1、第 14 讲 锐角三角函数知识纵横古希腊数学家和古代中国数学家为了测量的需要，他们发现并经常利用下列几何结论：在两个大小不同的直角三角形中，只要有一个锐角相等，那么这两个三角形的对应边的比值一定相等。正是古人对天文观 察和测量的需要才引起人们对 三角函数的研究， 1748 年经过瑞士的著名数学家欧拉的应用，才逐 渐形成现在的 的通用形式。cotansi、三角函数揭示了直角三角形中边与锐角之间的关系，是数学结合的桥梁之一，有一下丰富的性质：1.单调性2.互余三角函数间的关系3.同角三角函数之间的关系。平方关系 1cosin22a商数关系 inst,it倒数关系 t例题求解【例 1】（1）如图，在
2、正方形 中， 是 的中点， 是 上异于 的点，且ABCDNMAD,则 的值为 .MNBtan（全国初中数学联赛题）(2)已知在 中， 是锐角，且 ，则 = .ABC、 135sinAABCS（黄冈市竞赛题）思路点拨 对于（1），由 ，分别延长 交于 ，可构造等腰三角MBCNN、 T形，作 于 ，通过相似三角形建立线段关系；对于（2），过 作 于 ，这TEDABD样由三角函数定义得到线段的比， , ,设135sinAD2tanB，解题的关键是求出 的值。cmACc,13,5 m、【例 2】如图，在 中， ， ， 则 = ABC9015ABCACA. B. C. D.332.23（全国初中数学联赛
3、试题）【例 3】如图，在直角坐标系中，已知 中， ,点 的坐标分别为ABCRt90CA、43tan),01(,(CA，、（1（求过点 直线的函数表达式.B、（2（在 轴上找一点 ，连接 ，使得 与 相似（不包括全等），并求点 的xDDD坐标.（3（在（2）的条件下，如果 分别是 和 AD 的动点，连接 ，设 ，QP、 ABPQmA问是否存在这样的 使得 与 相似，如存在，求出 的值，如不存在，请说mm明理由。（济南市中考题）思路点拨 对于（3），根据相似三角形的 传递性，把 与 相似的问题转化为APQDB与 相似的问题，按直角顶点分情况讨论。解本例的关键是： 是三个直角三APQBC A角形的公
4、共角，其正切值贯穿解 题的始终。【例 4】已知O 过点 ，点 与点 关于 轴对称，过 作O 的切线交 轴于点3),D(4HyHy（如图 1）A（1）求O 半径；（2） 的值；Hsin（3）如图 2，设O 与 轴正半轴交点 ，点 是线段 上的动点（与 点不重合），连yPFE、 P接并延长 交O 于点 ，直 线 交 轴于点 ，若 是以 为底的等DFE,CB,yGDEF腰三角形，试探索 的大小怎样变化？请说明理由Gsin（宁波市中考题）思路点拨 连 ,运用切 线性质、垂径定理是解题的基础。对于（3），通过角的转化，、设法计算 的值。i【例 5】已知：在 中， ， 是方程 的两个根ABCRt90BAs
5、in, 02qpx（1）求实数 应满足的条件；qp、（2）若 满 足（1）的条件，方程 的两个根是否等于 中两锐角、 2qpxABCRtA、B 的正弦？（江苏省竞赛题）思路点拨由韦达定理、三角函数关系建立 等式，注意判别式、三角函数值的有界性，建、立严密约束条件的不等式，才能准确求出 实数应满足的条件。qp、正弦、余弦的有界性【例 6】设 是直角三角形的三边， 为斜边，整数 ，求证：cba、 c3nnncba（福建省竞赛题）学历训练基础夯实1.如图，已知 是的直径，弦 , , ,那么 的值ABABCD21CABDsin是 （成都市中考题）2.如图 2， 是放置在正方形网格中的一个角， 则 的值
6、是 。AOBAOBcos（济南市中考题）3.如图 3，在 中， , ，则 的面积为 。C1205,7ACC（2011 年昆明市中考题）4.在 中， 均为锐角， ,且 ,则 的值AB、 3,6B3sinABcos为 （2008 年浙江省中考题）5.如图，在 中， ,则 =( )ABC32,tan,30ACBBA. B. C. D.4567（安徽省中考题）6.如图，在图，在 中， ,则 的值是（ ） ABC2,4,120ACBBsin第 1 题 第 2 题 第 3 题第 5 题 第 6 题第 7 题A. B. C. D.147553721142（2011 年荆州市中考题）7.如图， 是平面 镜，光
7、线从点出发经上的点反射后照射到点，若入射角为（入射角等于反CD射角），于，于，且 ,则 的值为（ ）1,6,3CDBAatnA. B. C. D.311991（重庆市中考题）8.如图，直角三角纸片的两直角 边长分别为 ，现将86、如图那样折叠，使点 与点 重合，折痕 为 ,则 的值是（ ）ABCABDECBtanA. B. C. D.724372431（泰安市中考题）9.如图，等腰梯形 中，ABCD,翻折梯形 ，使点 重合于 点，折痕分 别交边45,/DBCAABCD于点 ，若 ，求（ 1） 的长；（2） 的正切值。、 EF、 8,2EE（上海市中考题）10.如图，在 中， 以 直径的分别交
8、于点 ，点 在ABC,ABBCA、 ED、 F延长线上，且 。求证：ACCABF(1)直线 是O 的切线。B(2)若 ，求 和 的长。5sin,5DEF（2011 年北京市中考题）11.如图，在直角梯形 中， .ABCD54sin,10,90,/ CADB（1（求梯形 的面积；（2（点 分别是 上的动点，点 从点 出发向点 运动，点 从点 出发FE、 、 EF向点 运动。若两点均以每秒 1 个单位的速度同时出发，连接 ，求 面积的最大值，D E并说明此时 的位置。、（济南市中考题）能力拓展第 10 题第 11 题12.若 且 。450sin,1673cosin则（武汉市选拔赛试题）13.已知
9、是两个锐角，且满足 ，则实数BA、 22222 43sinco,45cssi tAtA所有可能值的和 为 。t（2011 年“数学周报杯” 全国初中数学竞赛题）14.如图，等腰直角三角形 中， , 为 的中点，将 折叠，使点AC90DBCB与点 重合。若 为折痕， 则 的值为 ， 的值为 .ADEFEsinFE（第 19 届江苏省竞赛题）15.如图，在 中， 为边上 的一点， 若ABCDB,2,10,21ADBDC的面积为 ，则 = 。3A（2011 年四川省竞赛题）16.如图，在梯形 中， 是 上的一点，B,2,/ ABCE则 的 值等于（ ）。45AEEtanA. B. C. D.2322
10、53（天津市竞赛题）17.如图，已知 为等腰直角三角形，若 则 和 的大小ABC ,31,BCEAD2关系为（ ）。A. B. 2121C. D.无法确定18.已知 为实数，且 是关于 的方程mcosin、 x的两根，则 的值为（ ）。0132x44第 14 题 第 15 题 第 16 题A. B. C. D.9231971（全国初中数学联赛题）19.如图，锐角 中， 分别是 上的高，则 （ ）。A.ABCEF、 ABC、 ABCSEF:B. C. D.2sin2cos2tan2cot20.如图，在 中， 分别是斜边 上的高和中线，ABCRtDE、 AB，若 ,求 的值。)(,aba21tnb
11、a（第 18 届江苏省竞赛题）21.如图， 为 O 的切线， 为切点，过 作 的垂线 ，垂足为点 ，交 O 于PAAOPABC点。延长 与O 交于点 ，与 的延长线交于点 。BDE（1（求证： 为 O 的切线；（2（若 ，求 的值。21tanEsin（2011 年武汉市中考题）综合创新22.设角 为锐角，求证： ,求证：A2cosin1BA第 19 题 第 20 题 第 21 题23.如图，在 中， ,半径长为 的圆 与边 相交于点 ，与边 相ABCRt901ABDA交于点 ，连接 并延长，与线段 的延长线交于点 。EDBCP（1（当 时，连接 ，若 与 相似，求 的长；30PAEDCE（2（若 ，求 的正切值；,（3（若 ，设 的周长为 ，求 关于 的函数解析式。1tanBx,yx（上海市中考题）
