1、http:/- 1 -5、用十字相乘法把二次三项式分解因式【知识精读】对于首项系数是 1 的二次三项式的十字相乘法，重点是运用公式进行因式分解。掌握这种方法的关键是确定适合条件xabxab2()的两个数，即把常数项分解成两个数的积，且其和等于一次项系数。对于二次三项 （a、b、c 都是整数，且 ）来说，如果存在四个整数2 a0满足 ，并且 ，那么二次三项式ac12， ， ， 1212， cb121即 可以分解为 。这里要xbaxcxxc2确定四个常数 ，分析和尝试都要比首项系数是 1 的类型复杂，因此一般要12， ， ，借助画十字交叉线的办法来确定。下面我们一起来学习用十字相乘法因式分解。【分
2、类解析】1. 在方程、不等式中的应用例 1. 已知： ，求 x 的取值范围。x2140分析：本题为二次不等式，可以应用因式分解化二次为一次，即可求解。解： xx38030或或例 2. 如果 能分解成两个整数系数的二次因式的积，试求 m 的xmx432值，并把这个多项式分解因式。分析：应当把 分成 ，而对于常数项-2，可能分解成 ，或者分解成 12，由此分为两种情况进行讨论。21解：（1）设原式分解为 ，其中 a、b 为整数，去括号，得：xaxb221xabb432将它与原式的各项系数进行对比，得：http:/- 2 -abmabm12， ，解得： 01， ，此时，原式 xx22（2）设原式分解
3、为 ，其中 c、d 为整数，去括号，得：cd21xcdxx432将它与原式的各项系数进行对比，得：mcdm12， ，解得： c01， ，此时，原式 xx222. 在几何学中的应用例. 已知：长方形的长、宽为 x、y，周长为 16cm，且满足，求长方形的面积。xyxy220分析：要求长方形的面积，需借助题目中的条件求出长方形的长和宽。解： 22xyxy2 01()或xy0xy又 8xyxy2108或解得： 或534.长方形的面积为 15cm2 或 632cm3、在代数证明题中的应用例. 证明：若 是 7 的倍数，其中 x，y 都是整数，则 是 49 的倍4xy810322xy数。http:/-
4、3 -分析：要证明原式是 49 的倍数，必将原式分解成 49 与一个整数的乘积的形式。证明一： 8103242xyxy3467 是 7 的倍数，7y 也是 7 的倍数（y 是整数）xy 是 7 的倍数2而 2 与 7 互质，因此， 是 7 的倍数，所以 是 49 的倍数。23xy810322xy证明二： 是 7 的倍数，设 （m 是整数）4y4则 yxm又 810322yxy4714293xmxxmx，m 是整数， 也是整数x所以， 是 49 的倍数。810322y4、中考点拨例 1.把 分解因式的结果是_。22495yxy解：yxx2422913说明：多项式有公因式，提取后又符合十字相乘法和
5、公式法，继续分解彻底。例 2. 因式分解： _6752x解： 13x说明：分解系数时一定要注意符号，否则由于不慎将造成错误。5、题型展示例 1. 若 能分解为两个一次因式的积，则 m 的值为（ ）xym256http:/- 4 -A. 1 B. -1 C. D. 21解： xymxymxy25656-6 可分解成 或 ，因此，存在两种情况：3（ 1） x+y -2 （ 2） x+y -3 x-y 3 x-y 2 由（1）可得： ，由（1）可得：mm1故选择 C。说明：对二元二次多项式分解因式时，要先观察其二次项能否分解成两个一次式乘积，再通过待定系数法确定其系数，这是一种常用的方法。例 2.
6、已知：a、b、c 为互不相等的数，且满足 。acbac24求证： bc证明： ab24accbca22 2220440说明：抓住已知条件，应用因式分解使命题得证。例 3. 若 有一因式 。求 a，并将原式因式分解。xxa3257x1解： 有一因式当 ，即 时，1032570axxxx3222574131说明：由条件知， 时多项式的值为零，代入求得 a，再利用原式有一个因式是x1，分解时尽量出现 ，从而分解彻底。x1http:/- 5 -【实战模拟】1. 分解因式：（1） （2）ab26391574212xynnn（3） xx22372. 在多项式 ，哪些是多xxxxx123232123， ，
7、， ， ，项式 的因式？24093. 已知多项式 有一个因式，求 k 的值，并把原式分解因式。2133xxk4. 分解因式： 352942xyxy5. 已知： ，求 的值。xyxy05312， 1292xyhttp:/- 6 -【试题答案】1. （1）解：原式 abab2163913（2）解：原式 3541xyxynn（3）解：原式 xx2284632. 解： xx242109xxxx222 229131其中 是多项式12， ， ，的因式。xx24209说明：先正确分解，再判断。3. 解：设 213213 2xxkxab则 x213abk解得： k6且 213621621323 2xxxxx说明：待定系数法是处理多项式问题的一个重要办法，所给多项式是三次式，已知有一个一次因式，则另一个因式为二次式，由多项式乘法法则可知其二次项系数为 1。4. 解：简析：由于项数多，直接分解的难度较大，可利用待定系数法。设 352942xyxy3222mnmnyhttp:/- 7 -比较同类项系数，得：mn31294解得： n413529434212xyxyxy5. 解： 12234xy053128，原 式说明：用因式分解可简化计算。
