1、高中数学专题四 椭圆、双曲线、抛物线圆锥曲线知识点小结一、椭圆：（1）椭圆的定义：平面内与两个定点 的距离的和等于常数（大于 ）21,F|21F的点的轨迹。其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。注意： 表示椭圆； 表示线段 ； 没有轨迹；|21Fa|21Fa21|21a（2）椭圆的标准方程、图象及几何性质：中心在原点，焦点在 轴上x中心在原点，焦点在 轴上y标准方程 )0(2byax )0(2baxy图 形 xOF1 F2P yA2A1B1B2 xOF1F2PyA2B2B1顶 点 ),0(,(21ba ),0(,()21ab对称轴 轴， 轴；短轴为 ，长轴为xyb2焦 点 ,21
2、cF,),021cF焦 距 )(|1ac离心率 （离心率越大，椭圆越扁）0(ea通 径 （过焦点且垂直于对称轴的直线夹在椭圆内的线段）2ba3常用结论：（1）椭圆 的两个焦点为 ，过 的直线交椭圆于)0(12bayx 21,F1两点，则 的周长= BA,F（2）设椭圆 左、右两个焦点为 ，过 且垂直于对称轴)(2byax 21,1的直线交椭圆于 两点，则 的坐标分别是 QP, |PQ二、双曲线：A1（1）双曲线的定义：平面内与两个定点 的距离的差的绝对值等于常数（小于21,F）的点的轨迹。|2F其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。注意： 与 （ ）表示双曲线的一支。aP2|1
3、aP2|12|21F表示两条射线； 没有轨迹；|22a|F（2）双曲线的标准方程、图象及几何性质：中心在原点，焦点在 轴上x中心在原点，焦点在 轴上y标准方程 )0,(12bayx )0,(12baxy图 形 xOF1 F2P yA2A1xOF1PB2B1F2顶 点 )0,(,21a ),0(,2a对称轴 轴， 轴；虚轴为 ，实轴为xyb2焦 点 )0,(,21cF),0(,21cF焦 距 )|12ac离心率 （离心率越大，开口越大）(ea渐近线 xbyxby通 径2ba（3）双曲线的渐近线：求双曲线 的渐近线，可令其右边的 1 为 0，即得 ，因式分解得到12byax 02yx。0与双曲线
4、共渐近线的双曲线系方程是 ；12byax 2byax（4）等轴双曲线为 ，其离心率为2ty（4）常用结论：（1）双曲线 的两个焦点为 ，过 的直线交)0,(12bayx 21,F1双曲线的同一支于 两点，则 的周长= BA,2F（2）设双曲线 左、右两个焦点为 ，过 且垂直于对),(2byax 21,1称轴的直线交双曲线于 两点，则 的坐标分别是 QP,|PQ三、抛物线：（1）抛物线的定义：平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离相等的点的轨迹。其中：定点为抛物线的焦点，定直线叫做准线。（2）抛物线的标准方程、图象及几何性质： 0p焦点在 轴上，x焦点在 轴上，x焦点在 轴上，y焦点在 轴上，
5、y开口向右 开口向左 开口向上 开口向下标准方程 py2py2px2px2图 形 xO FPylOFP y lxOFPylxOFPylx顶 点 )0,(对称轴 轴x 轴y焦 点 )0,2(pF),2(pF)2,(pF)2,0(pF离心率 1e准 线 xxypy通 径 p2焦半径 |0pPF2|0PF焦点弦焦准距 p四、弦长公式： |14)(1|1| 22212212 AkxxkxkAB 其中, 分别是联立直线方程和圆锥曲线方程,消去 y 后所得关于 x 的一元二次方程的判别式和 的系数2x五、弦的中点坐标的求法法（一）：（1）求出或设出直线与圆锥曲线方程；（2）联立两方程，消去 y,得关于 x
6、 的一元二次方程 设 ， ，由韦达定理求出,02CBxA),(1yxA),(2yxB；（3）设中点 ，由中点坐标公式得 ；再把B21 ),(0yM210x代入直线方程求出 。0x0法（二）：用点差法，设 ， ，中点 ，由点在曲线上，),(1yxA),(2yxB),(0yxM线段的中点坐标公式，过 A、B 两点斜率公式，列出 5 个方程，通过相减，代入等变形，求出 。0,yx六、求离心率的常用方法：法一，分别求出 a,c，再代入公式法二、建立 a,b,c 满足的关系，消去 b,再化为关于 e 的方程，最后解方程求 e (求 e 时，要注意椭圆离心率取值范围是 0e1，而双曲线离心率取值范围是 e
7、1)高考专题训练 椭圆、双曲线、抛物线一、选择题：1(2011辽宁 )已知 F 是抛物线 y2x 的焦点，A，B 是抛物线上的两点，|AF| BF|3，则线段 AB 的中点 M 到 y 轴的距离为( )A. B1 34C. D.54 74答案：C2(2011湖北 )将两个顶点在抛物线 y22px(p0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为 n，则( )An0 Bn1Cn 2 Dn3答案：C3(2011全国 )已知抛物线 C：y 24x 的焦点为 F，直线 y2x4 与 C 交于A，B 两点，则 cosAFB( )A. B.45 35C D35 45答案：D4(2011浙江 )已知椭圆
8、 C1： 1(ab0)与双曲线 C2：x 2 1 有公共的x2a2 y2b2 y24焦点，C 2 的一条渐近线与以 C1 的长轴为直径的圆相交于 A，B 两点若 C1 恰好将线段AB 三等分，则 ( )Aa 2 Ba 213132Cb 2 Db 2212答案：C5(2011福建 )设圆锥曲线的两个焦点分别为 F1，F 2，若曲线上存在点 P 满足|PF1|：|F 1F2|：| PF2|4：3：2，则曲线的离心率等于( )A. 或 B. 或 212 32 23C. 或 2 D. 或12 23 32答案：A6(2011邹城一中 5 月模拟 )设 F1，F 2 是双曲线 1(a0，b0)的左、右两x
9、2a2 y2b2个焦点，若双曲线右支上存在一点 P，使( ) 0( O 为坐标原点)，且OP OF2 F2P |PF1| |PF2|，则双曲线的离心率为 ( )3A. B. 12 12 2C. D. 13 12 3答案：D二、填空题：7(2011江西 )若椭圆 1 的焦点在 x 轴上，过点 作圆 x2y 21 的切x2a2 y2b2 (1，12)线，切点分别为 A，B，直线 AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是_答案： 1x25 y248(2011课标 )在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 的中心在原点，焦点 F1，F 2 在x 轴上，离心率为 ，过 F1 的直线 l 交 C
10、于 A，B 两点，且ABF 2 的周长为 16，那么22C 的方程为 _答案： 1x216 y289(2011浙江 )设 F1，F 2 分别为椭圆 y 21 的左、右焦点，点 A，B 在椭圆上，x23若 5 ，则点 A 的坐标是_F1A F2B 答案：(0 ，1)10(2011全国 )已知 F1、F 2 分别为双曲线 C： 1 的左、右焦点，点x29 y227AC，点 M 的坐标为(2,0)，AM 为F 1AF2 的角平分线，则 |AF2|_.答案：6三、解答题：11(12 分)(2011 江西)P (x0，y 0)(x0 a)是双曲线 E： 1(a0 ，b0)上一x2a2 y2b2点，M、
11、N 分别是双曲线 E 的左、右顶点，直线 PM， PN 的斜率之积为 .15(1)求双曲线的离心率；(2)过双曲线 E 的右焦点且斜率为 1 的直线交双曲线于 A，B 两点，O 为坐标原点，C 为双曲线上一点，满足 ，求 的值OC OA OB 解：(1) e .ca 305(2)0 或 4.12(13 分)(2011 辽宁)如图，已知椭圆 C1 的中心在原点 O，长轴左、右端点M，N 在 x 轴上，椭圆 C2 的短轴为 MN，且 C1，C 2 的离心率都为 e.直线 lMN，l 与C1 交于两点，与 C2 交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为 A，B，C，D.(1)设 e ，求|BC| 与|
12、AD |的比值；12(2)当 e 变化时，是否存在直线 l，使得 BO AN，并说明理由解：(1) |BC|:|AD| .34(2)t0 时的 l 不符合题意，t0 时，BO AN 当且仅当 BO 的斜率 kBO 与 AN 的斜率 kAN 相等时成立基础巩固题目 椭圆、双曲线、抛物线（2） 双曲线 xy的实轴长是（A）2 (B) (C) 4 (D) 4 【解析】选 C.(5) 在极坐标系中，点 (,) 到圆 2cos 的圆心的距离为来源:学#科#网（A） 2 (B) 249(C) 219（D) 3【解析】选 D.（21） （本小题满分 13 分）设 ，点 A的坐标为（1,1） ，点 B在抛物线
13、 yx上运动，点 Q满足 BAur，经过 Q点与 Mx轴垂直的直线交抛物线于点 M，点 P满足Pur,求点 的轨迹方程。解：点 P 的轨迹方程为 .12xy(3) 双曲线 xy的实轴长是（A）2 (B) (C) 4 (D) 4 【解析】选 C.(4) 若直线 xya过圆 xy的圆心,则 a 的值为（A） 1 (B) 1 (C) 3 (D) 3【解析】 .（17 ） （本小题满分 13 分）设直线 121212:x+:y=k1k+0lykl， ， 其 中 实 数 满 足 ，（I）证明 与 相交；（II）证明 1l与 2的交点在椭圆 2x+上 .证明：（I ）反证法3.在极坐标系中，圆 2sin的
14、圆心的极坐标是A. (1,)2 B. (1,)C. (1,0) D. (1,)【解析】：，选 B。19.已知椭圆 G：214xy，过点（m，0 ）作圆 21xy的切线 l 交椭圆 G 于 A，B两点。（1 ）求椭圆 G 的焦点坐标和离心率；（2 ）将 |AB表示为 m 的函数，并求 |AB的最大值。解：（） .23ace（）当 时，|AB|=2，所以|AB| 的最大值为 2.8已知点 A（0,2） ，B（2,0） 若点 C 在函数 y = x 的图像上，则使得 ABC 的面积为 2 的点C 的个数为 AA4 B3 C2 D119 （本小题共 14 分）已知椭圆2:1(0)xyGab的离心率为
15、63，右焦点为（ 2,0） ，斜率为 I的直线 l与椭圆 G 交与 A、B 两点，以 AB 为底边作等腰三角形，顶点为 P（-3,2）.（I）求椭圆 G 的方程；（II）求 P的面积.解：（）椭圆 G 的方程为214xy（）PAB 的面积 S= .9|1dAB7设圆锥曲线 r 的两个焦点分别为 F1，F 2，若曲线 r 上存在点 P 满足12:PF=4:3:2，则曲线 r 的离心率等于 AA 3或 B 3或 2 C 1或 2 D 23或17 （本小题满分 13 分）已知直线 l：y=x+m，mR 。（I）若以点 M（2,0）为圆心的圆与直线 l 相切与点 P，且点 P 在 y 轴上，求该圆的方
16、程；（II）若直线 l 关于 x 轴对称的直线为 ，问直线 l与抛物线 C：x 2=4y 是否相切？说明理由。（I）圆的方程为 2()8.y（II）当 m=1 时，直线 l与抛物线 C 相切；当 1m时，直线 l与抛物线 C 不相切。21.（ 2） （本小题满分 7 分）坐标系与参数方程在直接坐标系 xOy 中，直线 l 的方程为 x-y+4=0，曲线 C 的参数方程为x3cosyin（ 为 参 数 ）（I）已知在极坐标（与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x轴正半轴为极轴）中，点 P 的极坐标为（ 4， 2 ） ，判断点 P 与直线 l 的位置关系；（II）设点
17、 Q 是曲线 C 上的一个动点，求它到直线 l 的距离的最小值解：（I）点 P 在直线 l上（II）最小值为 2.11设圆锥曲线 G的两个焦点分别为 F1、F 2，若曲线 G上存在点 P 满足|PF1|：|F 1F2|：| PF2|4：3 ： 2，则曲线 的离心率等于 A A. 或 B 或 2 C 或 2 D 或12 32 23 12 23 3218.（本小题满分 12 分）如图，直线 l：yxb 与抛物线 C：x 24y 相切于点 A。（）求实数 b 的值；（）求以点 A 为圆心，且与抛物线 C 的准线相切的圆的方程。解：（I）b=-1（II）圆 A 的方程为 22()(1)4.xy14.（
18、坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为 5cos(0)inxy 和25()4xtRy，它们的交点坐标为 .来源:Zxxk.Com19. （本小题满分 14 分）设圆 C 与两圆 225,5xx（ +） （ ） 中 的一个内切，另一个外切.（1 ）求 C 的圆心轨迹 L 的方程 .（2 ）已知点 34()5MF， ， （ ， 0） ， 且 P 为 L 上动点，求 MPF的最大值及此时点 P 的坐标 .（1 ） 解： L 的方程为21.4xy（2 ）解：最大值 2。;2|),( ),Q(AB:.y)0(41) |,max|, ,04,.41:L)14.(2102 22 212pq qpA
19、qx xqpxOy 有 上 的 作 一 点对 线 段证 明轴 于 点的 切 线 交作过 点 记的 两 根 是 方 程满 足实 数给 定 抛 物 线上在 平 面 直 角 坐 标 系分本 小 题 满 分（2 ）设 Mab是定点，其中 ,ab满足 240a ， .过 (,)Mb作 L的两条切线1,l，切点分别为 2121(,)()4EP， 12,l与 y分别交于 F.线段 E上异于两端点的点集记为 X.证明： 112|, (,)2PabXab；2minmax15(,),(),4, ).Dxyyxpqpq(3)设 当 点 （ ） 取 遍 时 ， 求（ ） 的 最 小 值 记 为 和 最 大 值 记 为解：（） max54； 0inin|12x
