8+30=38。(
7、2)12-11=1，14-12=2， 18-14=4， 26-18=8，组成一新数列 1，2，4，8，按此规律，8 后面为 16。因此，a 6-a5a 6-26=16，故 a616+26=42。(3)观察数列前、后项的关系，后项=前项2+1，所以a 6=2a5+1247+195，a 72a 6+1295+1=191。例 4 找出下列各数列的规律，并按其规律在( )内填上合适的数：(1)12，15，17，30， 22，45，( )，( )；(2) 2，8，5，6，8，4，( )，( )。解：(1)数列的第 1，3，5，项组成一个新数列 12，17， 22，其规律是“依次加 5”，22 后面的项就
8、是 27；数列的第 2，4，6，项组成一个新数列15，30，45，其规律是“依次加 15”，45 后面的项就是 60。故应填27，60。(2)如(1)分析，由奇数项组成的新数列 2，5，8，中，8 后面的数应为 11；由偶数项组成的新数列 8，6，4， 中，4 后面的数应为 2。故应填 11，2。练习 5按其规律在下列各数列的( )内填数。1.56，49，42，35，( )。2.11， 15， 19， 23，( )，3.3，6，12，24，( )。4.2，3，5，9，17，( )，5.1，3，4，7，11，( )。6.1，3，7，13，21，( )。7.3，5，3，10，3，15，( )，(
9、)。8.8，3，9，4，10，5，( )，( )。9.2，5，10，17，26，( )。10.15，21，18，19，21，17，( )，( )。11.数列 1，3，5，7，11，13，15，17。(1)如果其中缺少一个数，那么这个数是几？应补在何处？(2)如果其中多了一个数，那么这个数是几？为什么？答案与提示 练习 51.28。2.27。3.48。4.33。提示：“后项-前项”依次为 1，2， 4，8，16，5.18。提示：后项等于前两项之和。6.31。提示：“后项-前项”依次为 2，4，6，8，10。7.3，20。8.11，6。9.37。 提示：a n=n2+1。10. 24，15。提示：
10、奇数项为 15，18，21，24；偶数项为21，19，17，15。11.(1)缺 9，在 7 与 11 之间；(2)多 15，因为除 15 以外都不是合数。第 6 讲 找规律(二)这一讲主要介绍如何发现和寻找图形、数表的变化规律。例 1 观察下列图形的变化规律，并按照这个规律将第四个图形补充完整。分析与解：观察前三个图，从左至右，黑点数依次为 4，3，2 个，并且每个图形依次按逆时针方向旋转 90，所以第四个图如右图所示。观察图形的变化，主要从各图形的形状、方向、数量、大小及各组成部分的相对位置入手，从中找出变化规律。例 2 在下列各组图形中寻找规律，并按此规律在“？”处填上合适的数：解：(1
11、)观察前两个图形中的数可知，大圆圈内的数等于三个小圆圈内的数的乘积的一半，故第三个图形中的“？”=5382=60；第四个图形中的“？”=(212)32=7。(2)观察前两个图形中的已知数，发现有10=8+5-3， 8=7+4-3，即三角形里面的数的和减去三角形外面的数就是中间小圆圈内的数。故第三个图形中的“？”=12+1-5=8；第四个图形中的“？”=7+1-5=3。例 3 寻找规律填数：解：(1)考察上、下两数的差。32-16=16，31-15=16，33-17=16，可知，上面那个“？”=35-16=19，下面那个“？”=18+16=34。(2)从左至右，一上一下地看，由 1，3，5，？，
12、9，知，12 下面的“？”=7；一下一上看，由 6，8，10，12，？，知，9 下面的“？”=14。例 4 寻找规律在空格内填数：解：(1)因为前两图中的三个数满足：256=464，72=612，所以，第三图中空格应填 1215=180；第四图中空格应填 16913=13。第五图中空格应填 2247=32。(2)图中下面一行的数都是上一行对应数的 3 倍，故 43 下面应填433=129；87 上面应填 873=29。例 5 在下列表格中寻找规律，并求出“？”：解：(1)观察每行中两边的数与中间的数的关系，发现 3+8=11，4+2=6，所以，？=5+7=12。(2)观察每列中三数的关系，发现
13、 1+32=7，7+22=11，所以，？=4+52=14。例 6 寻找规律填数：(1)(2)解：(1)观察其规律知(2)观察其规律知：观察比较图形、图表、数列的变化，并能从图形、数量间的关系中发现规律，这种能力对于同学们今后的学习将大有益处。练习 6寻找规律填数：6.下图中第 50 个图形是还是？答案与提示练习 61.5。提示：中间数=两腰数之和底边数。2.45；1。提示：中间数= 周围三数之和3。3.(1)13。提示：中间数等于两边数之和。(2)20。提示：每行的三个数都成等差数列。4.横行依次为 60，65，70，75，325；竖行依次为 40， 65， 90， 115， 325。5.14。提示：(23 5) 2=14。6.。7. 714285；857142。8. 8888886； 98765439。9.36。提示：等于加式中心数的平方。
