1、 容斥原理公式及运用在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，研究出一种新的计数方法。这种方法的基本思路是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。一、容斥原理 1：两个集合的容斥原理如果被计数的事物有 A、B 两类，那么，先把 A、B 两个集合的元素个数相加，发现既是 A 类又是 B 类的部分重复计算了一次，所以要减去。如下图所示。【示例 1】 一次期末考试，某班有 15 人数学得满分，有 12 人语文得满分，并且有 4 人语、数都是满分，那么这个
2、班至少有一门得满分的同学有多少人？数学得满分人数A，语文得满分人数B，数学、语文都是满分人数AB，至少有一门得满分人数AB。AB=15+12-4=23，共有 23 人至少有一门得满分。二、容斥原理 2：三个集合的容斥原理如果被计数的事物有 A、B、C 三类，那么，将 A、B、C 三个集合的元素个数相加后发现两两重叠的部分重复计算了 1 次，三个集合公共部分被重复计算了 2次。如下图所示，灰色部分 AB-ABC、BC-ABC、CA-ABC 都被重复计算了 1 次，黑色部分 ABC 被重复计算了 2 次，因此总数 ABC=A+B+C-（AB-ABC）-（BC-ABC）-（CA-ABC）-2ABC=A+B+C-AB-BC-CA+ABC。即得到：【示例 2】 某班有学生 45 人，每人都参加体育训练队，其中参加足球队的有25 人，参加排球队的有 22 人，参加游泳队的有 24 人，足球、排球都参加的有12 人，足球、游泳都参加的有 9 人，排球、游泳都参加的有 8 人，问：三项都参加的有多少人？参加足球队A，参加排球队B，参加游泳队C，足球、排球都参加的AB，足球、游泳都参加的CA，排球、游泳都参加的BC，三项都参加的ABC。三项都参加的有 ABC=ABC-A-B-C+AB+BC+CA=45-25-22-24+12+9+8=3 人。
