1、用 ABAQUS 进行压电（Piezoelectric）悬臂梁模拟入门详解-by X.C. Li 1 用 ABAQUS进行压电（Piezoelectric）悬臂梁模拟入门详解 作者：X.C. Li 2014.8 （第二版） 本文着重讲述在用 ABAQUS 模拟压电材料时，材料常数的设置。希望对入门者有 所帮助。如果发现错误请发邮件到：L。 1. 问题描述 柱状体 1042如下图 左端固定，右端自由；上表面受均匀压力 500；上、下表面电压分别为 50V、0V。 压电材料 PZT-4，选 z-方向（该方向上尺寸为 2）为极化方向，文献 Haojiang Ding, Jian Liang： The
2、 fundamental solutions for transversely isotropic piezoelectricity and boundary element method给出的材料常数 11 12 13 33 44 66 11 12 12.6, 7.78, 7.43, 11.5, 2.56, 0.5( ) cccc ccc c （ 10 2 10 N m ） ； 15 31 33 12.7, 5.2, 15.1 eee （ -2 Cm ） ； -12 11 0 33 0 0 =730 , =635 , =8.85419 10 （ 1- 1 CVm ） 这些常数在 ABAQUS
3、中的输入将在本文 2.3中详细说明。必须说明的是以上材料 常数所对应的的本构关系： 11 12 13 12 11 13 13 13 33 44 44 660 0 00 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 xx xx yy yy zz zz yz yz zx xy ccc ccc ccc c c c 31 31 33 15 15 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 x y z zx xy e e E e E e E e 15 11 15 11 33 31 31 33 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
4、 xx yy x x zz y y yz z z zx xy E D e D E e eee D E 用 ABAQUS 进行压电（Piezoelectric）悬臂梁模拟入门详解-by X.C. Li 2 2. 求解过程 2.1. Part 模块 选 3D，Deformable，Solid，通过 Extrusion构造一个 Piezoelectric梁。 2.2. Property模块 2.2.1 在这个模块中要进行 3种参数输入： 1） material editor: Mechanical-Elasticity-Elastic: Type: Orthotropic；输入应力与 应变之间的关系
5、系数，弹性模量，一般为正交各向同性 Type: Orthotropic。 2）material editor: Other-Electrical-Piezoelectric: Type: Stress or Strain；输入力 与电耦合关系系数。在文献中压电常数最为常见，与之对应的是 Type: Stress。 3）material editor: Other-Electrical-Dielectric: Type: Isotropic or Orthotropic or Anisotropic；输入介电常数。论文中常见横观各向同性，与之对应的是 Type: Orthotropic。 2.2
6、.2 压电材料的本构方程 压电材料的本构方程有多种形式，每种形式当然对应一组材料常数。在 ABAQUS 中，如果选择 material editor: Other-Electrical-Piezoelectric: Type: Stress ，压电材 料的本构方程使用的 e-form（the constitutive equations in the e-form are used）: 在文献中常用 i D 表示电位移分量， ijkl c 表示弹性模量， ij 表示介电常数（也常用 ij 表示介电常数，但这与应变符合冲突）。ABAQUS 中用 i q 表示电位移分量， ijkl D 表示 弹性
7、模量， ij D 表示介电常数。 如果选择 material editor: Other-Electrical-Piezoelectric: Type: Strain， 压电材料 的本构方程使用的 g form（The constitutive equations in the g-form can also be expressed as）： 2.2.3 材料常数输入规则 这里仅讨论e-form的本构关系。在ABAQUS中，双下标二阶张量记号11, 22, 33, 12, 13, 23分别对应矢量分量1, 2, 3, 4, 5, 6。因此按照这种排序规则，前面提到的Ding和 Liang的论
8、文中的本构关系应该写成如下形式，强调一下，3-方向为极化方向。 用 ABAQUS 进行压电（Piezoelectric）悬臂梁模拟入门详解-by X.C. Li 3 11 12 13 11 11 22 12 11 13 22 33 33 13 13 33 12 12 66 13 44 23 440 0 00 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ccc ccc ccc c c c 31 31 1 33 2 3 15 13 15 23 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 e e E e E E e e 11 22 15 11 1 1 33 2
9、 15 11 2 12 3 33 3 31 31 33 13 23 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 e E D D eE D E eee 以上本构方程，用 ABAQUS 中的符号给出，其形式如下： 1111 1122 1133 11 2211 2222 2233 22 33 3311 3322 3333 12 1212 13 230 0 00 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 DDD DDD DDD D 3 11 11 22 3 22 33 3 33 12 1 13 13 1313 2 23 2323 0 0 0 0 0 0 0 0 00
10、 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 e e e e D e D 1 2 3 230 E E E 11 22 1 13 11 1 1 33 2 2 23 22 2 12 3 33 3 3 11 3 22 3 33 13 23 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 e DE q q eDE q DE eee 通过以上两组本构方程的对照，不难看出将在 ABAQUS中 1111 D 位置应该输入 11 c ， 以此类推， 2 23 e 位置应该输入 15 e ， 11 D 位置应该输入 11 。 1111 11 1122 12 1133 13 3333 33
11、 2323 44 1212 66 11 12 12.6, 7.78, 7.43, 11.5, 2.56, 0.5( ) Dc Dc Dc Dc Dc Dccc （ 10 2 10 N m ） ； 11 12 13 44 66 11 12 12.6, 7.78, 11.5, 2.56, 0.5( ) cccccc c 1 13 15 3 11 31 3 33 33 12.7, 5.2, 15.1 ee ee ee （ -2 Cm ） ； -12 11 11 0 33 33 0 0 =730 , =635 , =8.85419 10 DD （ 1- 1 CVm ） 此外，由于是横观各向同性，有 1
12、111 2222 2323 1313 1133 2233 , , DDDDDD ； 1 13 2 23 3 11 3 22 , eeee ； 11 22DD 。 再补充一点，同一种材料，当极化方向用不同记号表示时，其压电系数矩阵是不 同的。上面是用 3-方向表示极化方向的压电常数矩阵，如果用 1-方向表示极化方向的 压电常数矩阵应该是 用 ABAQUS 进行压电（Piezoelectric）悬臂梁模拟入门详解-by X.C. Li 4 1 11 1 22 1 33 2 12 3 130 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 eee e e ，转置形式为 1 11 1 22 1 33
13、2 12 3 130 00 00 0 0 0 0 0 0 0 0 e e e e e 变换的规则就是指标轮换，也就是 3-1,1-2,2-3。比如，用 3-方向表示极化方向 时的 1 13 e ，在用 1-方向表示极化方向时变换为 2 21 e ，即 2 12 e ，放在系数矩阵的第 2 行第 4列。 或者，将 1-方向为极化方向时，本构方程写为写成 2222 2233 2211 22 3322 3333 3311 33 1122 1133 1111 11 23 2323 21 310 0 00 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 DDD DDD DDD D 1 22 22 33 1
14、 33 11 1 11 23 2 21 21 2121 3 31 3131 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 e e e e D e D 2 3 1 310 E E E 2222 11 2233 12 2211 13 1111 33 3131 44 2323 66 11 12 12.6, 7.78, 7.43, 11.5, 2.56, 0.5( ) 2.41 Dc Dc Dc Dc Dc Dccc （ 10 2 10 N m ） ； 2 21 15 1 22 31 1 11 33 12.7, 5.2, 15.1 ee ee ee （ -2 Cm ）
15、； -9 -9 22 11 0 11 33 0 -12 0 =730 =6.463 10 , =635 =5.622 10 , =8.85419 10 DD （ 1- 1 CVm ） 此外，由于是横观各向同性，有 2222 3333 3131 2121 2211 3311 , , DDDDDD ； 2 21 3 31 1 22 1 33 , eeee ； 22 33DD 。 在 ABAQUS Example Problems Manual 6.1.1中给出的算例是用 1-方向表示极化方 向，在 ABAQUS Benchmarks Manual 1.8.1中用 3-方向表示极化方向。 2.4 材
16、料常数具体输入如下： 1）material editor: Mechanical-Elasticity-Elastic: Type: Orthotropic 输入 用 ABAQUS 进行压电（Piezoelectric）悬臂梁模拟入门详解-by X.C. Li 52)material editor: Other-Electrical-Piezoelectric: Type: Stress,压电 常数前9个输入 压电常数后9个输入 用 ABAQUS 进行压电（Piezoelectric）悬臂梁模拟入门详解-by X.C. Li 6 3）material editor: Other-Electri
17、cal-Dielectric: Type: Orthotropic介 电常数输入 2.5 设置其他项 1）Create Section 中，选择如图 2）接下来Assign Section 3）由于压电材料不是各向同性，因此必须要通过菜单 Assign-Material Orientation 来设置局部坐标系（to specify a local coordinate system）。 用 ABAQUS 进行压电（Piezoelectric）悬臂梁模拟入门详解-by X.C. Li 7 3. Assembly模块 无特别说明。 4. Step模块 建立 Static General分析步，用
18、来施加载荷。 5. Interaction模块 无特别说明。 6. Load 模块 除了施加 Mechanical 边界和 Mechanical 载荷，需要通过 Create Boundary Condition: Other: Electric potential 施加电边界条件，即压电体各个表面的电压。 1）在左端设置Mechanical边界 用 ABAQUS 进行压电（Piezoelectric）悬臂梁模拟入门详解-by X.C. Li 82）在上下表面设置电边界，下图为上表面边界条件 3）在上表面受压力 用 ABAQUS 进行压电（Piezoelectric）悬臂梁模拟入门详解-by X.C. Li 97. Mesh 模块 在Assign Element type中，选Family: Piezoelctric即可。 8. Job 模块 无特别说明。 用 ABAQUS 进行压电（Piezoelectric）悬臂梁模拟入门详解-by X.C. Li 1 0 三、结果
