1、第 1 页( 共 9 页)通项公式及其求和方法归纳【递推公式求通项式】已知数列的递推公式，求取其通项公式是数列中一类常见的题型，这类题型如果单纯的看某一个具体的题目，它的求解方法灵活是灵活多变的，构造的技巧性也很强，但是此类题目也有很强的规律性，存在着解决问题的通法，本文就高中数学中常见的几类题型从解决通法上做一总结，方便于学生学习和老师的教学，不涉及具体某一题目的独特解法与技巧。一、 型数列， （其中 不是常值函数)1()naf(fn此类数列解决的办法是累加法，具体做法是将通项变形为 ，1()naf从而就有 21321(),(),().nafafaf将上述 个式子累加，变成 ，进而求解。n1
2、(2)nf例 1. 在数列 中,n1,.n求类似题型练习：已知 na满足 1， )1(nan求 na的通项公式。二、 型数列， （其中 不是常值函数)(1nfan (fn此类数列解决的办法是累积法，具体做法是将通项变形为 ，从1()naf而就有 32121(),(),()naafff 将上述 个式子累乘，变成 ，进而求解。n2nf第 2 页( 共 9 页)例 2. 已知数列 中 ，求数列 的通项公na1123,(2)nnana式。类似题型练习：在数列 中, 0, ,求 .nn2211,()nnn提示：依题意分解因式可得 ，而 0,所以1()0aa，即 。1()0na1na三、 型数列1nnap
3、q此类数列解决的办法是将其构造成一个新的等比数列，再利用等比数列的性质进行求解，构造的办法有两种，一是待定系数法构造，设，展开整理 ，比较系数有 ，所1()nnm 1nnapmpmb以 ，所以 是等比数列，公比为 ，首项为 。二是用bpbp1a做差法直接构造， ， ，两式相减有1nnq1nq，所以 是公比为 的等比数列。1()naa 1ap例 3. 在数列 中， ，当 时，有 ，求 的通项n2132nana公式。类似题型练习：已知数列 满足 求数列 的na*11,2().naNna通项公式.第 3 页( 共 9 页)四 型数列（ p 为常数）nfpan1此类数列可变形为 ，则 可用累加法求出，
4、由此求得11nfana.na例 4 已知数列 满足 ,求 .n 111,32nnn例 5已知数列 满足na1 1,2,2,.nnaa当 时 求类似题型练习：（1）已知 满足 ，求 。na1112,2nnana（2）已知数列 ， 表示其前 项和，若满足 ，求数S 231nS列 的通项公式。na提示：（2）中利用 ，把已知条件转化成递推式。1,2nna五、 型数列（ 为非零常数）nnAaBC,ABC这种类型的解法是将式子两边同时取倒数,把数列的倒数看成是一个新数列,便可顺利地转化为 型数列。1nnpq例 6已知数列 满足 ,求 .a112,nnan第 4 页( 共 9 页)类似题型练习：数列 中，
5、 ，求 的通项。na12,2nana六. 型数列（ 为常数）nnqapa12 ,pq这种类型的做法是用待定糸数法设 构造等比数列。nnnaa112例 7数列 中， 且 ，求 .n,3,212,Nna类似题型练习：已知数列 满足， .na *112,2naaN 令 ，证明： 是等比数列；1nnbab()求 的通项公式。第 5 页( 共 9 页)数列通项求法 2七、对数变换法 适用于 (其中 p,r 为常数)型 p0， rnnpa1 0na例. 设正项数列 满足 ， （n2）.求数列 的通项公式.a21n12na练习 数列 中， ， （n2） ，求数列 的通项公式. n1a12nnana答案：22
6、、对无穷递推数列例 已知数列 满足 ，求 的na11231()(2)n naaa， na通项公式。八：形如 1nnbcd分析：递归函数为 ()axf（1）若有两个相异的不动点 p,q 时，将递归关系式两边分别减去不动点 p,q，再将两式相除得 ，其中 ，1nnpkaqapckq11()()nnqkap（2）若有两个相同的不动点 p，则将递归关系式两边减去不动点 p，然后用 1除，得 ，其中 。1nnka2cad例. 设数列 满足 ,求数列 的通项公式.n 7245,11nnana.3421nna第 6 页( 共 9 页)例 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。na1124nna， na。13
7、2()9nna练习 1：已知 满足 ，求 的通项na1122,()nanan答案： 3()nn练习 2。已知数列 满足 ，求数列 的通项na*112,()46nnaNnan答案： 13506n数列求和一、利用常用求和公式求和等差数列求和公式： dnanS2)1(2)(112、等比数列求和公式： )()(11 qqnnn4、)1(1nkSn )12(612nkSn二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列a n b n的前 n 项和，其中 a n 、 b n 分别是等差数列和等比数列。例 3 求和： 132)2(7531n xxS解：由题可知
8、， 的通项是等差数列2n1的通项与等比数列 的1)(n 1nx通项之积设 （设制错位）nn xxxxS)2(7531432得 （错位nnn xxS )12(1)( 143 相减）再利用等比数列的求和公式得： nnnxSx)(1第 7 页( 共 9 页) 21)()1()2(xxnnS例 4 求数列 前 n 项的和.,624,3n1nS练习：求：S n=1+5x+9x2+(4n-3)xn-1三、倒序相加法求和这是推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序） ，再把它与原数列相加，就可以得到 n 个 .)(1na例 5 求证： nn CC2)2(53210 证明：
9、设 nS把式右边倒转过来得（反序）0113)2()1( nnnn 又由 可得mnC nnn CS110)()(+得 （反nnn 2)1()20 序相加） nnS)1(例 6 求 的值 89sini3si2isi 222 例 12 求 cos1+ cos2+ cos3+ cos178+ cos179的值.四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.例 7 求数列的前 n 项和： ，231,7,412naa练习：求数列 的前 n 项和。)(,8342,1n五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中
10、的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：第 8 页( 共 9 页)1)(1nna例 9 求数列 的前 n 项和.,1,32, n例 10 在数列a n中， ，又 ，求数列2an 12nnabbn的前 n 项的和.练习例 1： 求下列数列的前 项和：n23(),48 11,579(2)(3)n 1()1,2442n 1 数列 na的前 项和为 nS，若 ()na，则 5?S1,?10.的 通 项 则3 求前 n 项和(2)nn数 列 a满 足 ： ，4、若函数求(),1xf11()(08)()()?2072fffff 5. =_.222 .9567980 6已知数列 的通项公式为 ,求前 n 项和 。na1an ns第 9 页( 共 9 页)7求和： )13(2.10274243 n8已知 ，求前 n 项和 。)(nans9已知 ,求其前前 n 项和 .142n ns10.设数列 的前 n 项和为 Sn=2n2， 为等比数列，且nanb.)(,121bb（1）求数列 和 的通项公式；n（2）设 ，求数列 的前 n 项和 Tn.nbacnc
