立体几何大题—利用等体积解题.doc

1、学大教育个性化教学教案Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.立体几何大题中有关体积的求法1、求空间距离中，求点到平面的距离是重点，求两条异面直线间的距离是难点 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 2、求点到平面的距离通常有四种方法 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco (1)直接法，即直接由点作垂线，求垂线段的长 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j (2)转移法，转化成求另一点到该平面的距离 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j (3)体积法 头htp:/w.xj

2、kygcom126t:/.j (4)向量法 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j例题分析：例 1、如图，已知 ABCD 是矩形，AB=a,AD=b,PA平面 ABCD，PA=2c ,Q 是 PA 的中点 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 求 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco (1)Q 到 BD 的距离；(2)P 到平面 BQD 的距离 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 例 2、如图，在棱长为 2 的正方体 中，G 是 的中点，求 BD 到平面 的距离.1AC1 1DGBBACDOGH1A11QP DCBA学大教

3、育个性化教学教案Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.ED1 C1B1A1D CBA例 3、已知正四棱柱 ABCDA1B1C1D1，点 E 在棱 D1D 上，截面 EACD 1B 且面 EAC 与底面ABCD 所成的角为 45,AB=a,求 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco (1)截面 EAC 的面积；(2)异面直线 A1B1 与 AC 之间的距离；(3)三棱锥 B1EAC 的体积 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 参考答案：例 1、如图，已知 ABCD 是矩形，AB=a,AD=b,

4、PA平面 ABCD，PA=2c ,Q 是 PA 的中点 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 求 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco (1)Q 到 BD 的距离；(2)P 到平面 BQD 的距离 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco (1)在矩形 ABCD 中，作 AEBD ，E 为垂足连结 QE，QA平面 ABCD，由三垂线定理得 QEBEQE 的长为 Q 到 BD 的距离在矩形 ABCD 中，AB =a,AD=b, AE= 2ba在 Rt QAE 中，

5、QA= PA=c1QE= 22bacQ 到 BD 距离为 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 2(2)解法一 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 平面 BQD 经过线段 PA 的中点，P 到平面 BQD 的距离等于 A 到平面 BQD 的距离在AQE 中，作 AHQE，H 为垂足BDAE,BDQE,BD平面 AQE BD AHHEQPDCBA学大教育个性化教学教案Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.AH平面 BQE，即 AH 为 A 到平面 BQD 的距离 头htp:/w.xjkygc

6、om126t:/.j 在 Rt AQE 中，AQ=c,AE= 2baAH= 22)(cbaP 到平面 BD 的距离为 22)(bac解法二 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 设点 A 到平面 QBD 的距离为 h，由VABQD=VQABD,得 S BQDh= SABD AQ331h= 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 2)(baSBD例 2 如图，在棱长为 2 的正方体 中，G 是 的中点，求 BD 到平面 的距离.1AC1 1DGB思路启迪：把线面距离转化为点面距离，再用点到平面距离的方法求解.解答过程：解析一 平面 ，BD1上任意一点

7、到平面 的距离皆为所求，以下求DGB点 O 平面 的距离,1， ， 平面 ,1CADBA111AC又 平面GB平面 ，两个平面的交线是 ,11 GO1作 于 H，则有 平面 ，即 OH 是 O 点到平面 的距离.ODB1DB在 中， .G1 2211 ASG又 .36,311 HOO即 BD 到平面 的距离等于 .1DB62解析二 平面 ，1GBACDOGH1A11学大教育个性化教学教案Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.上任意一点到平面 的距离皆为所求，以下求点 B 平面 的距离.BD1DGB1DG设点 B 到平面 的距离为 h，将它

8、视为三棱锥 的高，则1 1, ，由 于 632,111 DGBGBDSV 34231 GBDV,3624h即 BD 到平面 的距离等于 .1B362小结：当直线与平面平行时，直线上的每一点到平面的距离都相等，都是线面距离.所以求线面距离关键是选准恰当的点，转化为点面距离.本例解析一是根据选出的点直接作出距离；解析二是等体积法求出点面距离.例 3、已知正四棱柱 ABCDA1B1C1D1，点 E 在棱 D1D 上，截面 EACD 1B 且面 EAC 与底面ABCD 所成的角为 45,AB=a,求 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco (1)截面 EAC 的面积；

9、(2)异面直线 A1B1 与 AC 之间的距离；(3)三棱锥 B1EAC 的体积 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco (1)连结 DB 交 AC 于 O，连结 EO，底面 ABCD 是正方形DOAC，又 ED面 ABCDEOAC，即EOD =45又 DO= a，AC= a，EO= =a，S EAC = a245cosD2(2)A 1A底面 ABCD，A 1AAC ，又 A1AA 1B1A 1A 是异面直线 A1B1 与 AC 间的公垂线又 EOBD 1，O 为 BD 中点，D 1B=2EO=2aD 1D= a，A 1B1 与 AC 距离为 a22(3)连结 B1D 交 D1B 于 P，交 EO 于 Q，推证出 B1D面 EACB 1Q 是三棱锥 B1EAC 的高，得 B1Q= a332431 aaVEACED1 C1B1A1D CBA