1、 1 / 3向量一、平面向量的概念及线性运算1向量的有关概念名称 定义 备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量零向量 长度为 0 的向量；其方向是任意的 记作 0单位向量 长度等于 1 个单位的向量 非零向量 a 的单位向量为a|a|平行向量 方向相同或相反的非零向量共线向量方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量0 与任一向量平行或共线相等向量 长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量 长度相等且方向相反的向量 0 的相反向量为 02.向量的线性运算向量运算 定义 法则( 或几何意义) 运算律加法 求两个向量和的运算(1)交
2、换律：abba. (2)结合律：( a b) c a( b c)减法求 a 与 b 的相反向量b 的和的运算叫做 a与 b 的差三角形法则aba(b)数乘求实数 与向量 a 的积的运算(1)|a| |a|；(2)当0 时，a 的方向与a 的方向 相同；当 0时，a 的方向与 a 的方向相反；当 0 时，a0(a)( )a； ()a a a；(ab) ab3.共线向量定理向量 a(a0) 与 b 共线的充要条件是存在唯一一个实数 ，使得 ba.二、平面向量基本定理及坐标表示1平面向量基本定理2 / 3如果 e1、e 2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 a，有且只有一对
3、实数 1、 2，使 a 1e1 2e2.其中，不共线的向量 e1、e 2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底2平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设 a(x 1，y 1)， b( x2，y 2)，则ab(x 1x 2，y 1y 2)，ab(x 1x 2，y 1y 2)，a(x 1，y 1)，|a| .x21 y21(2)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则 ( x2x 1，y 2y 1)，| | .AB AB x2 x12 y2 y123平面向量共线的坐标表示设 a(x 1，y 1)， b( x2，y
4、 2)， abx 1y2x 2y10.三、平面向量的数量积1平面向量的数量积已知两个非零向量 a 和 b，它们的夹角为 ，则数量| a|b|cos 叫做 a 和 b 的数量积(或内积)，记作 ab| a|b|cos .规定：零向量与任一向量的数量积为_0_.两个非零向量 a 与 b 垂直的充要条件是 ab0，两个非零向量 a 与 b 平行的充要条件是 ab|a|b|.2平面向量数量积的几何意义数量积 ab 等于 a 的长度|a| 与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos 的乘积3平面向量数量积的重要性质(1)eaae|a|cos ；(2)非零向量 a，b，a bab0；(3)当 a 与 b
5、同向时，ab|a|b|；当 a 与 b 反向时，ab|a|b|，aaa 2，|a| ；aa(4)cos ；ab|a|b|(5)|ab|_|a|b|.4平面向量数量积满足的运算律(1)abba(交换律 )；(2)(a)b(ab )a( b)( 为实数)；(3)(ab )cacbc.5平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量 a(x 1，y 1)，b( x2， y2)，则 abx 1x2y 1y2，由此得到(1)若 a(x，y)，则|a| 2x 2 y2 或|a| .x2 y2(2)设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则 A、B 两点间的距离|AB| | | .AB x2 x12 y2 y123 / 3(3)设两个非零向量 a，b，a( x1，y 1)，b(x 2，y 2)，则 abx 1x2y 1y20.
