1、高等数学,教 师 ：,一、二元线性方程组和二阶行列式二、三阶行列式三、全排列及逆序数四、n阶行列式,第七章 线性代数初步第1节 行列式,主要内容：,线性代数是高等数学的一个重要分支，是一门重要的基础理论课，是解决线性问题的有力工具，在数学、力学、物理学和技术学科中有各种重要应用。,学习线性代数课程，不仅培养人们的抽象思维和数学建模能力，而且培养人们对研究对象进行有序化、代数化、可解化的处理方法。,数学大师笛卡尔（R.Descartes）在其名著思维的法则中指出：一切问题可以化为数学问题，一切数学问题可以化为代数问题，一切代数问题可以化为方程组求解问题。,什么是线性？简单说，就是只有加和乘的一次
2、运算。,提示:,a11a22x1+a12a22x2=b1a22 ,a22,a11x1+a12x2=b1,a12,a12a21x1+a12a22x2=a12b2 ,a21x1+a22x2=b2,(a11a22-a12a21)x1=b1a22-a12b2 ,一、二元线性方程组与二阶行列式,提示:,a11a21x1+a12a21x2=b1a21 ,a21,a11x1+a12x2=b1,a11,a11a21x1+a11a22x2=a11b2 ,a21x1+a22x2=b2,(a11a22-a12a21) x2=a11b2-b1a21 ,一、二元线性方程组与二阶行列式,=,这样就有,=,行列式中的相关术
3、语,行列式的元素、行、列、主对角线、副对角线,对角线法则,a12a21,=a11a22,二阶行列式是主对角线上两元素之积减去副对角线上二元素之积所得的差,例1 求解二元线性方程组,解：,由于,a12a21,=a11a22,a11a22a33a12a23a31a13a21a32a11a23a32a12a21a33a13a22a31,二、三阶行列式,a11a22a33a12a23a31a13a21a32a11a23a32a12a21a33a13a22a31,并称它为三阶行列式,行列式中的相关术语,对角线法则,行列式的元素、行、列、主对角线、副对角线,a11a22a33a12a23a31a13a21
4、a32,a11a23a32a12a21a33a13a22a31,二、三阶行列式,按对角线法则 有,解:,46324824,(4)2(3),(4)(2)4,D,12(2),21(3),114,2(2)(2),14,由 x25x6 0 解得,解:,方程左端的三阶行列式, x25x6,D 3x24x189x2x212,x 2 或 x 3,采用先选定百位数 再选定十位数 最后选定个位数的步骤,三、全排列及其逆序数,引例 用1、2、3三个数字 可以组成多少个没有重复数字的三位数？,解:,百位数有3种选法,十位数有2种选法,个位数有1种选法,因为3216,所以可以组成6个没有重复数字的三位数,321,这6
5、个三位数是,123,132,231,213,312,举例,我们把n个不同的对象(称为元素)排成一列 叫做这n个元素的全排列(也简称排列),全排列,由a b c组成的所有排列为,cba,cab,bca,bac,acb,abc,abb是排列吗?,n个不同元素的所有排列的总数 通常用Pn表示 Pn的计算公式 Pnn(n1)(n2) 321n!,提示,在一个排列中 如果某两个元素的先后次序与标准排列的次序不同 就说有1个逆序 一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数,标准排列,在n个自然数的全排列中排列123 n称为标准排列,逆序与逆序数,以下我们只讨论n个自然数的全排列,在一个排列中 如果某两个
6、元素的先后次序与标准排列的次序不同 就说有1个逆序 一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数,标准排列,在n个自然数的全排列中排列123 n称为标准排列,逆序与逆序数,在排列p1p2 pn中 如果pi的前面有ti个大于pi的数 就说元素pi的逆序数是ti,逆序数的计算,排列的逆序数为tt1t2 tn,举例,在排列32514中,t51,t43,t30,t21,t10,排列32514的逆序数为t010315,标准排列12345的逆序数是多少?,四、n 阶行列式的定义,观察与思考,为了给出n阶行列式的定义 我们要先研究三阶行列式的结构,观察与思考,(1)行列式右边任一项除正负号外可以写成,三阶行
7、列式的结构,其中p1p2p3是1、2、3的某个排列,(2)各项所带的正负号可以表示为(1)t 其中t为列标排列的逆序数,(1)行列式右边任一项除正负号外可以写成,三阶行列式的结构,其中p1p2p3是1、2、3的某个排列,(2)各项所带的正负号可以表示为(1)t 其中t为列标排列的逆序数,三阶行列式可以写成,其中t为排列p1p2p3的逆序数 表示对1、2、3三个数的所有排列p1p2p3取和,n阶行列式的定义,特别规定一阶行列式|a|的值就是a,由n2个数aij (i j1 2 n)构成的代数和,称为n阶行列式 记为,简记为det(aij),其中p1p2 pn为自然数1,2, ,n的一个排列,t为这个排列的逆序数,表示对所有排列p1p2 pn取和,在n阶行列式D中 数aij为行列式D的元素,i 表示行序，j 表示列序,小 结,一、二阶行列式,二、三阶行列式,四、n阶行列式,三、全排列与逆序数,课后作业,1）作业：书上209页练习7-1 第1题2）预习：第7章行列式的计算3）复习：全面复习所学内容,大家辛苦了，谢谢！下节课再见！,
