1、1 第五章2 本章讨论把一个n元二次齐次多项式化为仅含有完全平方项的和的形式，并研究有关的性质。3 1 1 二次型及其矩阵表示 二次型及其矩阵表示 2 2标准形 标准形 3 3 唯一性 唯一性 4 4 正定二次型 正定二次型4 问题的提出 问题的提出 二次型的定义及矩阵表示 二次型的定义及矩阵表示 线性变 线性变 ( ( 替 替 ) ) 换 换 合同矩阵 合同矩阵 1 1 二次型及其矩阵表示 二次型及其矩阵表示5 解析几何中, 为了便于研究二次曲线 ) 2 ( , cos sin , sin cos y x y y x x 把方程化为标准形 . 1 2 2 y n x m 我们可以选择适当的角
2、度 ，作转轴 ax 2 + 2bxy + cy 2 = f (1) (反时针方向转轴) 一、问题的提出 一、问题的提出6 (1) 式的左边是一个二次式, 就是通过线性变换(2)化简一个二次齐次多项式, 使它只含有平方项. 化标准式的过程 这在许多理论问题或实际问题中常会遇到. ax 2 + 2bxy + cy 2 = f (1) cos sin , (2) sin cos , xx y yx y . 1 2 2 y n x m 就是一个二次齐次式、组合预测的误差平方和 型及其标准形、正定二次型及其应用。 在经济管理的许多实际问题中，也常常遇到n 元二次齐次式的问题。如组合证券投资的风险 也是二
3、次齐次式等。本章我们讨论一般n元二次 现在讨论 n 个变量的二次齐次多项式的化简问题.7 f f ( ( x x 1 1 , , x x 2 2 , , , , x x n n ) = ) = a a 11 11 x x 1 1 2 2 + + a a 22 22 x x 2 2 2 2 + + + + a a nn nn x x n n 2 2 + 2 + 2 a a 12 12 x x 1 1 x x 2 2 + 2 + 2 a a 13 13 x x 1 1 x x 3 3 + + + 2 + 2 a a 1n 1n x x 1 1 x x n n + + . . + 2 + 2 a a
4、 n n- -1, 1,n n x x n n- -1 1 x x n n 称为 称为 数域 数域 P P 上的一个 上的一个 n n 元二次型， 元二次型， 简称 简称 二次型 二次型 . . 1. 1. 定义 定义 设 设 P P 是一数域，一个系数在数域 是一数域，一个系数在数域 P P 中 中 的 的 x x 1 1 , , x x 2 2 , , , , x x n n 二次齐次多项式 二次齐次多项式 二、二次型的定义及矩阵表示 二、二次型的定义及矩阵表示8 22 4 xx yy 22 2 11 21 31 2 323 34675 xx xx xx x xxx 22 11 23 5
5、xx xx 下列式子中哪些是二次型 下列式子中哪些是二次型 ? ?9 ; , 称为 是复数时 当 f a ij 复二次型 二次型 二次型 f f ( ( x x 1 1 , , x x 2 2 , , , , x x n n ) = ) = a a 11 11 x x 1 1 2 2 + + a a 22 22 x x 2 2 2 2 + + + + a a nn nn x x n n 2 2 + 2 + 2 a a 12 12 x x 1 1 x x 2 2 + 2 + 2 a a 13 13 x x 1 1 x x 3 3 + + + + 2 2 a a 1n 1n x x 1 1 x x
6、 n n + + + 2 + 2 a a n n- -1, 1,n n x x n n- -1 1 x x n n . , 称为 是实数时 当 f a ij 实二次型10 2. 2. 二次型的矩阵表示 二次型的矩阵表示 设有二次型 f(x 1 , x 2 , , x n ) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 +a nn x n 2 + 2a 12 x 1 x 2 + 2a 13 x 1 x 3 + + 2a n-1,n x n-1 x n . 令 a ij = a ji , i j . 由于 x i x j = x j x i , 所以二次型可以写成11 = a 11 x 1
7、 2 + a 12 x 1 x 2 + + a 1n x 1 x n + a 21 x 2 x 1 + a 22 x 2 2 + + a 2n x 2 x n + a n1 x n x 1 + a n2 x n x 2 + + a nn x n 2 n i n j j i ij x x a 11 . 把上式的系数排成一个 n n 矩阵 f(x 1 , x 2 , , x n )12 , 2 1 2 22 21 1 12 11 nn n n n n a a a a a a a a a A 称 A 为 二次型的矩阵 二次型的矩阵. 因为 a ij = a ji , i , j = 1, 2, ,
8、n , 所以 A = A T . 因此， 二次型的矩阵都是对称矩阵 二次型的矩阵都是对称矩阵 . .13 令 , 2 1 n x x x X 因为 n nn n n n n n x x x a a a a a a a a a x x x AX X 2 1 2 1 2 22 21 1 12 11 2 1 T ) , , , (14 n nn n n n n n x x x a a a a a a a a a x x x AX X 2 1 2 1 2 22 21 1 12 11 2 1 T ) , , , ( n nn n n n n n n n x a x a x a x a x a x a x
9、 a x a x a x x x 2 2 1 1 2 2 22 1 21 1 2 12 1 11 2 1 ) , , , ( n i n j j i ij x x a 11 .15 所以二次型可表示成 f f ( ( x x 1 1 , , x x 2 2 , , , , x x n n ) = ) = X X T T AX AX . . 这就是二次型的矩阵表示形式. 应该看到，二次型的矩阵 A 的元素，当 i j 时 a ij = a ji 正是它的 x i x j 项的系数的一半，而 a ii 是 x i 2 项的系数， 决定的. 因此二次型和它的矩阵是相互唯一 . 的秩 的秩叫做二次型
10、对称矩阵 f A ; 的矩阵 叫做二次型 对称矩阵 f A ; 的二次型 叫做对称矩阵A f16 因此二次型和它的矩阵是相互唯一 决定的. 由此，若二次型 f (x 1 , x 2 , , x n ) = X T AX = X T BX 且 A T = A，B T = B， 则 A = B .17 例 例 1 1 已知二次型 , 4 ) ( 2 2 y xy x x,y f 写出二次型的矩阵 A. . 1 2 2 1 y x X , A 解 解设 f = X T AX , 则18 例 例 2 2 已知二次型 , 4 8 6 4 2 4 3 ) ( 4 2 3 2 4 1 3 1 2 1 2 4
11、 2 3 2 2 2 1 4 3 2 1 x x x x x x x x x x x x x x ,x ,x ,x x f 写出二次型的矩阵 A. . 4 0 2 3 0 1 4 2 2 4 3 1 3 2 1 1 A 解 解设 f = X T AX , 则19 1. 1. 定义 定义 设 设 x x 1 1 , , x x 2 2 , , , , x x n n ； ； y y 1 1 , , y y 2 2 , , , , y y n n 是 是 两组变量， 两组变量， ) 4 ( , , 2 2 1 1 2 2 22 1 21 2 1 2 12 1 11 1 n nn n n n n n
12、 n n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 系数在数域 系数在数域 P P 中的一组关系式 中的一组关系式 三、线性变 三、线性变 ( ( 替 替 ) ) 换 换20 称为由 称为由 x x 1 1 , , x x 2 2 , , , , x x n n 到 到 y y 1 1 , , y y 2 2 , , , , y y n n 的一个 的一个 线性 线性 变换， 变换， 如果系数行列式 如果系数行列式 | | c c ij ij | | 0 , 0 , 那么称线性变换为 那么称线性变换为 非退化的 非退化的 . . 或简称线性变换 或简称
13、线性变换 . . ) 4 ( , , 2 2 1 1 2 2 22 1 21 2 1 2 12 1 11 1 n nn n n n n n n n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 21 例如，前面我们讲过的坐标旋转公式 cos sin , sin cos y x y y x x 是一个线性变换，且 , 0 1 cos sin sin cos 所以该线性变换是非退化的.22 2. 2. 线性变换的矩阵形式 线性变换的矩阵形式 令 . , 2 1 2 1 2 22 21 1 12 11 n nn n n n n y y y Y c c c c c
14、 c c c c C 于是线性变换 (4) 可以写成 , 2 1 2 1 2 22 21 1 12 11 2 1 n nn n n n n n y y y c c c c c c c c c x x x 23 或者 X = CY X = CY . . 3. 3. 线性变换的性质 线性变换的性质 性质 性质线性变换把二次型还是变成二次型 线性变换把二次型还是变成二次型 . . 证明 证明 设有二次型f = X T AX，和线性变换 X = CY ，则 f = X T AX = Y T C T ACY = Y T ( C T AC )Y . = ( CY ) T A( CY ) 又因为 ( C T
15、 AC ) T = C T A T (C T ) T = C T AC . 所以 f 还是一个二次型.24 1. 1. 概念的引入 概念的引入 经过一非退化的线性变换，二次型仍变成二次型. 下面讨论变换前后二次型矩阵之间的关系. 设 A = A T ，记二次型 作非退化线性变换 X = CY . 得到一个关于 y 1 , y 2 , , y n 的二次型 Y T BY. 现在来看矩阵 B与 A 的关系. f(x 1 , x 2 , , x n ) = X T AX， 四、合同矩阵 四、合同矩阵25 f(x 1 , x 2 , , x n ) = X T AX = ( CY ) T A( CY
16、) = Y T C T ACY = Y T ( C T AC )Y = Y T BY . 又矩阵 C T AC 也对称(前面已证)， 由此得 B = C B = C T T AC AC . . 这就是前后两个二次型矩阵的关系.26 2. 2. 定义 定义 设矩阵 设矩阵 A A 、 、 B B ， ， 若有数域 若有数域 P P 上可逆的 上可逆的 n n n n B = C B = C T T AC AC . . 3. 3. 性质 性质 合同是矩阵间的一个关系，合同关系有下面性质： 则称矩阵 则称矩阵 A A ， ， B B 是合同的 是合同的 . . 矩阵 矩阵 C C ，使 ，使27 1
17、) 1) 反身性 反身性A = E T AE ； 2) 2) 对称性 对称性若 B = C T AC，则 A = ( C -1 ) T BC -1 ; 3) 3) 传递性 传递性若 A 1 = C 1 T AC 1 ， A 2 = C 2 T A 1 C 2 , 则 A 2 = ( C 1 C 2 ) T A ( C 1 C 2 ) . 因此， 经过非退化的线性变换，新二次型的矩 经过非退化的线性变换，新二次型的矩 阵与原二次型的矩阵是合同的 阵与原二次型的矩阵是合同的 . . 这样，就可把二次型的变换通过矩阵表示出来.28 注意：在变换二次型时，要求线性变换是非退化的. 当线性变换 X =
18、CY 是非退化时， 根据矩阵的逆运算，即得 Y = C -1 X . 这也是一个线性变换，它把所得的二次型还原.29 例3 证明：矩阵A与B合同，其中 1 1 22 , i i n in AB , 12 , n ii i 是1, 2, , n的 一个排列. 证：作二次型 22 2 12 11 22 (,) nn n f xx x X A X x x x 30 故矩阵A与B合同. 1 2 1 2 n i i ni y x y x y x 对作非退化线性替换 12 (,) n fxx x 12 22 2 12 1 2 (,) n niii n fxx x XA X y y y 则二次型化为（注意的
19、系数为） j i x j i YBY 31 练习写出下列二次型的矩阵 12 13 23 1 .422 xxx xx x 1 123 2 3 135 2 .( , , )246 785 x x xx x x 2 11 3. n ii j ii j n x xx 其中 2 1 4. ( ) , n i i x x 1 1 . n i i x x n 32 答案 02 1 1. 2 0 1 110 5 2 5 2 16 2. 4 7 675 11 1 22 2 111 222 111 222 1. . . 1. . . 3. . 1 1 11 1 1 111 1 111 . . 4. . n nnn
20、 n n nnn n n nnn n 33 - - 4. 解： 22 2 111 () 2 nnn iii iii xxxx x n x 222 21 111 ()() nnn iii nn iii x xx 22 1 11 () nn ii n ii x x 22 1 111 (2) nn iii j n iii j n x xx x 2 1 2 11 n n ii j nn ii j n x xx 34 四、小结 n元二次型： 非退化线性替换： ，或X=CY， |C| 0. 基本概念 矩阵的合同： ,. nn BC A CCP 可逆 12 11 (,) nn ni j i j ij fxx x axx XA X (), ij n n AaA A 11 1 11 2 2 1 21 1 11 2 2 1 11 22 nn nn nn n n n n x cy cy cy x cy cy cy x cycy cy 35 基本结论 1、二次型经过非退化线性替换仍为二次型. 3、矩阵的合同关系具有反身性、对称性、传递性. 2、二次型XAX可经非退化线性替换化为二型YBY BC A C , nn AB CP 与 合同, 即存在可逆 使36 END
