1、LOGO第二章弹性力学的基本方程LOGO弹性力学的基本方程一、位移应变应力二、平衡方程三、边界条件和圣维南原理四、几何方程五、物理方程六、虚功原理七、平面问题八、轴对称问题LOGO近50年来，有限单元法的应用已由弹性力学平面问题扩展到空间问题、板壳问题，由静力问题扩展到稳定问题、动力问题和波动问题，分析对象从弹性材料扩展到塑性、黏弹性、黏塑性和复合材料等，从固体力学扩展到流体力学、热传导等连续介质力学领域；在工程应用中已从分析和校核扩展到优化设计和计算机辅助设计技术相结合的图形输入输出功能和计算机动画显示技术相结合的仿真功能。课程的学习目的LOGO有限单元法这门课程及内容非常广泛，我们不可能都
2、一一加以介绍、学习，本门课的基本出发点是土木工程中如何应用有限单元法去解决结构设计中的力学分析问题，重点是掌握弹性力学有限单元法的基本原理和基本方法。为此下面先简单回顾和介绍弹性力学中的一些基本方程，弹性力学有限单元法是基于这些基本方程产生相应的计算格式。课程的学习目的LOGO物理假设 1假设物体是连续的 2假设物体是均质和各向同性的 3假设物体是完全弹性的且服从虎克定律 4假设物体内无初应力几何假设 5假设物体的位移和变形是很小的弹性力学的基本假设LOGO一、位移应变应力1.位移线位移角位移（可用线位移表示）2.应变正应变剪应变（互等定理）3.应力正应力剪应力,uvw,x yz ,xyz ,
3、xy yz zx ,xyz ,xy yz zx xy yx =LOGO位移应变应力的矩阵形式uvw=xyzxyyzzx = xyzxyyzzx = 位移应力应变LOGO弹性体内微小的平行六面体PABC，称为体素 PA=dx, PB=dy, PC=dz每一个面上的应力分解为一个正应力和两个剪应力，分别与三个坐标轴平行正应力剪应力应力BACLOGO为了表明这个正应力的作用面和作用方向，加上一个角码，例如，正应力是作用在垂直于x轴的面上同时也沿着x轴方向作用的。加上两个角码，前一个角码表明作用面垂直于哪一个坐标轴，后一个角码表明作用方向沿着哪一个坐标轴。例如，剪应力是作用在垂直于x轴的面上而沿着y轴
4、方向作用的。x正应力xy剪应力LOGO应力的正负如果某一个面上的外法线是沿着坐标轴的正方向，这个面上的应力就以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。相反，如果某一个面上的外法线是沿着坐标轴的负方向，这个面上的应力就以沿坐标轴的负方向为正，沿坐标轴正方向为负。yyxxyxyxxyxy)(zOxyLOGO弹性体在受外力以后，还将发生变形。物体的变形状态，一般有两种方式来描述：1、给出各点的位移；2、给出各体素的变形。弹性体内任一点的位移，用此位移在x、y、z三个坐标轴上的投影u、v、w来表示。以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。这三个投影称为位移分量。一般情况下，弹性体受力以后，各点的位移
5、并不是定值，而是坐标的函数。位移LOGO物体发生变形后，物体内各点的位置改变称为物体内点的位移。LOGO体素的变形可以分为两类：一类是长度的变化，一类是角度的变化。任一线素的长度的变化与原有长度的比值称为线应变(或称正应变)，用符号来表示。沿坐标轴的线应变，则加上相应的角码，分别用来表示。当线素伸长时，其线应变为正。反之，线素缩短时，其线应变为负。这与正应力的正负号规定相对应。x yz 、应变xyOzdxdydzyxyOzdxdydzyzLOGO任意两个原来彼此正交的线素，在变形后其夹角的变化值称为角应变或剪应变，用符号来表示。两坐标轴之间的角应变，则加上相应的角码，分别用来表示。规定当夹角变
6、小时为正，变大时为负，与剪应力的正负号规定相对应(正的引起正的，等等)。xyyzzx 、xyxyxyOzyxzyzxyxzyxyzzxzyLOGO二、平衡方程从物体中取出一个平衡六面微分体来研究，该微分体应满足以下六个平衡条件：LOGOLOGOLOGO0xxxyxyx yxzxzx zxdx dydz dydzxdy dxdz dxdzydz dxdy dxdy Xdxdydzz+=LOGO0yxxzxXxyz+ +=简化后可得：LOGO000yxxzxxy y zyyzxz zXxyzYxyzZxyz + +=+ += + +=平衡方程LOGO02222=+dzdxdydzdxdydzzdy
7、dxdzdydxdzdyyzyzyzyyzyzyz整理上式，得LOGO02121=+ dzzdyyzyzyyzyz略去微量项，得zyyz =同理可得yxxyxzzx = ,以上几式即为剪应力互等定律。LOGO三、边界条件和圣维南原理1.位移边界条件边界位移可以描述2.应力边界条件边界力可以描述LOGOssswvu ,wvu ,wwvvuusss= ,式中为位移分量的边界值，为该边界上的位移分量已知值。位移边界条件LOGO应力边界条件LOGO00xyx zxxyx zxxy y zyxz yz zXXdA dA l dA m dA nlmnXlmnYlmnZ =+=+=+=LOGOlh/2h/2qyxoyyxxyyyxx例1列出边界条件：1qLOGO.)( 0,)(0.)( )(0.)( 0,)(0.)( 0)(01q,2hy,lxq,2hy,lxv,u,x2hyyx2hyy2hyyx2hyylxxylxx0x0x=+=边界边界边界边界LOGOyxoqqqqbba a例2列出边界条件：xyyyxxLOGO显然，边界条件要求在上，成抛物线分布。0.)( ,)()(0.)( 0,)(2b=axxyaxxbyyxyybyqaxby边界：边界：x a=x
