1、有理数讲义知识点1、什么是正数和负数及正数与负数的意义。2、了解什么是有理数和无理数及会对有理数的分类。3、数轴的三要素是什么、怎么样在数轴上表示有理数和无理数以及怎么利用数轴比较数的大小4、了解一个数的绝对值与相反数的意义,会求已知数的绝对值与相反数以及用绝对值比较两个负数的大小5、有理数的加法与减法6、有理数的乘法与除法7、有理数乘方的意义,求有理数的正整数指数幂;用科学记数法表示较大的数8、有理数的混合运算一、正数与负数在小学里,我们学过正数、负数、零你知道下边边图片中各数的意义吗?分别说出8844.43、154、117.3、0.102%的意义。正数与负数的意义1、意义:像8848.43
2、、100、357、78这样的数叫做 ;像154、38.87、117.3、0.102%这样的数叫做0既不是 也不是2、正数与负数的写法及读法“”读作“ ”,如“23”读作“ ”,正号通常省略不写;“”读作“ ”,如“117.3”读作“ ”例1 指出下列各数中的正数、负数。7,9,13,4.5,998, 9-10,0正数: 负数 :应用一、用正数、负数表示相反意义的量0C以上的温度用正数表示,0C以下的温度用负数表示日常生活中,许多具有相反意义的量都可以用正数、负数来表示例2 (1)如果向北走8km记作8km,那么向南走5km记作什么?(2)如果粮库运进粮食3t记作3t,那么4t表示什么?应用二、
3、整数与分数的扩展1、 、 、 统称为整数2、 、 统称为分数例3 把下列各数填入相应的集合内: 99.9 ,6, 13 ,0,-101, 1+34, 1.25 ,0.01,67, 10% , 513 ,2009, 18 整数集合 ;分数集合 ;正数集合 ;负数集合 小试牛刀1把下列各数填入相应的集合内:3 12 15, 7.25, ,0, ,0.32,4 5 2 正数集合 ;负数集合 2填空:(1)如果买入200kg大米记为200kg,那么卖出120kg大米可记作_;(2)如果50元表示支出50元,那么40元表示_;(3)太平洋最深处的马里亚纳海沟低于海平面11034m,它的海拔高度可表示为_
4、3用正数或负数表示下列问题中的数:(1)从同一港口出发,甲船向东航行142 km,乙船向西航行142km;(2)从同一车站出发,A车向北行驶50km,B车向南行驶40km;(3)拖拉机加油50L,用去油30L二、有理数和无理数有理数我们学过整数(正整数、负整数、零)和分数(正分数、负分数)实际上,所有整数都可以写成分母为1的分数的形式如 55= ,1 44= ,1 00= .1有理数的定义:我们把能写成分数形式mn(m、n是整数,n0)的数叫做有理数问一问:有限小数和无限循环小数是有理数吗?根据有理数的定义,有理数可以进行如下的分类 正整数整数 零负整数有理数 正分数分数 负分数或 正整数正有
5、理数 正分数有理数 零 负整数负有理数 负分数无理数问一问:是不是所有的数都是有理数呢?如果大正方形的边长为a,那么a22a是有理数吗?无理数定义:无限不循环小数叫做无理数3、有理数与无理数区别:(1)无理数是无限不循环小数,有理数是有限小数或无限循环小数。(2)任何一个有理数后可以化为分数的形式,而无理数则不能。小试牛刀1、判断题. (1)无理数都是无限小数. (2)无限小数都是无理数.(3)有理数与无理数的差都是有理数. (4)两个无理数的和是无理数.2、将下列各数填入相应括号内: 16 9.3 6 , , ,42,0,-0.33, 0.333 ,1.414 213 56,2, 3.303
6、 003 000 3 ,-3.141 592 6正数集合: ;负数集合: ;正有理数集合: ;负有理数集合: 3.以下各正方形的边长是无理数的是( )(A)面积为25的正方形;(B)面积为16的正方形;(C)面积为3的正方形;(D)面积为1.44的正方形.三、数轴1、数轴的定义:像这样规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴2、数轴的画法:画一条水平直线,并在这条直线上取一点表示0,我们把这点称为原点规定直线上从原点向右为正方向(画箭头表示),向左为负方向取适当长度(如1cm)为单位长度,在直线上,从原点向右每隔一个单位长度取一点,依次表示1,2,3从原点向左每隔一个单位长度取一点,依次表示
7、1,2,3按照要求,同步完成画数轴的过程,如下图:数轴三要素为:原点、正方向、单位长度3、用数轴上的点表示有理数在数轴上,用原点右边且到原点的距离是1.5个单位长度的点表示1.5,用原点左边且到原点的距离是2.4个单位长度的点表示2.4例1 分别写出数轴上A、B、C表示的数:例2 在数轴上画出表示下列各数的点:3 11.5,3, ,1.5, 3 .5 2 有理数都可以用数轴上的点表示4、用数轴上的点表示无理数无理数可以用数轴上的点表示吗?例3、面积为2的正方形的边长a是无理数,如何在数轴上画出表示a的点?1将边长为a的正方形放在数轴上(如图);2以原点为圆心,a为半径,用圆规画出数轴上的一个点
8、A点A就表示无理数a按要求画出表示a的点,如图练习怎样用数轴上的点表示圆周率?1画一个直径为1的圆片,将圆片上的点A放在原点处;2把圆片沿数轴向右滚动一周,点A到达的位置点A表示的数就是按要求画出表示的点,如图小结:有理数和无理数都可以用数轴上的点表示;反过来,数轴上的任意一点都表示一个有理数或无理数练一练1、分别写出数轴上A、B、C、D、E表示的数:2、在数轴上画出表示下列各数的点:5.5 3.5 2 3 0.5. , , , ,5、数轴上的点表示的数的大小关系:例4、在数轴上画出表示0、5、 3 、 2 的点,你能比较这几个数的大小吗?如图,画出数轴,并用数轴上的点表示0、5、 3 、 2
9、 3205归纳得出:在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大正数都大于0,负数都小于0,正数大于负数小试牛刀1、比较下列各组数的大小:(1)5和0; (2) 1 02 和 ;(3)2和一3; (4) 3 0 1.5 、 2、 在数轴上画出表示下列各数的点,并用“”把这些数按从小到大的顺序连接起来:1 0 2 3 5 1.5.2 , , , , , 3、数轴上的点A和B分别表示 12 与 34 ,哪一个点离原点的距离较近? 12 与34 哪一个数较大?四、绝对值与相反数1、绝对值的定义:数轴上表示一个数的点与原点的距离叫做这个数的绝对值想一想:小明家在学校正西方3 km处,小丽家在学校正东方
10、2 km处,他们上学所花的时间与各家到学校的距离有关你会用数轴上的点表示学校、小明家、小丽家的位置吗?练一练:你能说出数轴上的点A、B、C、D、E所表示的数的绝对值吗?2、绝对值的表示方法通常,我们将数a的绝对值记为a.这样例1的结论可以写成44, 5.3 3.5小结:正数的绝对值是它本身;负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0练一练1、求下列各数的绝对值:6 3 2.7 0. , , , , 2、已知一个数的绝对值是25,求这个数3、用数轴上的点表示下列各数,并说出这些数的绝对值:35, , 0.4,0,5, 2.2 4、已知一个数的绝对值是2,求这个数.2、相反数的定义:符号不同、绝对值
11、相同的两个数互为相反数,其中一个是另一个的相反数如图,观察数轴上点A、点B的位置及它们到原点的距离,你有什么发现?例1、求3、4.5、47的相反数3、利用相反数的意义化简一个数的符号一般的,a的相反数是a,a的相反数是a,即(a)a表示一个数的相反数,可以在这个数的前面添一个“”号如5的相反数可以表示为(5),而我们知道5的相反数是5,所以(5)5例2 化简:(2),(2.7),(3),(34)练一练:1写出下列各数的相反数:0,58,4,3.14,232在数轴上画出表示下列各数以及它们的相反数的点:4,0.5,3,23填空:(1) )7( 是_的相反数, )7( _;(2) )4( 是_的相
12、反数, )4( _4化简: ).5.2(),5.2(),5.2(),5.2( 小试牛刀1、根据绝对值与相反数的意义填空:(1) 3.2 _, 47 _, 6 _;(2) 5 _, 5 的相反数是_, 5.10 _,(3) 5.10 的相反数是_, 47 _, 47 的相反数是_(4) 0 _2、填空:(1) 52 的符号是_,绝对值是_;10.5的符号是_,绝对值是_;(2)符号是“”号,绝对值是73的数是_符号是“”号,(3)绝对值是9的数是_;符号是“”号,绝对值是0.37的数是_3、用“”或“”填空:(1) 3.12 12 ; (2) )75.2( )67.2( ;(3) 8 8 ; (
13、4) 4.0 )4.0( 五、有理数的加法与减法1、有理数的加法有理数加法法则:(1)同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加;(2)异号两数相加,绝对值相等时,和为0;绝对值不等时,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值;(3)一个数与0相加,仍得这个数例1把笔尖放在数轴的原点,沿数轴先向左移动5个单位长度,再向右移动3个单位长度,这时笔尖停在“ 2 ”的位置上用数轴和算式可以将以上过程及结果分别表示为:算式:_练一练计算并注明相应的运算法则:(1) )3()15( ;(2) )20()180( ;(3) )5(5 ; (4) )2(0 有理数相加相关规律加法交换律:两
14、个数相加,交换加数的位置,和不变加法结合律:三个数相加,先把前两个数相加,或者先把后两个数相加,和不变。(1)上面式中字母a、b、c分别表示任意的一个有理数,在同一个式子中,相同字母只能表示同一个数;(2)加法的运算律可以推广到三个以上有理数相加的情况根据有理数加法的运算律,在进行有理数的加法运算时,可以交换加数的位置,也可以先把其中几个数相加例2 计算:1 23 58 172 2.8 3.6 1.5 3.62 5 53 7 6 7 1 6 ()( )( )( )()( )( )( )() 2、有理数的减法如果某天最高气温是5,最低气温是3,那么这天的日温差记作5(3),怎样计算5(3)呢?8
15、)3(5 835 abba )( cbacba )(比较、两式,我们发现:8“减去3”与“加上3”结果是相等的,即35)3(5 小结;减去一个数,等于加上这个数的相反数有理数减法法则.字母表示:aba(b)由此可见,有理数的减法运算可以转化为加法运算小试牛刀1口答:(1) 2 3 2 (2) 0 4 0 (3) 6 3 6 (4) 1 39 1 ( )( )( )( );( ) ( );( ) ( )( );( ) ( )2计算:(1) ( 3) ( 2) ; (2) ( 1) ( 2) ;(3) 0 ( 3) ; (4) 1 5 ;(5) ( 23) ( 12) ; (6) ( 1.3) 2
16、.6 ;(7) 2 1( )3 2 ; (8) 1 1( ) ( )6 2 (9)(8)(10)(6)(4),3填空:(1)温度3比8高_;(2)温度9比1低_;(3)海拔20m比30m高_;(4)从海拔22m到10m,下降了_六、有理数的乘法与除法有理数的乘法有理数的乘法规则:两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘任何数与零相乘,都得零。(1)如果水位每天上升4cm,那么3天后的水位比今天_(填“高”或者“低”)_cm;3天前的水位比今天_(填“高”或者“低”)_cm(2)如果水位每天下降4 cm,那么3天后的水位比今天_cm;3天前的水位比今天_cm我们用有理数的运算来研究上面的问题
17、我们把水位上升记为正,水位下降记为负;几天后记为正,几天前记为负(1)按上面的规定,水位上升4cm记作“4”,3天后记作“3”,3天后的水位变化是(4)(3)我们已经知道,3天后的水位比今天高12 cm,所以(4)(3)12类似地,(4)(3)12,即3天前的水位比今天低12cm(2)如果水位下降4cm记作“4”,3天后记作“3”,那么3天后的水位变化是(4)(3)我们已经知道,3天后的水位比今天低12cm,所以(4)(3)12类似地,(4)(3)12即3天前的水位比今天高12 cm三、实践应用1口答:确定下列两数的积的符号(1) (2) 1(3) 3 5 ( 3) ( 3) 3 1 ( 2)
18、 ( 7) (4) 2 ; ; ; 2例题计算:)6(9)1( ; 6)9()2( ; )6()9()3( ( 4) ( 3) 12 ( 4) ( 3) 12 ( 4) ( 3) 12 练一练:1计算: 2计算:1 1 1(1) 1 1 12 3 45(2)( 0.25) ( 2) ( 0.8)12 ; (1)( 7) 3(2)( 48) ( 3)(3)( 6.5) ( 7.2)2(4) 93 ; ; ; 有理数的除法对有理数除法,一般有有理数除法法则:除以一个不等于零的数等于乘上这个数的倒数.注意:0不能作除数.因为除法可化为乘法,所以有理数的除法有与乘法类似的法则:两数相除,同号得正,异号
19、得负,并把绝对值相除 0除以任何一个不等于0的数,都得0引例、某地某周每天上午8时的气温记录如下:这周每天上午8时的平均气温为:(3)(3)(2)(3)0(2)(1)7,即(14)7,如何计算(14)7?例1、(1)36(9);(2)(48)(6);(3)(12 )(23 ).练习计算:1214 (67 )(12 2); 2123 (123 )119 ;3124(310)4 4.(1)832(4);5、9(2)15(3); 6、2212 2;7、3.523 (34 ); 8、(6)23 34 七、有理数的乘方1、乘方的定义:求相同因数的积的运算叫做乘方乘方运算的结果叫幂将一张报纸对折再对折直到
20、无法对折为止你对折了多少次?请用算式表示你对折出来的报纸的层数你还能举出类似的实例吗?222222记作26,读作“2的6次方”;777可记作73;读作“7的3次方”一般地, n aa a a a 个 记作an,读作“a的n次方”26、73也可以看做是乘方运算的结果,这时它们表示数,分别读作“2的6次幂”、“7的3次幂”,其中2、7叫做底数,6、3叫做指数练一练1(4)3的底数是什么?指数是什么?幂是多少?223和32的意义相同吗?3(2)3、23、(2)3分别表示什么意义?4(23 )4、243 分别表示什么意义?例题讲解例1 计算:(1)37;73;(3)4;(4)3(2)(12 )5;(3
21、5 )3;(23 )4例2 计算并思考幂的符号如何确定:(1)52、0.23、(23 )4; (2)(4)3、(23 )5、(1)7;(3)(1)4、(3)2、(12 )6练一练1计算(1)(5)3; (2)(12 )5; (3)(13 )4;(4)53; (5)0.14; (6)182如果你第1个月存2元从第2个月起每个月的存款都是上个月的2倍那么第6个月要存多少钱?第12个月呢?3观察下列各式,然后填空:10101;1001010102;1 000101010103;10 00010101010104; 105; 106; 107; 1082、用科学记数法表示大的数科学记数法的定义:一般地
22、,一个大于10的数可以写成 10na 的形式,其中1 10a ,n是正整数这种记数法称为科学记数法例1 用科学记数法表示下列各数:(1)3500;(2)423500;(3)325.05;(4)1240000例2 判断题:(1)240000用科学记数法表示为24104( );(2)3.24510432450000( );(3)2.785105278500( )例3(1)2007年10月24日我国成功发射“嫦娥1号”探月卫星经绕地调相轨道、地月转移轨道飞行后,“嫦娥1号”于11月7日顺利进入绕月工作轨道,共飞行326h,行程约1 800 000km,其中在地月转移轨道飞行了436 600km试用科
23、学记数法表示这两个行程(2)1光年是光在真空状态下1年走过的路程,已知光在真空状态下的速度为300000000m/s,用科学记数法表示1光年为多少千米练一练1用科学记数法表示下列各数:(1)地球的半径大约为6 400km;(2)地球与月球的平均距离大约为384 000km;(3)地球与太阳的平均距离大约为150 000 000km2下列用科学记数法表示的数,原来各是什么数?(1)1.3109;(2)9.597106;(3)2.0108;(4)5.2104八、有理数的混合运算在算式823(4)(75)?中,有几种运算?有理数的混合运算的运算顺序;先乘方,再乘除,最后加减如果有括号,先进行括号内的
24、运算例1 判断下列计算是否正确(1)33110 0110 0;(2)1202012 1201012;(3)94(12 )39231;(4)(3)24(2)9817例2 计算:(1)95(3)(2)24; (2)(5)32(6)3005;(3)(13 )33(13 )练一练(1)186(3)(2); (2)2416(2)2(10);(3)(3)3(632); (4)(5313 )(2)(3)2测试题一、选择题(每题2分,共20分)请把正确答案填写在下面的表格里:题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案1. -5的倒数是( )A. 15 B. 5 C. 15 D.52. 据统计,2013
25、年河南省旅游业总收入达到3875.5亿元.若将3875.5亿用科学计数法表示为3.8755 10n ,则n等于( )A.10 B.11 C.12 D.133.下列各数中,最小的数是( )A.2 B. 3 C. 13 D.04.下列各数中,无理数为( )A. 0.15 B. 4 C. D. 3175.计算 2 1 ,结果正确的是( )A.4 B.3 C. 2 D. 46.有四包真空包装的火腿肠,每包以标准质量450g为基准,超过的克数记作正数,不足的克数记作负数.下面的数据是记录结果,其中与标准质量最接近的是( )A. 2 B. 3 C. 4 D. 17.平方得16的数是( )A.4 B. 4
26、C. 4 D. 168.在数0,2, 3 , 112 中,是负整数的是( )A.0 B.2 C. 3 D. 1.29.如图,数轴的单位长度为1,如果点A B、 表示的数的绝对值相等,那么点A表示的数是( )A. 4 B. 2 C.0 D.410.若 2( 1) +2 0a b ,则 2014( + )a b 的值是( )A. 1 B.1 C.0 D.2014二、填空题(每空2分,共22分)11. 4 的相反数是_.12.某水文观测站的平均水位是50.3m,那么-1.3 m表示的实际水位是_m.13.绝对值小于的所有整数的积是_.14.比较两个数的大小: 12 _ 14 .15.倒数等于它本身的
27、数是_;相反数等于它本身的数是_;平方等于它本身的的数是_;立方等于它本身的数是_.16.观察下列算式: 13 3 , 23 9 , 33 27 , 43 81 , 53 243 , 63 729 , 73 2187 , 83 6561 ,那么 20143 的个位数字是_.17.如图是一个数值转换器.若输入x的值是3,则输出的值是_.18.定义一种新运算:ab a b ab ,如2( 2) =2 ( 2) 2 ( 2) =4,那么( 1) 2 _.三、解答题19.将下列各数填入相应的括号里:(5分)2.5 , 15 2,0,8, 2 , 2 ,0.7, 23 , 1.121121112 ,34
28、, . .0.05 .正数集合 ;负数集合 ;整数集合 ;有理数集合 ;无理数集合 .BA输入 ( )2 1 输出20.(本题5分)将下列各数用“”连接起来: 23 , 3 , ( 3) ,0, .21.计算:(每题6分,共42分)(1)7 ( 2) ( 3) .(2) 1( 27) ( 3) 3 .(3) ( 4) 3.12 ( 2.5) .(4) 1 1 1( + ) 202 4 5 .(5) -2 +4+ -8 +6( ) ( ) .(6) 2014 11 2 ( 2) 106 .(7) 5 2( 1) ( 5) ( 3) 2 ( 5) .22.(本题6分)若a、b互为相反数,c d、 互为倒数,m是最大的负整数,求a b cd m 的值.