1、1椭 圆一、直线与椭圆问题的常规解题方法:1.设直线与方程；（提醒：设直线时分斜率存在与不存在；设为 y=kx+b 与x=my+n 的区别）2.设交点坐标；（提醒 :之所以要设是因为不去求出它,即“设而不求” ）3.联立方程组；4.消元韦达定理；（提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单 ）5.根据条件重转化；常有以下类型：“以弦 AB 为直径的圆过点 0”（提醒：需讨论 K 是否存在）OAB12K0OAB120xy“点在圆内、圆上、圆外问题”“直角、 锐角、钝角问题 ” “向量的数量积大于、等于、小于 0 问题”0；120xy“等角、角平分、角互补问题” 斜率关系（ 或 ） ；1
2、20K12K“共线问题”（如： 数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法） ；AQB（如 ：A、O、B 三点共线 直线 OA 与 OB 斜率相等） ；“点、线对称问题” 坐标与斜率关系；“弦长、面积问题” 转化为坐标与弦长公式问题（提醒：注意两个面积公式 的合理选择） ；6.化简与计算；7.细节问题不忽略；2判别式是否已经考虑；抛物线、双曲线问题中二次项系数是否会出现 0.二、基本解题思想：1、 “常规求值”问题：需要找等式， “求范围”问题需要找不等式；2、 “是否存在”问题：当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解；3、证明定值问题的方法：常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与
3、参数无 关；也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明。4、处理定点问题的方法：常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求出定点；也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明，5、求最值问题时：将对象表示为变量的函数，几何法、配方法（转化为二次函数的最值） 、三角代换法（转化为三角函数的最值） 、利用切线的方法、利用均值不等 式的方法等再解决；6、转化思想：有些题思路易成，但难以实施。这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验；椭圆中的定值、定点问题一、常见基本题型：在几何问题 中，有些几何量和参数无关，这就构成定值问题，解决这类问题常通过 取参数和特殊值 来确
4、定“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三 角式，证明该式是恒定的。（1）直线恒过定点问题1、已知点 0(,)Pxy是椭圆2:1xEy上任意一点， 直线 l的方程为 012xy， 直线 0l过 P 点与直线 l垂直，点 M（-1，0）关于直线 0l的对称点为 N，直线 PN 恒过一定点 G，求点 G 的坐标。1、解：直线 0l的方程为 00()2()xyx，即 002yxy 设 ),(M关于直线 l的对称点 N的坐标为 (,mn则00012xnmy，解 得320042048()xxny3 直线 PN的斜率为 4320008(4)nyxxkm从而直线 的方程为： 432000()
5、()xyx即320042()18yxx从而直线 PN恒过定点 (,0)G 2、已知 椭圆两焦点 1F、 2在 y轴上，短轴长为 2，离心率为 2， P是椭圆在第一 象限弧上一点，且 12P，过 P 作关于直线 F1P 对称的两条直线 PA、PB 分别交椭来源:学科网 圆于 A、B 两点。 （1）求 P 点坐标；（2）求证直线 AB 的斜率为定值；2、解：（1）设椭圆方程为21yxab，由题意可得 ,abc，所以椭圆的方程为214yx则 12(0,)(,)F，设 00(,),)Pxy则 02PxyF21()1来源:学_科_网 Z_X_X_K4点 0(,)Pxy在曲线上，则201.4xy22004
6、yx从而22004()，得 0，则点 P的坐标为 (1,)。（2）由（1）知 1/PFx轴，直线 PA、PB 斜率互为相反数，设 PB 斜率为 (0)k，则 PB 的直线方程为： 2(1)ykx 由 214yx得 2 2()()()40kx设 (,)Bxy则22()1Bk同理可得2Ak，则 24ABkx28(1)()BAyxk所以直线 AB 的斜率 BByx为定值。3、已知动直线 与椭圆 相交于 两点,已知点 (1)ykx2:153xyCAB， 求证： 为定值.7(,0)MAMB53、 解: 将 代入 中得 (1)ykx2153y22(3)6350kxk， 422236()480k，1221x
7、2351kx所以 221277(,)(,)()33MAByxy 11xk222249()()kxk2 2235761()31k。422649k4、 在平面直角坐标系 xOy中，已知椭圆2:13xCy.如图所示，斜率为 (0)k 且不 过原点的直线 l交椭圆 于A， B两点，线段 A的中点为 E， 射线 OE交椭圆 于点 G，交直线 3x于点 (3,)Dm.（）求 2的最小值；（）若 2D E，求证：直线 l过定点；6椭圆中的取值范围问题一、常见基本题型：对于求曲线方程中参数范围问题，应根据题设条件及曲线的几何性质构造参数满足的不等式，通过解不等式求得参数的范围；或建立关于参数的目标函数，转化为
8、函数的值域来解.（1）从直线和二次曲线的位置关系出发，利用判别式的符号，确定参数的取值范围。 5、已知直线 与 轴交于点 ，与椭圆 交于相异两点 A、 B， ly(0,)Pm2:1Cxy且 ，求 的取值范围3APB（2）利用题中其他变量的范围，借助于方程产生参变量的函数表达式,确定参数的取值范 围. 6、已知点 (4, 0)M， (1, )N， 若动点 P满足 6|MNP（）求动点 P的轨迹 C的方程；（）设过点 的直线 l交轨迹 于 A， B两点，若 181275NAB ，求 直线 l的斜率的取值范围.来源:学科网6、解：（）设动点 (, )xy，则 (4, )xy， (3, 0)，(1,
9、)PNx. 由已知得 22)(1(6)(3yxx，化简得 24y，得 43.所以点 P的轨迹 C是椭圆 ， 的方程为 12yx. （）由题意知，直线 l的斜率必存在，不妨设过 N的直线 l的方程 为 ()ykx，设 A， B两点的坐标分别为 1, A， 2, By.由 2(1),43ykx消去 y得 22(43)8410kxk. 7因为 N在椭圆内，所以 0.所以21228,34.kx因为 12112()()()NABxykx 2xk222 43)(9438)1( kk， 所以 29(1)75k . 解得 21 .(3)利用基本不等式求参数的取值范围7、已知点 为椭圆 ： 上的 一动点，点 的
10、坐标为 ，求 QE218xyA(3,1)APQ的取值范围8.已知椭圆的一个顶点为 (0,1)A，焦点在 x轴上.若右焦点到直线 20xy的距 离为 3.（1）求椭圆的方程.（2）设直线 (0)ykxm与椭圆相交于不同的两点 ,MN.当 |A时，求8m的 取值范围.9. 如图所示，已知圆 MAyxC),01(,8)1(:2定 点为圆上一动点，点 P在 AM上，点 N在 M上，且满足 NPA点,的轨迹为曲线 E.（I）求曲线 E的方程；（II）若过定点 F（0，2）的直线交曲线 E于不同的两 来源:学科网 ZXXK点 ,GH（点 在点 ,之 间） ，且满足 FHG，求 的取值范围.解：（） .0,
11、2AMNPANP 为 AM的垂直平分线，|NA|=|NM| 又 .2|,2| ANCC动点 N 的轨迹是以点 C（1，0） ， A（ 1，0）为焦点的椭圆.且椭圆长轴长为 ,a焦距 2c=2. .1,2bca曲线 E 的方程为 .2yx （）当直线 GH 斜率存在时，设直线 GH 方程为 ,1, 2yxkxy代 入 椭 圆 方 程得 .30.34)21( 22 k得由设 2212121 ,4, xxyxHG则 ),(),(, 21yyF又 2112122121 .,)(, xxxxx ，922222 )1()(36,13)(4 kkk整 理 得 .3.4.16324,32 解 得kk.13,0
12、又又当直线 GH 斜率不存在，方程为 .31,0FHGx),13的 取 值 范 围 是即 所 求10、.已知椭圆 E的中心在坐标原点 O，两个焦点分别为 )0,1(A、 ),(B，一个顶点为)0,2(H.（1）求椭圆 的标准方程；（2）对于 x轴上的点 )0,(tP，椭圆 E上存在点 M，使得 HP，求 t的取值范围. 11.已知椭圆 的离心率为 ，以原点为圆心，椭圆的短半轴2:1xyCab(0)210长 为半径的圆与直线 相切20xy（）求椭圆 的方程；C（）若过点 (2，0)的直线与椭圆 相交于两点 ，设 为椭圆上一点，且满 MC,ABP足 （ O 为坐标原点） ，当 时，求实数 取值范围
13、PtBAP253t椭圆中的最值问题一、常见基本题型：（1）利用基本不等式求最值，12、已知椭圆两焦点 1F、 2在 y轴上，短轴长为 2，离心率为 2， P是椭圆在第一 象限弧上一点，且 12P，过 P 作关于直线 F1P 对称的两条直线 PA、 PB 分别交 椭圆于 A、B 两点，求 PAB 面积的最大值。（2）利用函数求最值，13.如图， Dx轴，点 M 在 DP 的延长线上，且 |2|DM当点 P 在圆21xy上 运动时。 （I）求点 M 的轨迹 C 的方程；（）过点 2(0,)1Tty作 圆 的切线 l交曲线 C 于A，B 两点，求AOB 面 积 S 的最大值和相应的点 T 的坐标。1
14、114、已知椭圆 .过点 作圆 的切线 交椭圆 G 于 A,B 两点.2:14xGy(,0)m21xyl将| AB|表示为 m 的函数，并求|AB|的最大值.选做1、已知 A、B、C 是椭圆 )0(1:2bayxm上的三点，其中点 A 的坐标为 )0,32(，BC 过椭圆 m 的中心，且 |2|,CBCA（1）求椭圆 的方程；（2）过点 ),(tM的直线 l（斜率存在时）与椭圆 m 交于两点 P，Q ，设 D 为椭圆 m 与 y轴负半轴的交点，且 |DQP.求实数 t 的取值范围122.已知圆 ： 及定点 ，点 是圆 上的动点，点 在 M22()()xmynr(1,0)NPMQNP上，点 在
15、上， 且满足 P2 Q， G G（1）若 ，求点 的轨迹 的方程；1,04rC（2）若动圆 和（1）中所求轨迹 相交于不同两点 ，是否存在一组正实数 ，,AB,mnr使得直线 垂直平分线段 ，若存在，求出这组正实数；若不存在，说 明理由MNAB3、已知椭圆 的中心在坐标原 点，焦点在 轴上，椭圆 上的点到焦点距离的最大值为CxC，最小值为 1（）求椭圆 的标准方程；（） 若直线 与椭圆 相交于 ， 两点（ 不是左右顶点） ，且以:lykxmCAB，为直径的圆过椭圆 的右顶点，求证：直线 过定点，并求出该定点的坐标ABl134.如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在 x 轴上，长轴长是短轴长的 2
16、倍且经过点 M（2，1） ，平行于 OM 的直线 l 在 y 轴上的截距为 m（m0） ，l 交椭圆于 A、B 两个不同点。（1）求椭圆的方程；（2）求 m 的取值范围；（3）求证直线 MA、MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形.14参考答案1、解：直线 0l的方程为 00()2()xyx，即 002yxy 设 ),(M关于直线 l的对称点 N的坐标为 (,mn则00012xnmy，解 得320042048()xxny直线 PN的斜率为43200(4)nyxxkm从而直线 的方程为： 43200 008()()xyx即320042()18yxx从而直线 PN恒过定点 (,0)G 2、解：（1
17、）设椭圆方程为21yxab，由题意可得 ,abc，所以椭圆的方程为214yx则 12(0,)(,)F，设 00(,),)Px则 02PxyFy21()1来源:学_科_网 Z_X_X_K点 0(,)xy在曲线上，则20.4xy22004yx从而22004()1，得 0，则点 P的坐标为 (1,)。（2）由（1）知 1/PFx轴，直线 PA、PB 斜率互为相反数，设 PB 斜率为 (0)k，则 PB 的直线方程为： 2(1)ykx 15由 2(1)4ykx得 2 2()()()40kxkxk设 (,)Bxy则22()1Bkk同理可得2A，则 24ABx28(1)()BAkykx所以直线 AB 的斜
18、率 BByx为定值。3、 解: 将 代入 中得 (1)ykx2153y22(3)6350kk， 422236()480k，1221x2531x所以 221277(,)(,)()33MAByxy 11xk222249()()kxk2 2235761()31k。422649k4、 解：（）由题意:设直线 :(0)lyxn,由 213kx消 y 得: 22(3)630kxn,2264()(1)kn2(1)k16设 A 1(,)xy、B 2(,),AB 的中点 E 0(,)xy,则由韦达定理得: 来源:学科网12=63kn,即 0231kn, 231kn213nk,所以中点 E 的坐标为 (,),因为
19、 O、E、D 三点在同一直线上，所以 kK，即 13mk， 解得 1k，所以 2m= 21,当且仅当 时取等号 , 即 2的最小值为 2.（）证明:由题意知:n0,因为直线 OD 的方程为 yx,所以由 231myx得交点 G 的纵坐标为23Gm,又因为 213Enyk, Dy,且 2OD E，所以221nk,又由（）知: m,所以解得 kn,所以直线 l的方程为 :lyx,即有 :(1)lyx, 令 1得,y=0,与实数 k 无关,5、 解：（1）当直线斜率不存在时： 2（2）当直线斜率存在时：设 与椭圆 C 交点为 l12(,)(,)AxyB得 21ykxm22()0kxkm（*） ()4
20、4()2121,xxkk ， ，3APB23 . 消去 ，得 ，12xx211()40x223()40km整理得 2417时，上式不成立； 时， ， 214m214m221mk ， 或20k把 代入（*）得 或224121 或 m综上 m 的取值范围为 或 。21m6、解：（）设动点 (, )Pxy，则 (4, )Mxy， (3, 0)N，(1, )PNxy. 由已知得 22)(1(6)(3yxx，化简得 24y，得 43.所以点 P的轨迹 C是椭圆 ， 的方程为 12yx. （）由题意知，直线 l的斜率必存在，不妨设过 N的直线 l的方程 为 ()ykx，设 A， B两点的坐标分别为 1,
21、A， 2, By.由 2(1),43ykx消去 y得 22(43)8410kxk. 因为 N在椭圆内，所以 0.所以2122,34.kx因为 12112()()()NABxykx 2xk182222 43)1(94381)1( kkk ， 所以 29()75 . 解得 2 .7、 解： ，设 Q（ x， y） ， ，(1,3)AP (3,1)Axy )6P ，即 ，218xy2(3)18xy而 ，186 xy18 2(3)|则 的取值范围是0，36 来源:学*科*网()61xyyxy的取值范围是6， 63 的取值范围是12，0 APQxy8、解：（1）依题意可设椭圆方程为21a，则右焦点 21
22、,0Fa由题设2|3，解得 23， 故所求椭圆的方程为21.xy（2）设 (,)Pxy、 (,)M、 (,)N，为弦 N的中点，由 213ykxm得 22(31)6()0kxk直线与椭圆相交，2222(6)4(31)()031,mkmk2MNPxk，从而 2Pmyx，3Ayk，又 |,AMN19则：231mk，即 231mk，把 代入得 2，解 0， 由得 13k，解得 2. 综上求得 m的取值范围是 m. 9、解：（） .0,2AMNPANP 为 AM的垂直平分线，|NA|=|NM| 又 .2|,2| ANCC动点 N 的轨迹是以点 C（1，0） ， A（ 1，0）为焦点的椭圆.且椭圆长轴长
23、为 ,a焦距 2c=2. .1,2bca曲线 E 的方程为 .2yx （）当直线 GH 斜率存在时，设直线 GH 方程为 ,1, 2yxkxy代 入 椭 圆 方 程得 .30.34)21( 22 k得由设 2212121 ,4, xxyxHG则 ),(),(, 21yyF又 2112122121 .,)(, xxxxx ，2222 )1()(36,3)1(4kkk整 理 得.3.4.16324,32 解 得kk.13,0又20又当直线 GH 斜率不存在，方程为 .31,0FHGx),13的 取 值 范 围 是即 所 求 10、解：（1）由题意可得， c， 2a， 3b 所求的椭圆的标准方程为：
24、214xy （2）设 ),(0yxM)2（ ，则 203 且 ,(0yxtP， ),(0yxMH， 由 可得 ，即 )2(200t 由、消去 y整理得 341)2(00xxt 0x 241)2(t 0， t t的取值范围 为 )1,(. 11、 解：（）由题意知 ， 所以 2cea221cabe即 又因为 ，所以 ， 2ab122故椭圆 的方程为 C2yx（）由题意知直线 的斜率存在.AB设 ： ， ， ， ，(2)ykx1(,)y2(,)Bx(,)Py由 得 .2,.280kk， . 4226(1)k2121， .来源:学|科|网 Z|X|X|K2128kx218kxA ， ， ，OPtBA
25、12(,)(,yty2128()xkt.121224()()kykxt t点 在椭圆上， ，P2228()(1)tktk . 16 ， ，PBA2532153kx221120()49kxxA ，4222680()9A ， . 21(3k214k ， ， ，214k226)tk22268tk 或 ，3tt实数 取值范围为 . t )2,36()2,(12、解、设椭圆方程为21yxab，由题意可得 ,c，故椭圆方程为214yx设 AB 的直线方程： m.由 142yx，得 04242xx，22由 0)4(16)2(2m，得 22mP 到 AB 的距离为 3|d，则 |)21(|2ABSB 2)8(
26、8)(81mm。来源:Zxxk.Com当且仅当 2,2取等号， 三角形 PAB 面积的最大值为 2。来源: 13、 解:设点 M的坐标为 yx，点 P的坐标为 0,yx，则 0x， 0，所以 0， 20， 因为 ,yP在圆 12y上，所以 1yx 将代入，得点 的轨迹方程 C 的方程为 42 （）由题意知， 1|t当 t时，切线 l的方程为 y，点 A、B 的坐标分别为 ),123(,(此时 3|AB，当 1t时，同理可得 |AB； 当 1t时，设切线 l的方程为 ,mkxyR由 ,142xtky得 042)(t设 A、B 两点的坐标分别为 ),(,21yx，则由得：22121 4,4ktkt
27、x又由 l 与圆 2y相切，得 ,1|2t即 .12kt 所以 2121)()(|xAB 4)()(222kttk .3|t23因为 ,2|3|4|3|2ttAB且当 3t时，|AB|=2，所以|AB|的最大值为 2来源:学.科.网 Z.X.X.K依题意，圆心 O到直线 AB 的距离为圆 1yx的半径，所以 AB面积 2AS，当且仅当 3t时， 面积 S 的最大值为 1，相应的 T的坐标为 3,0或者 ,14、 解：由题意知， .|1m当 时，切线 的方程为 ，点 A,B 的坐标分别为 ，lx3(1,),)2此时 ；|3AB当 时，同理可得 ；1m|当 时，设切线 的方程为 .l()ykxm由
28、 得 .2()14ykx222(4)840k设 A,B 两点的坐标分别为 .12(,),xy又由 与圆 相切， 得 ，即 .l2xy2|km21k所以 2 2111|()()()4AByxx.422264()kk23|m由于当 时， ，1m|3，243|4| 2|ABm24当且当 时， .所以|AB|的最大值为 2.3m|2AB选做1、 解（1）椭圆 m： 142yx（2）由条件 D（0，2） M（0，t）来源:Z+xx+k.Com1当 k=0 时，显然20 可得 2k 设 ),(),(, 01 yxHPQyP中 点则 2203tx 231kt ),(2ktH 由 kPODPDH| 即 22
29、311031tkkt 化 简 得 t1 将代入得 1t4t 的范围是（1，4）综上 t（2，4） 2、解：（1） ,NPQ点 为 PN的中点，又 0G， 或 G点与 Q点重合 .|GNP 又 |4.MM点 的轨迹是以 ,N为焦点的椭圆，且 2,1ac， 23,bacG的轨迹方程是21.43xy(2)解：不存在这样一组正实数，下面证明： 由题意，若存在这样的一组正实数，当直线 MN的斜率存在时，设之为 k，25故直线 MN的方程为： (1)ykx，设 12(,)(,)AxyB， A中点 0(,)Dxy，则21243xy，两式相减得：12121212()()043xxyy注意到 12yxk，且12
30、0xy，则 0314xyk ， 又点 D在直线 MN上， 0(1)x，代入式得： 0x因为弦 AB的中点 在所给椭圆 C内，故 02x， 这与 04矛盾，所以所求这组正实数不存在 当直线 的斜率不存在时，直线 MN的方程为 1，则此时 12,yx，代入式得 120x，这与 ,AB是不同两点矛盾综上，所求的这组正实数不存在 3、解：（）椭圆的标准方程为 来源:学科网 ZXXK2143xy（）设 ， ，1()， 2()B，联立 ， 得 ，2.43ykxm， 2284(3)0kxm22 21226(4)3083().4k kxmkA， 即 ， 则，又 ，221121123(4)()mkyxxmkx因
31、为以 为直径的圆过椭圆的右焦点 ，B0D，26，即 ，1ADBk121yxA，2()40y，223(4)36mmkk来源:学#科#网 Z#X#X#K2916解得：， ，且均满足 ，1272340k当 时， 的方程为 ，直线过定点 ，与已知矛盾；kl()ykx()，当 时， 的方程为 ，直线过定点 27m7，所以，直线 过定点，定点坐标为 l2(0)7，4、解：（1）设椭圆方程为 (12bayx则 28142baa解 得椭圆方程为 82yx（2）直线 l 平行于 OM，且在 y 轴上的截距 m, 又 KOM= 21mxyl21的 方 程 为 ：由 0412822yx直线 l 与椭圆交于 A、B 两个不同点， 分且解 得 8.0,)4()(22m（3）设直线 MA、MB 的斜率分别为 k1，k 2，只需证明 k1+k2=0 即可27设 42,),(),( 12121 mxxyxBA且则 ,21kk由 可 得042mx,211 而 )2()(1)1(22121 xyyxyk)2()1(442)()()(1211 12xmmx0 13.0)(2121k 分故直线 MA、MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形。
