1、第 1 页第 4 题 第 5 题 第 6 题第 1 题 第 2 题 第 3 题圆的培优专题 1与圆有关的角度计算一 运用辅助圆求角度1、如图，ABC 内有一点 D，DADBDC，若 DAB ， DAC ，2030则 BDC . （ BDC BAC100 ）122、如图，AEBEDEBCDC，若 C ，则 BAD . （ ）053、如图，四边形 ABCD 中，ABACAD， CBD ， BDC ，则230BAD . （ BAD BAC CAD40 60 100 ）解题策略：通过添加辅助圆，把问题转化成同弧所对的圆周角与圆心角问题，思维更明朗！4、如图， ABCD 中，点 E 为 AB、BC 的垂
2、直平分线的交点，若 D ，60则 AEC . （ AEC2 B2 D120 ）5、如图，O 是四边形 ABCD 内一点，OAOBOC， ABC ADC ，7则 DAO DCO . （所求360 ADC AOC150 ）6、如图，四边形 ABCD 中， ACB ADB ， ADC ，则 ABC .9025（ ABC ADC25 ）第 2 页第 10 题 第 11 题 第 12 题第 7 题 第 8 题 第 9 题解题策略：第 6 题有两个直角三角形共斜边，由直角所对的弦为直径，易得到 ACBD 共圆.二 运用圆周角和圆心角相互转化求角度7、如图，AB 为O 的直径，C 为 的中点，D 为半圆 上
3、一点，则 ADC .ABAB8、如图，AB 为O 的直径，CD 过 OA 的中点 E 并垂直于 OA，则 ABC .9、如图，AB 为O 的直径， ，则 ABC .3C答案：7、45 ； 8、30 ； 9、22.5 ； 10、40 ； 11、150 ； 12、110解题策略：以弧去寻找同弧所对的圆周角与圆心角是解决这类问题的捷径！10、如图，AB 为O 的直径，点 C、D 在O 上， BAC ，则 ADC .5011、如图，O 的半径为 1，弦 AB ，弦 AC ，则 BOC .2312、如图，PAB、PCD 是O 的两条割线，PAB 过圆心 O，若 ， P ，ACD30则 BDC . （设
4、ADC ，即可展开解决问题）x解题策略：在连接半径时，时常会伴随出现特殊三角形等腰三角形或直角三角形或等腰第 3 页第 1 题 第 2 题 第 3 题直角三角形或等边三角形，是解题的另一个关键点！圆的四接四边形的外角等于内对角，是一个非常好用的一个重要性质！圆的培优专题 2与垂径定理有关的计算1、如图，AB 是O 的弦，OD AB，垂足为 C，交O 于点 D，点 E 在O 上，若BED ，O 的半径为 4，则弦 AB 的长是 .30略解：OD AB，AB2AC，且 ACO90 ， BED30 ， AOC2 BED60 OAC30 ，OC OA2，则 AC ，因此 AB .12 23432、如图
5、，弦 AB 垂直于O 的直径 CD，OA5，AB6 ，则 BC .略解：直径 CD 弦 AB， AEBE AB=312OE ，则 CE549253BC 9103、如图，O 的半径为 ，弦 AB CD，垂足为 P， AB8，CD6，则 OP .5略解：如图，过点 O 作 OE AB，OF CD，连接 OB，OD.则 BE AB4，DF CD3，且 OBOD12 12 25OE ，OF(5)()31又 AB CD，则四边形 OEPF 是矩形，则 OP22()15第 4 页第 4 题 第 5 题 第 6 题4、如图，在O 内，如果 OA8，AB 12， A B ，则O 的半径为 .60略解：如图，过
6、点 O 作 OD AB，连接 OB，则 AD AB4，因此，BD8，OD 12 43OB .2(43)75、如图，正ABC 内接于O，D 是O 上一点， DCA ，CD10，则 BC 15略解：如图，连接 OC，OD，则 ODC OCDABC 为等边三角形，则 OCA OCE30 ， ODC OCD45OCD 是等腰三角形，则 OC 52过点 O 作 OE BC，则 BC2CE 66、如图，O 的直径 AB4，C 为 的中点，E 为 OB 上一点， AEC ，CE 的延AB0长线交O 于点 D，则 CD 略解：如图，连接 OC，则 OC2C 为 的中点，则 OC AB，又 AEC ， OCE3
7、0AB60如图，过点 O 作 OF CD，则 OF OC1，CF ，CD2CF12 3237、如图，A 地测得台风中心在城正西方向 300 千米的 B 处，并以每小时 千米的速度沿北偏东 的 BF 方向移10760动，距台风中心 200 千米范围内是受台风影响的区域.问：A 地是否受到这次台风的影响？若受到影响，请求出受影响的时间？解：如图，过点 A 作 AC BF 交于点 C， ABF30 ，则 AC AB150 200，因此 A 地会受到这次台风影响；12 第 5 页如图，以 A 为圆心 200 千米为半径作A 交 BF 于 D、E 两点，连接 AD，则 DE2CD2 ，201507所以受
8、影响的时间为 （时）圆的培优专题 3圆与全等三角形1、如图，O 的直径 AB10，弦 AC6， ACB 的平分线交 O 于 D，求 CD 的长.解：如图，连接 AB，BD，在 CB 的延长线上截取 BEAC，连接 DE ACD BCD，ADBD又 CAD EBD，ACBECADEBD（SAS）CDDE， ADC BDEAB 为O 的直径，则 ACB ADB90BC ； ADC CDB CDB BDE90 ，即 CDE2106890CDE 是等腰直角三角形且 CE14，CD 722、如图，AB 是O 的直径，C 是半圆的中点，M、D 分别是 CB 及 AB 延长线上一点，且MAMD ，若 CM
9、，求 BD 的长.2解：如图，连接 AC，则 ACBC， C90 ，即ABC 是等腰直角三角形过点 M 作 MNAD，则 NMA MAD则CMN 也是等腰直角三角形，则 MN CM 2 ANC MBD135 ，又 MAMD ， D NMA MADAMNBMD （AAS）BDMN23、如图，AB 为O 的直径，点 N 是半圆的中点，点 C 为 上一点，NC .AN3求 BCAC 的值.解：如图，连接 AN，BN，则ABN 是等腰直角三角形在 BC 上截取 BDAC，连接 DNANBN， CAN DBN，ACBDACNBDN（SAS ）第 6 页CNDN， CNA DNB， CND CNA AND
10、 ADN DNB90 ，即CND 是等腰直角三角形CD NC ，26BCAC BCBDCD 4、如图，点 A、B、C 为O 上三点， ，点 M 为 上一点，CE AM 于 E，ACBACAE5，ME3，求 BM 的长.解：如图，在 AM 上截取 ANBM，连接 CN，CM. ，ACBC，又 A BAACNBCM（SAS）CNCM ，又 CE AMNEME3，BMANAENE25、如图，在O 中，P 为 的中点，PD CD，CD 交O 于 A，若 AC3，AD1，ABC求 AB 的长.解：如图，连接 BP、CP ，则 BPCP ， B C过点 P 作 PE AB 于点 E，又 PD CD BEP
11、 CDPBEPCDP （AAS）BECD3+14，PE PD连接 AP，则 RtAEPRtADP （HL ） ，则 AEAD1ABAE+BE56、如图，AB 是 O 的直径，MN 是弦，AE MN 于 E，BF MN 于 F，AB10，MN8.求 BFAE 的值.解：AE MN，BF MN，则 AEBF， A B如图，延长 EO 交 BF 于点 G，则 AOE BOG，AOBO第 7 页AOE BOG（AAS） ，则 OEOG过点 O 作 OH MN，FG2OH，HN4连接 ON，则 ON5，OH ，则 BGAE FG6.23圆的培优专题 4圆与勾股定理1、如图，O 是BCN 的外接圆，弦 A
12、C BC，点 N 是 的中点， BNC ，AB60求 的值.BNBC解：如图，连接 AB，则 AB 为直径， BNA90连接 AN，则 BNAN，则ABN 是等腰直角三角形BN AB；又 BAC BNC ，260BC AB， （方法 2，过点 B 作 BD CN，即可求解）32BNBC 32、如图，O 的弦 AC BD，且 ACBD，若 AD ，求O 半径.解：如图，作直径 AE，连接 DE，则 ADE90 又 AC BD，则 ADB DAC ADB EDB90 DAC EDB，则 ， ，ACDBEAC ACBD， ，则ADDE，即ADE 是等腰直角三角形AE AD4，即O 的半径为 223、
13、如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，D 为 CB 延长线上一点，且CAD ，5CE AB 于点 E，DF AB 于点 F.（1）求证：CEEF；（2）若 DF2，EF4，求 AC.（1）证： AB 为O 的直径， CAD ，5则ACD 是等腰直角三角形，即 ACDC又 CE AB，则 CAE ECB第 8 页如图，过点 C 作 CG 垂直 DF 的延长线于点 G又 CE AB，DF AB，则四边形 CEFG 是矩形， AEC DGC90EFCG，CEDG，则 ECB CDG CAEACEDCG（AAS ） ，则 CECGEF（2）略解：ACCD .246134、如图，AB 为O 的直径
14、，CD AB 于点 D，CD 交 AE 于点 F， .ACE（1）求证：AFCF；（2）若O 的半径为 5， AE8，求 EF 的长（1）证：如图，延长 CD 交O 于点 G，连接 AC直径 AB CG，则ACE CAE ACG，则 AFCF（2）解：如图，连接 OC 交 AE 于点 H，则 OC AE，EHAH AE=412 OH ，则 CH532254设 HF ，则 CFAF4xx则 ， ，即 HF22()EF 15、如图，在O 中，直径 CD 弦 AB 于 E，AM BC 于 M，交 CD 于 N，连接 AD.（1）求证：ADAN；（2）若 AB ，ON1，求O 的半径.42（1）证：C
15、D AB，AM BC C CNM C B90 B CNM，又 B D， AND CNM D AND，即 ADAN（2）解：直径 CD 弦 AB，则 AE2第 9 页又 ANAD，则 NEED如图，连接 OA，设 OE ，则 NEED x1xOAOD 21 ，则22()()xO 的半径 OA3圆的培优专题 5圆中两垂直弦的问题1、在O 中，弦 AB CD 于 E，求证： AOD BOC .180证：如图，连接 AC，AB CD，则 CAB ACD90 又 AOD2 ACD， BOC2 BAC AOD BOC .1802、在O 中，弦 AB CD 于点 E，若O 的半径为 R，求证： AC2BD
16、24R 2.证：AB CD，则 CAB ACD90如图，作直径 AM，连接 CM则 ACM ACD DCM90 CAB DCM， ABCDM ，CMBDAC 2CM 2AM 2AC 2BD 24R 2.3、在O 中，弦 AB CD 于点 E，若点 M 为 AC 的中点，求证 ME BD.证：如图，连接 ME，并延长交 BD 于点 FAB CD，且点 M 为 AC 的中点ME 为 RtAEC 斜边上的中线AMME第 10 页 A AEM BEF又 B C， A C90 BEF B90 ，即 BFE90ME BD.4、在O 中，弦 AB CD 于点 E，若 ON BD 于 N，求证：ON AC.1
17、2证：如图，作直径 BF，连接 DF，则 DF BD，又 ON BD，ONFD，又 OBOFON DF12连接 AF，则 AF AB，又 CD ABAFCD ，则 AC FDACFDON AC125、在O 中，弦 AB CD 于点 E，若 ACBD，ON BD 于 N，OM AC 于 M.（1）求证：ME ON；/（2）求证：四边形 OMEN 为菱形.证：（1）如图，延长 ME 交 OD 于点 FOM AC，则点 M 为 AC 的中点 AB CD，则 ME 为 RtACE 的斜边上中线AMEM， A AEM BEF又 B C， A C90 B BEF90 ，则 BFE90MF BD，又 ON
18、BDMFON第 11 页（2）由（1）知 MFON ，同理可证 OMNE，四边形 OMEN 是平行四边形ACBD，OMON四边形 OMEN 为菱形.圆的培优专题 6圆与内角（外角）平分线一 圆与内角平分线问题往往与线段和有关，实质是对角互补的基本图形1、如图，O 为ABC 的外接圆，弦 CD 平分 ACB， ACB .90求证：CACB CD.2证：如图，在 CA 的延长线上截取 AEBC，连 DE，AD，BDCD 平分 ACB，ADBD又 DAE DBC，AEBCDAE DBC（SAS）CDDE，又 ACD 45CDE 是等腰直角三角形，则 CACBCE CD.22、如图，O 为ABC 的外
19、接圆，弦 CD 平分 ACB， ACB ，求 的值.10CA+CBCD解：如图，在 CA 的延长线上截取 AEBC，连 DE，AD，BDCD 平分 ACB，ADBD又 DAE DBC，AEBCDAE DBC（SAS）CDDE，又 ACD 60CDE 是等边三角形CDCECABC ，即 1CA+CBCD3、如图，过 O、M 的动圆 交 轴、 轴于点 A、B，求 OAOB 的值.(1,)Oyx解：如图，过点 M 作 ME 轴，MF 轴，连 AM、BM第 12 页由 M（1，1）知：四边形 OFME 是正方形OEOF4，EMFM，又 MBF MAE，AEMBFM（AAS） ，则 AEBFOAOBAE
20、OEOFBF8.二 圆中的外角问题往往与线段的差有关4、如图，O 为ABC 的外接圆，弦 CP 平分ABC 的外角 ACQ， ACB .90求证：（1） ；（2）ACBC PC.APB2证：（1）如图，连接 AP，则 PCQ PAB又 PCQ PCA，则 PAB PCA A（2）连接 BP，由（1）得，PAPB在 AC 上截取 ADBC，连 PD，又 PAD PBCPADPBC（SAS ） ，则 PDPC又 PCD45 ，则PCD 是等腰直角三角形， ACBCCD PC. 25、如图，O 为ABC 的外接圆，弦 CP 平分ABC 的外角 ACQ， ACB .10求 的值.BC ACPC解：如图
21、，在 BC 上截取 BDAC，连 AP、BP、DP PCB PCQ PBAAPBP，又 CAP DBPCAP DBP（SAS） ，则 CPDP又 ACB120 ， PCD30 ， BC ACPC CDPC 36、如图，A ，B ， 经过 A、B 、O 三点，点 这 P 为 上动点（异于(4,0)(,)1 AOO、A）.求 的值.PB PAPO第 13 页第 6 题解：如图，在 BP 上截取 BCAPA ，B ，则 OAOB4(4,0)(,)又 OAP OBCOAP OBC（SAS）OCOP ，且 COP AOB90 ，则 .PB PAPO PCPO 2圆的培优专题 7与切线有关的角度计算一 切
22、线与一个圆 答案：1、 ；2、 ；3、 ；4、 ；5、 ；6、080130451、如图，AD 切O 于 A，BC 为直径，若 ACB ，则 CAD .22、如图，AP 切O 于 P，PB 过圆心，B 在O 上，若 ABP ，则 APB .3、如图，PA、PB 为O 的切线， C 为 上一点，若 BCA ，则 APB .A504、如图，PA、PB 为O 的切线， C 为 上一点，AB若 BCA ，则 APB .1505、如图，点 O 是ABC 的内切圆的的圆心，若BAC ，则 BOC .86、如图，PA 切O 于 A，若 PAAB，PD 平分APB 交 AB 于 D，则 ADP . （设元，列方
23、程）二 切线与两个圆7、如图，两同心圆的圆心为 O，大圆的弦 AB、AC分别切小圆于 D、E，小圆的 的度数为 ，A10则大圆的 的度数为 .ABC第 1 题 第 2 题 第 3 题 第 4 题第 5 题第 7 题 第 8 题 第 9 题第 14 页8、如图，O 1 和O 2 交于 A、B 两点，且点 O1 在O 2 上，若 D ，则 C 109、如图，O 1 和O 2 外切于 D，AB 过点 D，若 AO2D ，C 为优弧 上任一点，AB则 DCB . 答案：7、 ；8、40 ；9、 （过点 D 作两圆的切线）14050圆的培优专题 8与切线有关的长度计算1、如图，在O 的内接ACB 中，
24、ABC ，AC 的延长线与过点 D 的切线 BD 交于3点 D，若O 的半径为 1，BD OC，则 CD . （CD ）/ 32、如图ABC 内接于O，ABBC，过点 A 的切线与 OC 的延长线交于 D， BAC，75CD ，则 AD . （AD3）33、如图，O 为BCD 的外接圆，过点 C 的切线交 BD 的延长线于 A， ACB ，75ABC ，则 的值为 . （ ）45CDDB CDDB 24、如图，AB 为O 的直径，弦 DC 交 AB 于 E，过 C 作O 的切线交 DB 的延长线于 M，若 AB4， ADC ， M ，则 CD . （CD ）457235、如图，等边ABC 内接
25、于O，BD 切O 于 B，AD BD 于 D，AD 交O 于 E，O的半径为 1，则 AE . （AE 1）6、如图，ABC 中， C ，BC5，O 与 ABC 的三边相切于 D、E、F，若O90的第 1 题 第 2 题 第 3 题 第 4 题第 15 页半径为 2，则ABC 的周长为 . （C30）7、如图，ABC 中， C ，AC12，BC16，点 O 在 AB 上，O 与 BC 相切于90D，连接 AD，则 BD . （示：过 D 作 DE AB，设 CDDE ，BD10）x解题策略：连半径，有垂直；寻找特殊三角形；设元，构建勾股定理列方程.圆的培优专题 9圆的切线与垂径定理1、如图，A
26、B 为O 的直径，C 为 的中点，CD BE 于 D.AE（1）判断 DC 与O 的位置关系，并说明理由；（2）若 DC3，O 的半径为 5，求 DE 的长.解：（1）DC 是O 的切线，理由如下：如图，连接 OC，BC，则 ABC CBD OCBOCBD，又 CD BEOC CD，又 OC 为O 的半径DC 是O 的切线（2）如图，过 O 作 OF BD，则四边形 OFDC 是矩形，且 BEEFOFCD 3，DF OC 5，EFBF ，DE DFEF 1242、如图，AB 为O 的直径，D 是 的中点，DE AC 交 AC 的延长线于 E，O 的切线ABCBF 交 AD 的延长线于点 F.（
27、1）求证：DE 为O 的切线；（2）若 DE3，O 的半径为 5，求 DF 的长.第 5 题 第 6 题 第 7 题第 16 页（1）证：显然， CAD OAD ODAODAE，又 DE AC，OD DE，又 OD 为O 半径DE 为O 的切线（2）解：如图，过点 O 作 OG AC，则 OGDE 是矩形，即 OGDE3，DEOD5AG ，则 AE549，2532910连接 BD，则 BD AD，BD210(3)设 DF ，则 BF ，DF .x22()210x3x3、如图，四边形 ABCD 内接于O，BD 是O 的直径，AE CD 于 E，DA 平分 BDE.（1）求证：AE 是O 的切线；
28、（2）若 AE2，DE1，求 CD 的长.（1）证：如图，连接 OA，则 ADE ADO OADOACD，又 AE CDOA AE，又 OA 为O 的半径AE 是O 的切线（2）解：如图，过点 O 作 OF CD，则 CD2DF，且四边形 OFEA 是矩形EFOAOD， OFAE2设 DF ，则 ODEF x1x ，22().5CD2CF 34、如图，AE 是O 的直径，DF 切O 于 B，AD DF 于 D，EF DF 于 F.（1）求证：EFADAE；（2）若 EF1，DF 4，求四边形 ADFE 的周长.（1）证：如图，连接 CE，则四边形 CDFE 是矩形第 17 页连接 OB 交 C
29、E 于点 G，DF 是O 的切线OB DF，OB CEBGCDEF ，OGAC，又 AOOEAC2OGEFADACCDEF 2OG2BG2OBAE.（2）解：显然 CEDF4， CDEF 1设 AC ，则 AD ，AE xx2x ，则 ，则 AC3，AD4，AE522()四边形 CDFE 的周长为 14.圆的培优专题 10圆的切线与勾股定理1、如图，已知点 A 是O 上一点，半径 OC 的延长线与过点 A 的直线交于点B，OCBC，AC OB.2（1）求证：AB 是O 的切线；（2）若 ACD ，OC2，求弦 CD 的长.45（1）证：OCOB，AC 为 OAB 的 OB 边上的中线，又 AC
30、 OB1OAB 是直角三角形，且 OAB90 ，又 OA 为O 的半径AB 是O 的切线（2）解：显然，OAOCAC，即OAC 是等边三角形 AOC60 ， D30如图，过点 A 作 AE CD 于点 E， ACD45 ，AEC 是等腰直角三角形，AECE AC OC ，DE AE2236第 18 页CD 622、如图，PA、PB 切O 于 A、B，点 M 在 PB 上，且 OM AP，MN AP 于 N./（1）求证：OMAN；（ 2）若O 的半径 ，PA9，求 OM 的长.3r（1）证：如图，连接 OA，PA 为O 的切线，OA AP，又 MN APOAMN，又 OM AP，/四边形 OA
31、NM 是矩形，即 OMAN（2）解：如图，连接 OB，PB、PA 为O 的切线 OBM MNP90 ，PBPA9OM AP， OMB P，又 OBOA MN，OBM/MNP（ AAS）OMPM，则 32OM 2（9OM ） 2，OM53、如图，AB 为O 的直径，半径 OC AB，D 为 AB 延长线上一点，过 D 作O 的切线，E 为切点，连接 CE 交 AB 于 F.（1）求证：DEDF；（2）连接 AE，若 OF1，BF3，求 DE 的长.（1）证：如图，连接 OEPE 为O 的切线，OE DE，又 OC AB C CFO OEF DEF90又 C OCF， CFO DFE DEF DF
32、E，DEDF（2）解：显然，OEOB OFBF4设 BD ，则 DEDF ，ODx3x4x ，22(3)().5DE7.5第 19 页4、如图，正方形 ABCO 的顶点分别在 轴、 轴上，以 AB 为弦的M 与 轴相切于 F，yxx已知 A ，求圆心 M 的坐标.(0,8)解：如图，连接 FM 交延长交 AB 于点 EM 与 轴相切，即 OC 是M 的切线xEF OC，又四边形 ABCO 是正方形EF AB，又 A（0，8）即 ABEMOA 8 AE4设 MFAM ，则 EM8xx ， ，即 MF522(8)点 M 的坐标为（4，5）圆的培优专题 11圆的切线与全等三角形1、如图，BD 为O
33、的直径，A 为 的中点，AD 交 BC 于 E，过 D 作O 的切线，交ABCBC的延长线于 F. （1）求证：DFEF；（2）若 AE2，DE4，求 DB 的长.（1）证：如图，连接 ABBD 为O 的直径，DF 为O 的切线 BAD BDF90 ABC AEB ADB FDE90又 ABC ADB， AEB DEF DFE DEF，DEEF（2）解：如图，过点 F 作 FG ED，则 EGGD2AE，又 BAE FGE90 ， AEB GEF，ABEGFE（ASA） ，BEEF，即 DE 为 RBDF 的斜边上中线第 20 页DFEF DE 4，BF8，则 BD 432、如图，AB 为O
34、的直径，C 、D 为O 的一点，OC AD，CF DB 于 F.（1）求证：CF 为O 的切线；（2）若 BF1，DB 3，求O 的半径.（1）证：AB 为O 的直径DF AD，又 OC ADOCDF ，又 CF DBOC CF，又 OC 为O 的半径CF 为O 的切线（2）解：如图，过点 C 作 CE BD 于点 E，则 BEDE1.5，EF2.5又 OC CF，CF EF四边形 OCFE 是矩形O 有半径 OCEF 2.53、如图，以O 的弦 AB 为边向圆外作正方形 ABCD. （1）求证：OCOD ；（2）过 D 作 DM 切O 于 M，若 AB2，DM ，求O 的半径.2（1）证：如
35、图，连接 OA、OB，则 OAOB OAB OBA四边形 ABCD 是正方形ADBC ， DAB CBA90 OAD OBCOADOBC（SAS ）OCOD（2）解：如图，连接 OM、BD，则 OM DM，且 BD AB DM2又 OMOB，OD OD，ODMODB （SSS）OB BD，又 ABD45 OAB45 ，即OAB 是等腰直角三角形OA AB2第 21 页4、如图，在ABC 中，ACBC， ACB ，以 BC 为直径的O 交 AB 于 D.90（1）求证：ADBD；（2）弦 CE 交 BD 于 M，若 ，求 .3ABCMSABDCE（1）略证：连接 CD，则 CD AB又 ACBC
36、， ACB ，ADBD90（2）解：如图，连接 BE，过 A 作 AN CE 于 N， ，3ABCMS2CBMSAAN2BE CAN BCE，ACBC ， ANC CEBANCCEB（AAS）BECN，CEAN设 CNBE ，则 CEANBE ，x2xBC ，AB BC ，即 BD510102x .BDCE 104圆的培优专题 12圆的切线与等腰三角形1、如图，在ABC 中，ABAC，以 AB 为直径的O 与边 BC 交于 D，与边 AC 交于E，过 D 作 DF AC 于 F.（1）求证：DF 为O 的切线；（2）若 DE ，AB 5，求 AE 的长.（1）证：如图，连接 AD，OD，AB
37、为O 的直径，AD BC，又 ABAC，OAOB EAD DAB ADOODAC，又 DF ACOD DF，又 OD 为O 的直径DF 为O 的切线第 22 页（2）解： EAD DAB，BDDE ，又 AB5，AD25()5DFAC AD CD，DF 2，CF EF ，AE52352()12、如图，在ABC 中，ABAC，以边 AB 为直径作 O，交 BC 于 D，过 D 作 DE AE.（1）求证：DE 是O 的切线；（2）连接 OC，若 CAB ，求 的值.0DEOC（1）证：如图，连接 AD，OD，则 AD BC又 ABAC，CDBD，又 AOOBODAC，又 DE AEOD DF，D
38、E 是O 的切线；（2）解：如图，过点 O 作 OF BD 于 F，则 BD2BFABAC， CAB ， B30120设 OF ，则 BF ，OB ，x3xACAB ，CDBD ，则 CF43x由勾股定理，得 OC ，由面积法，得 DE ， .27xDEOC 2143、如图，ABAC，点 O 在 AB 上，O 过点 B，分别交 BC 于 D、AB 于 E，DF AC.（1）证：DF 为O 的切线；（2）若 AC 切O 于 G， O 的半径为 3，CF 1，求 AC.（1）证：如图，连接 OD， ABAC，OBOD B C ODBODAC，又 DF ACOD DF，又 OD 为O 的半径DF 为
39、O 的切线（2）解：如图，连接 OG，AC 为O 的切线OG AC，又 OD DF，DF AC，OGOD四边形 ODFG 是正方形，即 OBOGGF3第 23 页设 AG ，则 ABAC ，则 AOx4x1x ， ，则 AC8232(1)4、如图，CD 是O 的弦，A 为 的中点，E 为 CD 延长线上一点，EG 切O 于 G.CD（1）求证：KGGE；（2）若 AC EG， ，AK ，求O 的半径./DKCK 35 210（1）证：如图，连接 OG，OA 交 CD 于点 FA 为 的中点，EG 是O 的切线OA CD，OG GE OAG AKF OGA EGK又 OAG OGA， AKF E
40、KG EGK EKGKGGE（2）解：ACEG， CAK EGK，又 EGK EKG CKA CAK CKA，CACK设 CKCA ，则 DK ，CD ，CF ，EG5x3x8x4xAF 2()4在 RtAFK 中， ，22(10)CE8，AE6，设O 的半径为 R，则 R28 2（R 6） 2， R253圆的培优专题 13圆与三角形的内心1、如图，AB 是O 的直径， ，点 M 为 BC 上一点，且 CMAC.ACE（1）求证：M 为ABE 的内心；（2）若O 的半径为 5，AE 8，求BEM 的面积.（1）证：如图，连接 CE，则 ACCE CM CME CEM， CEA CBE CBE
41、BEM CEA AEM AEM BEM，又 ABC CBE点 M 为ABE 的内心.第 24 页（2）解：如图，过点 M 作 MN BE 于点 N，则 MN 为ABE 的内切圆的半径.AB10，AE 8，则 BE 21086MN ， MN 2 61022abcaBME 的面积为 626.2、如图，O 为ABC 的外接圆，BC 为直径，AD 平分 BAC 点 M 是ABC 的内心.（1）求证：BC DM；（2）若 DM ，AB 8，求 OM 的长.5（1）证：如图，连接 BD，CD，BC 为直径，AD 平分 BACBDCD， BDC90 ，BC CD2连接 CM，则 ACM BCM， DAC B
42、CD DMC ACM DAC BCM BCD DCM，DMCD，即 BC DM2（2）解：显然，BC DM10，AB8，则 AC6，且 MAE45 如图，过 M 作 ME BC 于点 N，作 MF AC 于点 F，则 MEMFAF2 CFCE4，则 OE1OM .253、如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，D 是 的中点，DE AB 于 E，I 是ABCABD的内心，DI 的延长线交 O 于 N.（1）求证：DE 是O 的切线；（2）若 DE4，CE 2，求O 的半径和 IN 的长.（1）证：D 是 的中点，OAODABC CAD DAO ADOODAE，又 DE ABOD DE，又 OD 为O 的半径第 25 页DE 是O 的切线.（2）解：如图，过点 O 作 OF AC，则 AFCFDE AB，OD DE四边形 ODEF 是矩形，则 OFDE4设O 的半径为 R，则 OAODEFR ，AFCFR2（R2） 24 2 R2，R5，AB10，如图，连接 BI，AN，BN，则 INBNAN 54、如图，在ABC 中，ABAC，I 是ABC 的内心，O 交 AB 于 E，BE 为O 的直径.（1）求证：AI 与O 相切；（2）若 BC6，AB5，求O 的半径.（1）证：如图，延长 AI 交 BC 于点 D，则 AD BC，连接 OI，则 OIB O
