1、北京大学附属中学河南分校内部资料抛物线（1）抛物线二次曲线的和谐线椭圆与双曲线都有两种定义方法，可抛物线只有一种：到一个定点和一条定直线的距离相等的所有点的集合.其离心率e=1，这使它既与椭圆、双曲线相依相伴，又鼎立在圆锥曲线之中.由于这个美好的 1，既使它享尽和谐之美，又生出多少华丽的篇章.【例 1】P 为抛物线 上任一点，F 为焦点，则以 PF 为直径的圆与 y 轴（ ）pxy2相交 相切 相离 位置由 P 确定.A.B.C.D【解析】如图，抛物线的焦点为 ，准线是,0.作 PH 于 H，交 y 轴于 Q，那么 ，:2plxlPFH且 .作 MNy 轴于 N 则 MN 是梯形 PQOF 的
2、QOF中位线， .故以112MNPF 为直径的圆与 y 轴相切，选 B.【评注】相似的问题对于椭圆和双曲线来说，其结论则分别是相离或相交的.（2）焦点弦常考常新的亮点弦有关抛物线的试题，许多都与它的焦点弦有关.理解并掌握这个焦点弦的性质，对破解这些试题是大有帮助的.【例 2】 过抛物线 的焦点 F 作直线交抛物线于 两点，求证：02pxy12,AxyB（1） （2）12ABxpBA21【证明】 （1）如图设抛物线的准线为 ，作l，l11, 2l x于 ， 则 F.两式相加即得：12pBFxA（2）当 ABx 轴时，有成立；FBp， 12AFBp当 AB 与 x 轴不垂直时，设焦点弦 AB 的方
3、程为： .代入抛物线方程：2pykx.化简得：22pk22014kxpXY PH MNO(,0)2pF: 2plx=- 22y px=QXYFA(x,y)11B(x,y)22A1B1l北京大学附属中学河南分校内部资料方程（1）之二根为 x1，x 2， .124k12211224xppAFBx.12122244xpp px故不论弦 AB 与 x 轴是否垂直，恒有 成立.BFA（3）切线抛物线与函数有缘有关抛物线的许多试题，又与它的切线有关.理解并掌握抛物线的切线方程，是解题者不可或缺的基本功.【例 3】证明：过抛物线 上一点 M（x 0，y 0）的切线方程是：y 0y=p（x+x 0）2yp【证
4、明】对方程 两边取导数：2x2.p， 切 线 的 斜 率.由点斜式方程：0xpky 20001pyxyxyy0y=p（x+x 0）201， 代 入 （ ） 即 得 ：（4）定点与定值抛物线埋在深处的宝藏抛物线中存在许多不不易发现，却容易为人疏忽的定点和定值.掌握它们，在解题中常会有意想不到的收获.例如：1.一动圆的圆心在抛物线 上，且动圆恒与直线 相切，则此动圆必过定点 xy8202x（ ）.4,0.,0.0,.,ABCD显然.本题是例 1 的翻版，该圆必过抛物线的焦点，选 B.2.抛物线 的通径长为 2p；2ypx3.设抛物线 过焦点的弦两端分别为 ，那么：12,AxyB21yp以下再举一例
5、【例 4】设抛物线 的焦点弦 AB 在其准线上的射影是 A1B1，证明：以 A1B1为直径的圆必过一定点2ypx【分析】假定这条焦点弦就是抛物线的通径，那么 A1B1=AB=2p，而 A1B1与 AB 的距离为 p，可知该圆必过抛物线的焦点.由此我们猜想：一切这样的圆都过抛物线的焦点.以下我们对 AB 的一般情形给于证明.北京大学附属中学河南分校内部资料【证明】如图设焦点两端分别为 ，12,AxyB那么： 211.ypCp设抛物线的准线交 x 轴于 C，那么 F.2111.90AFBAB中 故这就说明：以 A1B1为直径的圆必过该抛物线的焦点. 通法 特法 妙法（1）解析法为对称问题解困排难解
6、析几何是用代数的方法去研究几何，所以它能解决纯几何方法不易解决的几何问题（如对称问题等）.【例 5】 （07.四川文科卷.10 题）已知抛物线y=-x2+3 上存在关于直线 x+y=0 对称的相异两点A、B，则|AB|等于（ ）A.3 B.4 C.3 D.42【分析】直线 AB 必与直线 x+y=0 垂直，且线段AB 的中点必在直线 x+y=0 上，因得解法如下.【解析】点 A、B 关于直线 x+y=0 对称，设直线 AB 的方程 为：. 由yxm 223013yxmx设方程（1）之两根为 x1，x 2，则 .12x设 AB 的中点为 M（x 0，y 0） ，则 .代入 x+y=0：y 0=
7、.故有 .121,2M从而 .直线 AB 的方程为： .方程（1）成为： .解得：1myyxx，从而 ，故得：A（-2，-1） ，B（1，2）. ，选 C.2,x,23A（2）几何法为解析法添彩扬威虽然解析法使几何学得到长足的发展，但伴之而来的却是难以避免的繁杂计算，这又使得许多考生对解析几何习题望而生畏.针对这种现状，人们研究出多种使计算量大幅度减少的优秀方法，其中最有成效的就是几何法.【例 6】 （07.全国 1 卷.11 题）抛物线 的焦点为 ，准线为 ，经过 且斜率为 的直线与抛物线在 轴上24yxFlF3x方的部分相交于点 ， ，垂足为 ，则 的面积（ ）AKl AKA B C 43
8、3D 8【解析】如图直线 AF 的斜率为 时AFX=60.AFK 为正三角形.设准线 交 x 轴于 M，则l 2,FpXY ABFA1B1MCXOYABM0l xy+=XYOF(1,0)AK60Y2=pxL:x=-1M北京大学附属中学河南分校内部资料xyM(x,y)F1(-c,0) F2(c,0)OH2: al xc=-r1 r2r2且KFM=60， .选 C.234,4AKFS【评注】 （1）平面几何知识：边长为 a 的正三角形的面积用公式 计算.234Sa（2）本题如果用解析法，需先列方程组求点 A 的坐标， ，再计算正三角形的边长和面积.虽不是很难，但决没有如上的几何法简单.（3）定义法
9、追本求真的简单一着许多解析几何习题咋看起来很难.但如果返朴归真，用最原始的定义去做，反而特别简单.【例 7】 （07.湖北卷.7 题）双曲线的左准线为 ，左焦点和右焦点分别为 和 ；抛物线 的线为 ，焦点为21:(0)xyCabb， l 1F22Cl与 的一个交点为 ，则 等于（ ）21F； 2M1212FA B C D 12【分析】 这道题如果用解析法去做，计算会特别繁杂，而平面几何知识又一时用不上，那么就从最原始的定义方面去寻找出路吧.如图，我们先做必要的准备工作：设双曲线的半焦距 c，离心率为 e，作 ，令MHl于.点 M 在抛物线上，12,Fr，1122,Fre故这就是说： 的实质是离
10、心率 e.12|其次， 与离心率 e 有什么关系？注意到： 1|FM.121211rcaer这样，最后的答案就自然浮出水面了：由于 .选 A1212| 1FMe（4）三角法本身也是一种解析三角学蕴藏着丰富的解题资源.利用三角手段，可以比较容易地将异名异角的三角函数转化为同名同角的三角函数，然北京大学附属中学河南分校内部资料后根据各种三角关系实施“九九归一”达到解题目的.因此，在解析几何解题中，恰当地引入三角资源，常可以摆脱困境，简化计算.【例 8】 （07.重庆文科.21 题）如图，倾斜角为 a 的直线经过抛物线 xy82的焦点 F，且与抛物线交于 A、B 两点。（）求抛物线的焦点 F 的坐标
11、及准线 l 的方程；（）若 a 为锐角，作线段 AB 的垂直平分线 m 交x 轴于点 P，证明|FP|-|FP|cos2 a 为定值，并求此定值。【解析】 （）焦点 F（2，0） ，准线 .;2lx（）直线 AB： tn1y代入（1） ，整理得：28yx 2ta86tan02y设方程（2）之二根为 y1，y 2，则 .12t6y设 AB 中点为 1200 204cot, tancotMxyy则AB 的垂直平分线方程是： .4tx令 y=0，则 22cot6ct6xP， 有 ，故 222t4ot14cosFPO于是|FP|-|FP|cos2a= ，故为定值.4cs1oscin8（5）消去法合理减
12、负的常用方法.避免解析几何中的繁杂运算，是革新、创新的永恒课题.其中最值得推荐的优秀方法之一便是设而不求，它类似兵法上所说的“不战而屈人之兵”.【例 9】 是否存在同时满足下列两条件的直线 ：（1） 与抛物线 有两个不同的交点 A 和 B；（2）线段 ABllxy82被直线 ：x+5y-5=0 垂直平分.若不存在，说明理由，若存在，求出直线 的方程.1l l【解析】假定在抛物线 上存在这样的两点xy8212.AxyBxy， ， ， 则 有 ：211212128yx 12128Bk线段 AB 被直线 ：x+5y-5=0 垂直平分，且1l 15lAB， ， 即 125yAM北京大学附属中学河南分校
13、内部资料.1285y设线段 AB 的中点为 .代入 x+5y-5=0 得 x=1.于是：120045yMxy， ， 则AB 中点为 .故存在符合题设条件的直线，其方程为：415，2510yxxy， 即 ：（6）探索法奔向数学方法的高深层次有一些解析几何习题，初看起来好似“树高荫深，叫樵夫难以下手”.这时就得冷静分析，探索规律，不断地猜想证明再猜想再证明.终于发现“无限风光在险峰”.【例 10】 （07.安徽卷.14 题）如图，抛物线 y=-x2+1 与 x 轴的正半轴交于点 A，将线段 OA 的 n 等分点从左至右依次记为 P1,P2,Pn-1,过这些分点分别作 x 轴的垂线，与抛物线的交点依
14、次为 Q1，Q 2，Q n-1，从而得到 n-1 个直角三角形Q1OP1, Q2P1P2, Q n-1Pn-1Pn-1,当 n时，这些三角形的面积之和的极限为 . 【解析】 OAn， 图 中 每 个 直 角 三 角 形 的 底 边 长 均 为设 OA 上第 k 个分点为220.1.k kyxyn， 代 入 ：第 k 个三角形的面积为： 21.kka.221 221412n nnS故这些三角形的面积之和的极限 2 1limlim13n nS n抛物线定义的妙用对于抛物线有关问题的求解，若能巧妙地应用定义思考，常能化繁为简，优化解题思路，提高思维能力。现举例说明如下。一、求轨迹（或方程）例 1.
15、已知动点 M 的坐标满足方程 ，则动点 M 的轨迹是（ ）A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 以上都不对解：由题意得：即动点 到直线 的距离等于它到原点（0，0）的距离由抛物线定义可知：动点 M 的轨迹是以原点（0，0）为焦点，以直线 为准线的抛物线。故选 C。二、求参数的值例 2. 已知抛物线的顶点在原点，焦点在 y 轴上，抛物线上一点 到焦点距离为 5，求 m 的值。解：设抛物线方程为 ，准线方程：点 M 到焦点距离与到准线距离相等北京大学附属中学河南分校内部资料解得：抛物线方程为把 代入得：三、求角例 3. 过抛物线焦点 F 的直线与抛物线交于 A、B 两点，若 A、B 在抛物
16、线准线上的射影分别为 ，则_。A. 45 B. 60 C. 90 D. 120图 1解：如图 1，由抛物线的定义知：则由题意知：即故选 C。四、求三角形面积例 4. 设 O 为抛物线的顶点，F 为抛物线的焦点且 PQ 为过焦点的弦，若 ， 。求OPQ 的面积。解析：如图 2，不妨设抛物线方程为 ，点 、点图 2则由抛物线定义知：又 ，则由 得：即又 PQ 为过焦点的弦，所以则北京大学附属中学河南分校内部资料所以，点评：将焦点弦分成两段，利用定义将焦点弦长用两端点横坐标表示，结合抛物线方程，利用韦达定理是常见的基本技能。五、求最值例 5. 设 P 是抛物线 上的一个动点。（1）求点 P 到点 A
17、（-1，1）的距离与点 P 到直线 的距离之和的最小值；（2）若 B（3，2），求 的最小值。解：（1）如图 3，易知抛物线的焦点为 F（1，0），准线是由抛物线的定义知：点 P 到直线 的距离等于点 P 到焦点 F 的距离。于是，问题转化为：在曲线上求一点 P，使点 P 到点 A（-1，1）的距离与点 P 到 F（1，0）的距离之和最小。显然，连结 AF 交曲线于 P 点，则所求最小值为 ，即为 。图 3（2）如图 4，自点 B 作 BQ 垂直准线于 Q 交抛物线于点 ，则，则有即 的最小值为 4图 4点评：本题利用抛物线的定义，将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，从而构造出“
18、两点间线段距离最短”，使问题获解。六、证明例 6. 求证：以抛物线 过焦点的弦为直径的圆，必与此抛物线的准线相切。证明：如图 5，设抛物线的准线为 ，过 A、B 两点分别作 AC、BD 垂直于 ，垂足分别为 C、D。取线段 AB 中点 M，作 MH 垂直 于 H。图 5由抛物线的定义有：ABDC 是直角梯形北京大学附属中学河南分校内部资料即 为圆的半径，而准线过半径 MH 的外端且与半径垂直，故本题得证。抛物线与面积问题抛物线与面积相结合的题目是近年来中考数学中常见的问题。解答此类问题时，要充分利用抛物线和面积的有关知识，重点把握相交坐标点的位置及坐标点之间的距离，得出相应的线段长或高，从而求
19、解。例 1. 如图 1，二次函数 的图像与 x 轴交于 A、B 两点，其中 A 点坐标为（1，0）。点C（0，5）、点 D（1，8）在抛物线上，M 为抛物线的顶点。图 1（1）求抛物线的解析式；（2）求MCB 的面积。解：（1）设抛物线的解析式为，根据题意得，解得所求的抛物线的解析式为（2）C 点坐标为（0，5），OC5令 ，则 ，解得B 点坐标为（5，0），OB5 ，顶点 M 的坐标为（2，9）过点 M 作 MNAB 于点 N，则 ON2，MN9例 2. 如图 2，面积为 18 的等腰直角三角形 OAB 的一条直角边 OA 在 x 轴上，二次函数 的图像过原点、A 点和斜边 OB 的中点 M
20、。图 2（1）求出这个二次函数的解析式和对称轴。（2）在坐标轴上是否存一点 P，使PMA 中 PAPM，如果存在，写出 P 点的坐标，如果不存在，说明理由。解：（1）等腰直角OAB 的面积为 18，北京大学附属中学河南分校内部资料OAOB6M 是斜边 OB 的中点，点 A 的坐标为（6，0）点 M 的坐标为（3，3）抛物线 ，解得解析式为 ，对称轴为（2）答：在 x 轴、y 轴上都存在点 P，使PAM 中 PAPM。P 点在 x 轴上，且满足 PAPM 时，点 P 坐标为（3，0）。P 点在 y 轴上，且满足 PAPM 时，点 P 坐标为（0，3）。例 3. 二次函数 的图像一部分如图 3，已
21、知它的顶点 M 在第二象限，且经过点 A（1，0）和点B（0，1）。图 3（1）请判断实数 a 的取值范围，并说明理由。（2）设此二次函数的图像与 x 轴的另一个交点为 c，当AMC 的面积为ABC 面积的 倍时，求 a 的值。解：（1）由图象可知： ；图象过点（0，1），所以 c1；图象过点（1，0），则 ；当 时，应有 ，则当 代入得 ，即所以，实数 a 的取值范围为 。（2）此时函数 ，要使，可求得 。例 4. 如图 4，在同一直角坐标系内，如果 x 轴与一次函数 的图象以及分别过 C（1，0）、D（4，0）两点且平行于 y 轴的两条直线所围成的图形 ABDC 的面积为 7。北京大学附属
22、中学河南分校内部资料图 4（1）求 K 的值；（2）求过 F、C、D 三点的抛物线的解析式；（3）线段 CD 上的一个动点 P 从点 D 出发，以 1 单位/秒的速度沿 DC 的方向移动（点 P 不重合于点 C），过 P 点作直线PQCD 交 EF 于 Q。当 P 从点 D 出发 t 秒后，求四边形 PQFC 的面积 S 与 t 之间的函数关系式，并确定 t 的取值范围。解：（1）点 A、B 在一次函数 的图象上，且四边形 ABDC 的面积为 7 。（2）由 F（0，4），C（1，0），D（4，0）得（3）PD1ttOP4t即 。抛物线1 已知抛物线 D：y 2=4x 的焦点与椭圆 Q： 的右
23、焦点 F1 重合，且点 在椭圆)0(12bayx )26,(PQ 上。 （）求椭圆 Q 的方程及其离心率；（）若倾斜角为 45的直线 l 过椭圆 Q 的左焦点 F2，且与椭圆相交于 A，B 两点，求ABF 1 的面积。解：（）由题意知，抛物线 的焦点为（1，0）xy42椭圆 Q 的右焦点 F1 的坐标为（1，0） 。 12ba又点 在椭圆 Q 上， 即 )26,(P)6()(22123ba由，解得 椭圆 Q 的方程为 离心离 3,42ba34yx 21abce北京大学附属中学河南分校内部资料（）由（）知 F2（1，0）直线 l 的方程为 设1)1(45tan0xyxy， 即由方程组 消 y 整
24、理，得 ),(),(21yxBA， 1342xy 78,08721212 7)(| 212121又点 F1 到直线 l 的距离 )(|2d 71221|1 dABSBF2 如图所示，抛物线 y2=4x 的顶点为 O，点 A 的坐标为(5，0)，倾斜角为 的直线 l 与线段 OA 相交( 不经过点 O 或点 A)且4交抛物线于 M、N 两点，求AMN 面积最大时直线 l 的方程，并求 AMN 的最大面积 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解法一 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 由题意，可设 l 的方程为 y=x+m,其中5m0 头htp:
25、/w.xjkygcom126t:/.j 由方程组 ,消去 y,得 x2+(2m4) x+m2=0 直线 l 与抛物线有两个不同交点 M、N，方程的判别式 =(2m4) 24m 2=16(1m)0,解得 m1,又5m0,m 的范围为(5，0)设 M(x1,y1),N(x2,y2)则 x1+x2=42m，x 1x2=m2,|MN|=4 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 点 A 到直线 l 的距离为 d= 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j )(5S =2(5+m) ,从而 S 2=4(1m)(5+m) 2=2(22m) (5+m)(5+m)2( )3=128 头htp
26、:/w.xjkygcom126t:/.j 2S 8 ,当且仅当 22m=5+m,即 m=1 时取等号 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 故直线 l 的方程为 y=x1，AMN 的最大面积为 8 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解法二 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 由题意，可设 l 与 x 轴相交于 B（ m,0） , l 的方程为 x = y +m,其中 0m5 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 由方程组 ,消去 x,得 y 24 y 4m=0 直线 l 与抛物线有两个不同交点 M、N，4方程的判别式
27、 =(4) 2+16m=16(1+m)0 必成立,设 M(x1,y1),N(x2,y2)则 y 1+ y 2=4，y 1y 2=4m,S = 4 =4211(5)|(5)25()1()mS 8 ,当且仅当 即 m=1 时取等号 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 351()()(224 23m 51()()2故直线 l 的方程为 y=x1，AMN 的最大面积为 8 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j3 已知 O 为坐标原点，P( )( )为 轴上一动点，过 P 作直线交抛物线 于 A、B 两点，设 S -0,a )0(2pxyAOB= ，试问： 为何值时，t 取得最小值，并求出最小值。ABtanBNMAoyx北京大学附属中学河南分校内部资料、解：交 AB 与 轴不重叠时，设 AB 的方程为x )(exky合 消 y 可得：pyak2)( 022apxk设 A B 则 ， 交 AB 与 x 轴重叠时，),(1x),(221Py1上述结论仍然成立AOBlincoBOAOS sin又 cot21 21yx 当 时 取“=” ， 综上 当2211)()( payxt pa时pe2mint
