1、第零章 数学准备 一 泰勒展开式 1 二项式的展开 m23mm-1 mm-1 m-2fx 1 x 1 mx+ x x23 ！2 一般函数的展开 2300 000 0 0fx fx f xf x f x x-x x-x x-x12 3! ！特别:00x 时, 23f0 f0 f 0fx f012 3!xx x ！3 二元函数的展开 (x=y=0 处 ) 00fffx y f0 x+ yxy ，2220001f f fx2 xy+ y2x xy y ！评注：以上方法多用于近似处 理与平衡态处的非线性问题向线 性问题的转化。在理论力问题的简单处理中，一般只需近似到三阶以内。 二 常微分方程 1 一阶
2、非齐次常微分方程： xxy+P y=Q 通解：Pxdx Pxdxye c Qxe dx注： ,PxdxPxdx Qxe dx积分时不带任意常数，xQ 可为常数。 2 一个特殊二阶微分方程 2y Ay B 通解：02By=K cos Ax+A 注：0,K 为由初始条件决定的常量 3 二阶非齐次常微分方程 xyayby f 通解：*yyy； y为对应齐次方程的特解，*y 为非齐次方程的一个特解。 非齐次方程的一个特解 （1） 对应齐次方程 0yayby 设xye 得特征方程2ab0 。解出特解为1 ，2 。 *若12R 则1x1ye ，2x2ye ；12xx12yce ce *若12R 则1x1y
3、e ，1x2yxe ； 1x12ye(c xc) *若12i 则x1yecosx ，x2yesinx ；x12ye(ccosxcsinx) （2） 若2000xfaxbxc为二次多项式 *b 0 时，可设*2yAxBxC *b 0 时，可设*32yAxBxCxD 注：以上1c ,2c ,A,B,C,D 均为常数，由初始条件决定。 三 矢量 1 矢量的标积 xx yy zzAB=BA=ABcos=AB+AB+AB注：常用于一矢量在一方向上的投影 2 矢量的矢积 nxyzxyzijkAB=-(BA)=ABsine=A A ABBB xy zy zx xz xy yx(A B A B )i (A B
4、 A B ) j (A B A B )k 四 矩阵 此处仅讨论用矩阵判断方程组解的分布情形。 11 1 12 2 13 321 1 22 2 23 331 1 32 2 33 3ax ax ax 0ax ax ax 0ax ax ax 0令11 12 1321 22 2331 32 33aaaDaaaaaa*D=0时，方程组有非零解 *D0时，方程只有零解 第一 章 牛顿 力学的 基本定 律万丈高楼 从地起。整个力 学大厦的地基将 在此筑起，三百 年的人类最高科 学智慧结晶将飘 来他的古朴 与幽香。 此时矢量言语将 尽显英雄本色， 微积分更是风光占尽。 【要点分析与总结】1质点运动的描述（ 1
5、） 直线坐标系r xi yj zkr xi yj zka r xi yj zk = + += = + += = = + +r r rr r r rr re,e,e;e,e,e;e,e,e. rrrr r r r r r r r r矢量微分：r k rk rk k kde e e edtde e e edtde e e 0dt = = = =r r r r( )02xx xdV 0dx= 此时势能处极小处mV且能量满足 MmV E 00 EV E+&gC gC gC2t 2t 2t3m m mgCa 8ge (1 e ) (1 e ) 0m = + ，大环将升起；此时角 是多少？解 ： 小环因重
6、力对 m 的压力 Nm gcos= 。 而小环运动所需向心力必由m 对 m 的弹力 F与重力提供，满足： 2mNF r+ = （法向）又依能量守恒知： 21m m g(1 cos )2 = 且依两环的对称性知，大环受合力向上，且大小为：2mF 2 N)cos 22m g(1 cos ) m gcos cosr = = 合 （当大环升起须满足： F m g合故得方程：2m g(2 3cos )cos m g 2 2m 1 1 13cos 2cos 3(cos )2m 3 3 3 当满足 3mm 2 时，升起时角度满足 2 m3cos 2cos 02m + （等效势能： () ()22r rmhU
7、Vr=+）再利用 () ()rr dVFdr=可导出： 3n (1)(1)(1)eeeLL椭 圆抛 物 线双 曲 线析通过 E与 0的关系，即可判断天体运动的轨迹曲线【解题演示】 1质点在有心力 ()rF的作用下运动 ， 质点速度的大小为 ar=， 这里 a是常数 。 已知 0=时0rr=， 速度与矢量间夹角为 。 求质点的轨道方程。 解 :rrere=+r& & 且 cotrr =&又因为 drrd=&故上式转化成 cotdrdr =积分并代入初始条件得0lncotrr=即： cot0rre=2木 星 轨 道 的 半 长 轴 长 度 是 5.2天 文 单 位 （ 1个 天 文 单 位 为81
8、.510km） 。 求出 （ 1） 木星绕太阳运动的周期 ； （ 2） 木星的平均轨道速率。已知地球的平均轨道速率是 29.8kms。解 ： （ 1）依开普勒第三定律 :木星与地球的周期联系为 ：2 3()()Taa=木 木地 地（注 :a地 为 1.0天文单位）325.2() 11.8611.861T TT= = 木 地 地 年（ 2） 5.211.86RRT=木 木 木 木 地地 地 地 地 木则 : 5.25.229.813.0711.8611.86kmkms s= = 木 地顺便证明开普勒第二第三定律 :（ 1） 单位时间内扫过的面积2 21 112rdr hAdt= =& &dAdt
9、（ 2） 周期： 222dtTdtdAdAdAabhhh= 322 2aapakpk = =3月球的质量和半径分别是 0.0123emm= 和 0.273eRR=， 其中 ,eemR分别是地球的质量和半径。试求（ 1）月球表面处的重力加速度 ； （ 2）若在月球表面发射火箭 ， 使之脱离月球 ， 则火箭的发射速度至少是多少？解 ： （ 1） 22 2 22(0.0123)0.01230.1651.62(0.273)(0.273)e ee eGm GmGM mg g sR R R= = 地（ 2）脱离月球初动能： 212GMmm gRR=得：6 3221.620.2736.4102.3810m
10、mVgR s s= 4如果质点受到的有心力为 223( )rFmerr=+r ，式中 m及 都是常数 ，并 且2h。 Z为原子序数 。 试讨论电子在上述势场中作圆轨道运动时的稳定条件。 解：电子运动时的等效势能() ()2 22 2 rar rmh mhkUV er rr=+=稳定条件： () 23 2( ) 0rr adUmhkkedrrrar=+=得： 22( )rarmhkrea=+()2 22 4 3 2 23 211( ) ( ) 0r rr a adUmh kkk e edrr rarrar =+ +得： 2 20rara无意义）12 地球轨道的偏心率 0.167e=。 今若沿其半
11、短轴将椭圆轨道分割为两半，证明地还需在这两个半轨道运行的时间分别为： 1( )2eT =，计算一下它们相差多少天？ 证 明 :（ 几 何 法 ,开 普 勒 第 二 定 律 ） ,分 割 点 到 日 心 连 线 与 弧 线 围成面积1 12 ( )( )2 2 2abbcc eAabbcA AAaba = =1( )2A cT Aa =相差 20.01673653.883.14et T dd+ = 13 质量为 m的质点在有心斥力场 3mcr中运动 ， 式中 r是力心到质点的距离。 c为常数。当质点离力心很远时，质点的速度为 r， 瞄准距离是 。试求质点与力心间可能达到的最近距离 d。解：依能量
12、与动量守恒可得：2 2 23 211 1( )22 2dmmd mcmcmm drmr d =+ =+ 可解得： 12 22( )cd=+14 试求出上题中质点受力心散射后的散射角 ， 并求出微分散射截面。解 :依题知 ,散射舅迹为双曲线 ,从（ 8）题知：2 21 1cos(1)cos(1)r k cA Amh h = = +且 0A。 0=是取距离最近时力心与双曲线焦点连线。又知： 2=时 r即：21.22ch+ =得： 22 22hhc c = =+ +又由于散射截面 2dd=，且由上式可得： 22()( )c=则 :22 2()( )d cd=得：3 222 2 22 2() ()2
13、( ) ( )sinc cdd d d = = 即 微分散射截面 : 222 2()( )sind cd =15 在光滑水平桌面上 ， 两个质量分别为 ,m的质点由一不可伸长的绳联结 ， 绳穿过固定在水平桌面上的光滑小环 ， 如图所示 。 若 m与小环相距d时获得垂直于绳的初速度，试写出质点 m的轨道微分方程 ，并解出它的运动轨道方程。解 :由于小环光滑 ,则 : ()rFrrm=& 故比内方程可写为：2 222 222 2( )du dumhuumrmhud d +=&得：22dumud=+即： 1 1cos( )ru mA = +又因为 0=时 rd=， 得： cos( )dr m= +（ 注 :此处 ()rmrmrF=& & ）16 质量为 m质点 A， 轩于光滑的水平桌面上运动 ， 如图所示 。 此质点系有一根轻绳 ， 绳子穿过桌面 O处的光滑小孔下垂 ， 并挂有一同样质量的质点 B。若质点 A在桌面上离小孔距离为d处，沿垂直于绳子方向以初速率 ( )129gd= 射出 ， 证明质点在此后运动离 O点距离必 在d到 3d之间。16解 :设绳对B的拉力为 T， A距孔为 r， 有( )2mrr TTgmr=& &可得22rr g=&代入： ( ) 11 3222 9 9gdgdhrd = = &得：232hr gr=& （注： drrrdr=&）
