1、DS【解析】 ，如图：BAD CBA因此 DC 边扫过图形的面积为 ， 边扫过图形的面积为 4942、研究quati研究圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，通过变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形来计算它们的面积圆的面积 ；扇形的面积 ；2r2360nr圆的周长 ；扇形的弧长 一、跟曲线有关的图形元素：扇形：扇形由顶点在圆心的角的两边和这两边所截一段圆弧围成的图形，扇形是圆的一部分我们经常说的 圆、 圆、 圆等等其实都是扇形，而这个几分之几表示的其实是这个扇形的圆心角占这个圆周角的几12416分之几那么一般的求法是什
2、么呢？关键是 360n比如：扇形的面积 所在圆的面积 ；扇形中的弧长部分 所在圆的周长扇形的周长 所在圆的周长 2 半径(易错点是把扇形的周长等同于扇形的弧长)360n弓形：弓形一般不要求周长，主要求面积一般来说，弓形面积 扇形面积-三角形面积(除了半圆)”弯角”：如图： 弯角的面积 正方形-扇形”谷子”：如图： “谷子”的面积 弓形面积 2EMBED DS【解析】 ，如图：BAD CBA因此 DC 边扫过图形的面积为 ， 边扫过图形的面积为 4942、研究二、常用的思想方法：转化思想(复杂转化为简单，不熟悉的转化为熟悉的)等积变形(割补、平移、旋转等)借来还去(加减法)外围入手(从会求的图形
3、或者能求的图形入手，看与要求的部分之间的”关系”)板块一 平移、旋转、割补、对称在曲线型面积中的应用【例 1】 下图中每一个小正方形的面积是 1 平方厘米，那么格线部分的面积是多少平方厘米？ 【解析】 割补法如右图，格线部分的面积是 36 平方厘米 【巩固】下图中每一个小正方形的面积是 1 平方厘米，那么格线部分的面积是多少平方厘米？【解析】 割补法如右图，格线部分的面积是 36 平方厘米 【例 2】 如图，在 18 8 的方格纸上，画有 1，9，9，8 四个数字那么，图中的阴影面积占整个方格纸面积的几分之几？DS【解析】 ，如图：BAD CBA因此 DC 边扫过图形的面积为 ， 边扫过图形的
4、面积为 4942、研究【解析】 我们数出阴影部分中完整的小正方形有 8+15+15+16 54 个，其中 部分有 6+6+8 20 个，部分有 6+6+8 20(个)，而 1 个 和 1 个 正好组成一个完整的小正方形，所以阴影部分共包含 54+20 74(个)完整小正方形，而整个方格纸包含 8 18 144(个)完整小正方形所以图中阴影面积占整个方格纸面积的 ，即 7432【巩固】在 47 的方格纸板上面有如阴影所示的”6”字，阴影边缘是线段或圆弧问阴影面积占纸板面积的几分之几？【解析】 矩形纸板共 28 个小正方格，其中弧线都是 圆周，非阴影部分有 3 个完整的小正方形，其余部分14可拼成
5、 6 个小正方格因此阴影部分共 2863=19 个小正方格所以，阴影面积占纸板面积的1928【例 3】 (2007 年西城实验考题)在一个边长为 2 厘米的正方形内，分别以它的三条边为直径向内作三个半圆，则图中阴影部分的面积为 平方厘米【解析】 采用割补法如果将阴影半圆中的 2 个弓形移到下面的等腰直角三角形中，那么就形成两个相同的等腰直角三角形，所以阴影部分的面积等于两个等腰直角三角形的面积和，即正方形面积的一半，所以阴影部分的面积等于 平方厘米21【巩固】如图，在一个边长为 4 的正方形内，以正方形的三条边为直径向内作三个半圆求阴影部分的面积DS【解析】 ，如图：BAD CBA因此 DC
6、边扫过图形的面积为 ， 边扫过图形的面积为 4942、研究【解析】 阴影部分经过切割平移变成了一个面积为正方形一半的长方形，则阴影部分面积为 428【例 4】 (人大附中分班考试题)如图，正方形边长为 1，正方形的 4 个顶点和 4 条边分别为 4 个圆的圆心和半径，求阴影部分面积( 取 )3.4【解析】 把中间正方形里面的 4 个小阴影向外平移，得到如右图所示的图形，可见，阴影部分的面积等于四个正方形面积与四个 的扇形的面积之和，所以，9022144147.1SSSAA圆阴 影 圆【例 5】 图中的 4 个圆的圆心是正方形的 4 个顶点，它们的公共点是该正方形的中心如果每个圆的半径都是 1
7、厘米，那么阴影部分的总面积是多少平方厘米？【解析】 如下图所示：可以将每个圆内的阴影部分拼成一个正方形，每个正方形的面积为 （平方厘1240.52（米） ，所以阴影部分的总面积为 （平方厘米） 248DS【解析】 ，如图：BAD CBA因此 DC 边扫过图形的面积为 ， 边扫过图形的面积为 4942、研究【巩固】如图所示，四个全等的圆每个半径均为 2m，阴影部分的面积是 2m2m或2m【解析】 我们虽没有学过圆或者圆弧的面积公式，但做一定的割补后我们发现其实我们并不需要知道这些公式也可以求出阴影部分面积如图，割补后阴影部分的面积与正方形的面积相等，等于2216m（【例 6】 如右图，有 8 个
8、半径为 1 厘米的小圆，用它们的圆周的一部分连成一个花瓣图形，图中的黑点是这些圆的圆心则花瓣图形的面积是多少平方厘米？ ( 取 3)【解析】 本题直接计算不方便，可以利用分割移动凑成规则图形来求解如右上图，连接顶角上的 4 个圆心，可得到一个边长为 4 的正方形可以看出，与原图相比，正方形的每一条边上都多了一个半圆，所以可以把原花瓣图形的每个角上分割出一个半圆来补在这些地方，这样得到一个正方形，还剩下 4 个 圆，合起来恰好是一个圆，所以花瓣图形的面积为1(平方厘米)22419【总结】在求不规则图形的面积时，我们一般要对原图进行切割、移动、补齐，使原图变成一个规则的图形，从而利用面积公式进行求
9、解这个切割、移动、补齐的过程实际上是整个解题过程的关键，我们需要多多练习，这样才能快速找到切割拼补的方法、【例 7】 如图中三个圆的半径都是 5 ，三个圆两两相交于圆心求阴影部分的面积和(圆周率取 )cm 3.14DS【解析】 ，如图：BAD CBA因此 DC 边扫过图形的面积为 ， 边扫过图形的面积为 4942、研究【解析】 将原图割补成如图，阴影部分正好是一个半圆，面积为 253.149.5(cm)【巩固】如图，大圆半径为小圆的直径，已知图中阴影部分面积为 ，空白部分面积为 ，那么这两个部1S2S分的面积之比是多少？(圆周率取 )3.14【解析】 如图添加辅助线，小圆内部的阴影部分可以填到
10、外侧来，这样，空白部分就是一个圆的内接正方形设大圆半径为 ，则 ， ，所以 r2Sr21r12:3.4:257:10S移动图形是解这种题目的最好方法，一定要找出图形之间的关系【例 8】 计算图中阴影部分的面积(单位：分米) 510AA5【解析】 将右边的扇形向左平移，如图所示两个阴影部分拼成个直角梯形(平方分米)5102753.【巩固】如图，阴影部分的面积是多少？2 2 24【解析】 首先观察阴影部分，我们发现阴影部分形如一个号角，但是我们并没有学习过如何求号角的面积，DS【解析】 ，如图：BAD CBA因此 DC 边扫过图形的面积为 ， 边扫过图形的面积为 4942、研究那么我们要怎么办呢？
11、阴影部分我们找不到出路，那么我们不妨考虑下除了阴影部分之外的部分吧！观察发现，阴影部分左侧是一个扇形，而阴影部分右边的空白部分恰好与左边的扇形构成一个边长为 4 的正方形，那么阴影部分的面积就等于大的矩形面积减去正方形面积则阴影部分面积(2)(2)48【例 9】 请计算图中阴影部分的面积310【解析】 法一：为了求得阴影部分的面积，可以从下图的整体面积中扣掉一个圆的面积，就是要求的面积了=-要扣掉圆的面积，如果按照下图把圆切成两半后，从两端去扣掉也是一样如此一来，就会出现一个长方形的面积103- =因此，所求的面积为 2103cm（ ）法二：由于原来的月牙形很难直接计算，我们可以尝试构造下面的
12、辅助图形：DS【解析】 ，如图：BAD CBA因此 DC 边扫过图形的面积为 ， 边扫过图形的面积为 4942、研究如左上图所示，我们也可以这样来思考，让图形往右侧平移 就会得到右上图中的组合图形，而3cm这个组合图形中右端的月牙形正是我们要求的面积显然图中右侧延伸出了多少面积，左侧就会缩进多少面积因此，所求的面积是 2103cm（ ）【例 10】 求图中阴影部分的面积1212DCBA1212DCBA【解析】 如图，连接 ，可知阴影部分的面积与三角形 的面积相等，即为 1236【例 11】 求如图中阴影部分的面积(圆周率取 )3.14 44【解析】 可将左下橄榄型的阴影部分剖开，两部分分别顺逆
13、时针 ，则阴影部分转化为四分之一圆减去一90个等腰直角三角形，所以阴影部分的面积为 2144.56【巩固】如图，四分之一大圆的半径为 7，求阴影部分的面积，其中圆周率 取近似值 27DS【解析】 ，如图：BAD CBA因此 DC 边扫过图形的面积为 ， 边扫过图形的面积为 4942、研究【解析】 原题图中的左边部分可以割补至如右上图位置，这样只用先求出四分之一大圆的面积，再减去其内的等腰直角三角形面积即为所求因为四分之一大圆的半径为 7，所以其面积为：221738.547四分之一大圆内的等腰直角三角形 的面积为 ，所以阴影部分的面积为ABC124.538.5.14【例 12】 求下列各图中阴影
14、部分的面积(1)1010(2)ba【解析】 在图(1)中，阴影部分经过切割平移变成了一个底为 10，高为 5 的三角形，利用三角形面积公式可以求得 ；25S阴 影在图(2)中，阴影部分经过切割平移变成了一个长为 b，宽为 a 的长方形，利用长方形面积公式可以求得 ab阴 影【巩固】求下列各图中阴影部分的面积(图中长度单位为 ，圆周率按 3 计算)：cm34DS【解析】 ，如图：BAD CBA因此 DC 边扫过图形的面积为 ， 边扫过图形的面积为 4942、研究11122456【解析】 4.5121【例 13】 如图， 是正方形，且 ，求阴影部分的面积(取 )ABCD1FADE 3F EDCBA
15、WNMF EDCBA【解析】 方法一：两个分割开的阴影部分给我们求面积造成了很大的麻烦，那么我们把它们通过切割、移动、补齐，使两块阴影部分连接在一起，这个时候我们再来考虑，可能会有新的发现 由于对称性，我们可以发现，弓形 BMF 的面积和弓形 BND 的面积是相等的，因此，阴影部分面积就等于不规则图形 BDWC 的面积因为 ABCD 是正方形，且 FA AD DE 1，则有 CD DE那么四边形 BDEC 为平行四边形，且 E 45我们再在平行四边形 BDEC 中来讨论，可以发现不规则图形 BDWC 和扇形WDE 共同构成这个平行四边形，由此，我们可以知道阴影部分面积 平行四边形 BDEC-扇
16、形 DEWDS【解析】 ，如图：BAD CBA因此 DC 边扫过图形的面积为 ， 边扫过图形的面积为 4942、研究245113608方法二：先看总的面积为 的圆，加上一个正方形，加上一个等腰直角三角形，在则阴影面积为总4面积扣除一个等腰直角三角形，一个 圆，一个 的扇形那么最终效果等于一个正方形扣除一145个 的扇形面积为 45 2138【巩固】求图中阴影部分的面积(单位： )cm 432【解析】 从图中可以看出，两部分阴影的面积之和恰好是梯形的面积，所以阴影部分面积为 21(2)39cm【例 14】 如图，长方形 的长是 ，则阴影部分的面积是 ( )ABCD8 2cm3.14【解析】 阴影
17、部分的面积实际上是右上图阴影部分面积的一半，所以求出右上图中阴影部分面积再除以 2 即可长方形的长等于两个圆直径，宽等于 1 个圆直径，所以右图的阴影部分的面积等于：2826.8所以左图阴影部分的面积等于 平方厘米 23.4【例 15】 (2007 年西城实验期末考试题)如图所示，在半径为 的图中有两条互相垂直的线段，阴影4cm部分面积 与其它部分面积 之差(大减小)是 AB2DS【解析】 ，如图：BAD CBA因此 DC 边扫过图形的面积为 ， 边扫过图形的面积为 4942、研究21BBAA 12【解析】 如图，将圆对称分割后， 与 中的部分区域能对应， 仅比 少了一块矩形，所以两部分的面B
18、ABA积差为： 2218cm【巩固】一块圆形稀有金属板平分给甲、乙二人但此金属板事先已被两条互相垂直的弦切割成如图所示尺寸的四块现甲取、两块，乙取、两块如果这种金属板每平方厘米价值 1000 元，问：甲应偿付给乙多少元？5cm7.5cm3cm2cm2cm5cm3cm 2cm3cm7.5cm5cm【解析】 如右上图所示，的面积与的面积相等，的面积等于与的面积之和可见甲比乙多拿的部分为中间的长方形，所以甲比乙多拿的面积为： ，而原本应是两2537.5.1c（ ） （ ） （ ）人平分，所以甲应付给乙： (元)102【例 16】 求右图中阴影部分的面积( 取 3) 454520cm【解析】 看到这道
19、题，一下就会知道解决方法就是求出空白部分的面积，再通过作差来求出阴影部分面积，因为阴影部分非常不规则，无法入手这样，平移和旋转就成了我们首选的方法 DS【解析】 ，如图：BAD CBA因此 DC 边扫过图形的面积为 ， 边扫过图形的面积为 4942、研究(法 1)我们只用将两个半径为 10 厘米的四分之一圆减去空白的、部分面积之和即可，其中、面积相等易知、部分均是等腰直角三角形，但是部分的直角边 AB 的长度未知单独求部分面积不易，于是我们将、部分平移至一起，如右下图所示，则、部分变为一个以 AC 为直角边的等腰直角三角形，而 AC 为四分之一圆的半径，所以有 AC 10两个四分之一圆的面积和
20、为 150，而、部分的面积和为 ，所以阴影部分的面积为 (平1052150方厘米)(法 2)欲求图中阴影部分的面积，可将左半图形绕 B 点逆时针方向旋转 180，使 A 与 C 重合，从而构成如右图的样子，此时阴影部分的面积可以看成半圆面积减去中间等腰直角三角形的面积 所以阴影部分面积为 (平方厘米)21010 4545DCBAACB【例 17】 (第四届走美决赛试题)如图，边长为 3 的两个正方形 BDKE、 正方形 DCFK 并排放置，以 BC 为边向内侧作等边三角形，分别以 B、 C 为圆心， BK、 CK 为半径画弧求阴影部分面积( )3.14DS【解析】 ，如图：BAD CBA因此
21、DC 边扫过图形的面积为 ， 边扫过图形的面积为 4942、研究K FED CBAAB CDE FK【解析】 根据题意可知扇形的半径 恰是正方形的对角线，所以 ，如右图将左边的阴影翻转r 2318r右边阴影下部， SS阴 影 扇 形 柳 叶 18(1)34.5板块二 曲线型面积计算【例 18】 如图，已知扇形 的面积是半圆 面积的 34倍，则角 的度数是_BACADBCAB DCBA【解析】 设半圆 的半径为 1，则半圆面积为 ，扇形 的面积为 因为扇形B21BAC423的面积为 ，所以， ，得到 ，即角 的度数是 60 度C2360nr2360n60nB【例 19】 如下图，直角三角形 的两
22、条直角边分别长 和 ，分别以 为圆心， 为半径画圆，已ABC7,2知图中阴影部分的面积是 ，那么角 是多少度( )173DS【解析】 ，如图：BAD CBA因此 DC 边扫过图形的面积为 ， 边扫过图形的面积为 4942、研究67CBA【解析】 ,162ABCS三角形 内两扇形面积和为 ，2174根据扇形面积公式两扇形面积和为 ,24360BC所以 , .120A【例 20】 如图，大小两圆的相交部分(即阴影区域)的面积是大圆面积的 ，是小圆面积的 如果量41535得小圆的半径是 5 厘米，那么大圆半径是多少厘米？【解析】 小圆的面积为 ，则大小圆相交部分面积为 ,那么大圆的面积为253251
23、，而 ，所以大圆半径为 厘米41515427.【例 21】 有七根直径 5 厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它们勒紧成一捆(如图)，此时橡皮筋的长度是多少厘米？( 取 3)CBA【解析】 由右图知，绳长等于 6 个线段 与 6 个 弧长之和BC将图中与 弧相似的 6 个弧所对的圆心角平移拼补，可得到 6 个角的和是 ，C 360DS【解析】 ，如图：BAD CBA因此 DC 边扫过图形的面积为 ， 边扫过图形的面积为 4942、研究所以 弧所对的圆心角是 ，6 个 弧合起来等于直径 5 厘米的圆的周长BC0BC而线段 等于塑料管的直径，A由此知绳长为： (厘米)54【例 22】 如图，边长为 12
24、 厘米的正五边形，分别以正五边形的 5 个顶点为圆心，12 厘米为半径作圆弧，请问：中间阴影部分的周长是多少？( )3.14【解析】 如图，点 是在以 为中心的扇形上，所以 ，同理 ，则 是正三角形，同理，CBABCBACB有 是正三角形有 ，正五边形的一个内角是 ，因此DE60ACED 180365108，也就是说圆弧 的长度是半径为 12 厘米的圆周的一部分，这样相同60218A的圆弧有 5 个，所以中间阴影部分的周长是 1223.45.cm60【例 23】 如图是一个对称图形比较黑色部分面积与灰色部分面积的大小，得：黑色部分面积_灰色部分面积【解析】 图中四个小圆的半径为大圆半径的一半，
25、所以每个小圆的面积等于大圆面积的 ，则 4 个小圆的面1积之和等于大圆的面积而 4 个小圆重叠的部分为灰色部分，未覆盖的部分为黑色部分，所以这两部分面积相等，即灰色部分与黑色部分面积相等【例 24】 如图，大圆半径为小圆的直径，已知图中阴影部分面积为 ，空白部分面积为 ，那么这两1S2S个部分的面积之比是多少？(圆周率取 )3.14DS【解析】 ，如图：BAD CBA因此 DC 边扫过图形的面积为 ， 边扫过图形的面积为 4942、研究【解析】 如图添加辅助线，小圆内部的阴影部分可以填到外侧来，这样，空白部分就是一个圆的内接正方形设大圆半径为 ，则 ， ，所以 r2Sr21r12:3.4:25
26、7:10S移动图形是解这种题目的最好方法，一定要找出图形之间的关系【例 25】 用一块面积为 36 平方厘米的圆形铝板下料，从中裁出了 7 个同样大小的圆铝板问：所余下的边角料的总面积是多少平方厘米？【解析】 大圆直径是小圆的 3 倍，半径也是 3 倍，小圆面积大圆面积 ，2:1:9rR小圆面积 ， 个小圆总面积 ，164974728边角料面积 (平方厘米)28【例 26】 如图，若图中的圆和半圆都两两相切，两个小圆和三个半圆的半径都是 1求阴影部分的面积【解析】 由于直接求阴影部分面积太麻烦，所以考虑采用增加面积的方法来构造新图形DS【解析】 ，如图：BAD CBA因此 DC 边扫过图形的面
27、积为 ， 边扫过图形的面积为 4942、研究由右图可见，阴影部分面积等于 大圆面积减去一个小圆面积，再加上 的小扇形面积(即 小1612013圆面积)，所以相当于 大圆面积减去 小圆面积而大圆的半径为小圆的 3 倍，所以其面积为小23圆的 倍，那么阴影部分面积为 239 21591.66【例 27】 如图所示，求阴影面积，图中是一个正六边形，面积为 1040 平方厘米，空白部分是 6 个半径为 10 厘米的小扇形(圆周率取 )3.14 BCOA【解析】 所要求的阴影面积是用正六边形的面积减去六个小扇形面积、正六边形的面积已知，现在关键是小扇形面积如何求，有扇形面积公式 2360nRS扇可求得，
28、需要知道半径和扇形弧的度数，由已知正六边形每边所对圆心角为 60，那么，又知四边形 是平行四边形，所以 ，这样就可求出扇形的面积和120AOCABCO120ABC为 (平方厘米)，阴影部分的面积 (平方厘米)6683 468【例 28】 (09 年第十四届华杯赛初赛)如下图所示， 是半圆的直径， 是圆心， ，OACDB是 的中点， 是弦 的中点若 是 上一点，半圆的面积等于 12 平方厘米，则图中MADHDNB阴影部分的面积是 平方厘米MC DHNO BA【解析】 如下图所示，连接 、 、 OHDS【解析】 ，如图：BAD CBA因此 DC 边扫过图形的面积为 ， 边扫过图形的面积为 4942
29、、研究HNMODCBA本题中由于 、 是半圆的两个三等分点， 是 的中点， 是弦 的中点，可见这个图形是CMACDHCD对称的，由对称性可知 与 平行由此可得 的面积与 的面积相等，所以阴影部DANO分面积等于扇形 面积的一半，而扇形 的面积又等于半圆面积的 ，所以阴影部分面积等O13于半圆面积的 ，为 平方厘米162【 巩 固 】 如 图 ， 、 是 以 为 直 径 的 半 圆 的 三 等 分 点 ， 是 圆 心 ， 且 半 径 为 6 求 图 中 阴 影 部 分 的 面 积 CDAB DCBA ODCBA O【解析】 如图，连接 、 、 C由于 、 是半圆的三等分点，所以 和 都是正三角形
30、，那么 与 是平行的所DCDCDAO以 的面积与 的面积相等，那么阴影部分的面积等于扇形 的面积，为2168.4【例 29】 如图，两个半径为 1 的半圆垂直相交，横放的半圆直径通过竖放半圆的圆心，求图中两块阴影部分的面积之差( 取 3)O DCBA【解析】 本题要求两块阴影部分的面积之差，可以先分别求出两块阴影部分的面积，再计算它们的差，但是这样较为繁琐由于是要求面积之差，可以考虑先从面积较大的阴影中割去与面积较小的阴影相同的图形，再求剩余图形的面积如右图所示，可知弓形 或 均与弓形 相同，所以不妨割去弓形 剩下的图形中，容易CDBC看出来 与 是平行的，所以 与 的面积相等，所以剩余图形的
31、面积与扇形 的BCACDDS【解析】 ，如图：BAD CBA因此 DC 边扫过图形的面积为 ， 边扫过图形的面积为 4942、研究面积相等，而扇形 的面积为 ，所以图中两块阴影部分的面积之差为 ACD2601.53 0.5【例 30】 如图，两个正方形摆放在一起，其中大正方形边长为 12，那么阴影部分面积是多少？(圆周率取 )3.14AFEDCBMAFEDCB【解析】 方法一：设小正方形的边长为 ，则三角形 与梯形 的面积均为 阴影部aAD12a分为：大正方形 梯形 三角形 右上角不规则部分 大正方形 右上角不规则部分圆因此阴影部分面积为： 143.14213.04方法二：连接 、 ，设 与
32、的交点为 ，由于四边形 是梯形，根据梯形蝴蝶定ACDFCMACF理有 ，所以DMS DFS阴 影 扇 形 .2.【巩固】如右图，两个正方形边长分别是 10 和 6，求阴影部分的面积( 取 3) 610G FE DCBA 610G FE DCBA【解析】 (法 1)观察可知阴影部分面积等于三角形 的面积减去月牙 的面积，那么求出月牙 的BCD面积就成了解题的关键月牙 的面积为正方形 的面积减去四分之一圆： ；BCDDE94则阴影部分的面积为三角形 的面积减去月牙 的面积，为：ABD106932S阴 影(法 2)观察可知 和 是平行的，于是连接 、 、 FBAF则 与 面积相等，那么阴影部分面积等
33、于 与小弓形的面积之和，也就等于AB 与扇形 的面积之和，为： DE 21(06)6394DS【解析】 ，如图：BAD CBA因此 DC 边扫过图形的面积为 ， 边扫过图形的面积为 4942、研究【例 31】 如图， 是等腰直角三角形， 是半圆周的中点， 是半圆的直径已知 ，ABCDBC10ABC那么阴影部分的面积是多少？(圆周率取 )3.14 DBPCADBPCA【解析】 连接 、 、 ，如图， 平行于 ，则在梯形 中，对角线交于 点，那么PDABABABDM与 面积相等，则阴影部分的面积转化为 与圆内的小弓形的面积和 P的面积为： ；1025弓形面积： ；3.457.12阴影部分面积为：
34、7.3.【例 32】 图中给出了两个对齐摆放的正方形，并以小正方形中右上顶点为圆心，边长为半径作一个扇形，按图中所给长度阴影部分面积为 ；( )3.46464ED CBA【解析】 连接小正方形 ,有图可见ACDABSS 阴 影 扇 形 214 3同理 ，27CE8CE 148ADS，290.5636扇 形 1482ABCS 1阴 影【例 33】 如图，图形中的曲线是用半径长度的比为 的 6 条半圆曲线连成的问：涂有阴影的2:1.50部分的面积与未涂有阴影的部分的面积的比是多少？DS【解析】 ，如图：BAD CBA因此 DC 边扫过图形的面积为 ， 边扫过图形的面积为 4942、研究【解析】 假
35、设最小圆的半径为 ，则三种半圆曲线的半径分别为 ， 和 r 4r3阴影部分的面积为： ，222211435r空白部分的面积为： ，5r则阴影部分面积与空白部分面积的比为 :【例 34】 (2008 年西城实验考题)奥运会的会徽是五环图，一个五环图是由内圆直径为 6 厘米，外圆直径为 8 厘米的五个环组成，其中两两相交的小曲边四边形(阴影部分)的面积都相等，已知五个圆环盖住的面积是 平方厘米，求每个小曲边四边形的面积( )7.1 3.14【解析】 每个圆环的面积为： (平方厘米)；224371.98五个圆环的面积和为： (平方厘米)；1.9850.八个阴影的面积为： (平方厘米)；0每个阴影的面
36、积为： (平方厘米)【例 35】 已知正方形 的边长为 10 厘米，过它的四个顶点作一个大圆，过它的各边中点作一个小ABCD圆，再将对边中点用直线连擎起来得右图那么，图中阴影部分的总面积等于_方厘米()3.14【解析】 39.25【例 36】 如图， ABCD 是边长为 a 的正方形，以 AB、 BC、 CD、 DA 分别为直径画半圆，求这四个半圆弧所围成的阴影部分的面积( 取 3)DS【解析】 ，如图：BAD CBA因此 DC 边扫过图形的面积为 ， 边扫过图形的面积为 4942、研究DCBAaDCBAa【解析】 这道题目是很常见的面积计算问题阴影部分是一个花瓣状的不规则图形，不能直接通过面
37、积公式求解，观察发现阴影部分是一个对称图形，我们只需要在阴影部分的对称轴上作两条辅助线就明了了如图，这样阴影部分就划分成了 4 个半圆减去三角形，我们可以求得，4SS阴 影 半 圆 三 角 形211aa2【巩固】如图，正方形 ABCD 的边长为 4 厘米，分别以 B、 D 为圆心以 4 厘米为半径在正方形内画圆求阴影部分面积( 取 3)DCBADCBA【解析】 由题可知，图中阴影部分是两个扇形重叠的部分，我们可以利用容斥原理从图形整体上考虑来求阴影部分面积；同样，我们也可以通过作辅助线直接求阴影部分的面积解法一：把两个扇形放在一起得到 1 个正方形的同时还重叠了一块阴影部分则阴影部分的面积为
38、；248解法二：连接 AC，我们发现阴影部分面积的一半就是扇形减去三角形的面积，所以阴影部分面积 2（ ）DS【解析】 ，如图：BAD CBA因此 DC 边扫过图形的面积为 ， 边扫过图形的面积为 4942、研究【例 37】 (2008 年四中考题)已知三角形 是直角三角形， ， ，求阴影部分的面ABC4cmAC2cB积CBA【解析】 从图中可以看出，阴影部分的面积等于两个半圆的面积和与直角三角形 的面积之差，所以阴ABC影部分的面积为： ( )2214142.543.8 2cm【 例 38】 （ 奥 林 匹 克 决 赛 试 题 ） 在 桌 面 上 放 置 个 两 两 重 叠 、 形 状 相
39、同 的 圆 形 纸 片 .它 们 的 面 积 都3是 平 方 厘 米 ， 盖 住 桌 面 的 总 面 积 是 平 方 厘 米 ， 张 纸 片 共 同 重 叠 的 面 积 是 平 方 厘 米 .那10 1 42么 图 中 个 阴 影 部 分 的 面 积 的 和 是 平 方 厘 米 .【解析】 根 据 容 斥 原 理 得 ， 所 以 （ 平 方 厘 米 ）103241S阴 影 103427S阴 影【例 39】 (2008 年国际小学数学竞赛)如图所示， 是一边长为 的正方形， 是 的中点，而ABCDcmEAD是 的中点以 为圆心、半径为 的四分之一圆的圆弧交 于 ，以 为圆心、半径为FBCcmFG
40、的四分之一圆的圆弧交 于 点，若图中 和 两块面积之差为 (其中 、2cmEFH1S2 2c)nm为正整数)，请问 之值为何？nn 11S2S1GHFE DCBAS1S2S1GHFE DCBADS【解析】 ，如图：BAD CBA因此 DC 边扫过图形的面积为 ， 边扫过图形的面积为 4942、研究【解析】 (法 1) ， ，248cmFCDESA 214BCDS扇 形 2(cm)，而21BH扇 形 ()，12 8FCDECDBHA扇 形 扇 形 32(c)所以 ， ， 3m8n31(法 )如右上图， ，1SBFHS扇 形 24482(c)，246ABCDBS扇 形 2(cm)所以， ，故 12
41、()6)8(c)31n【巩固】在图中，两个四分之一圆弧的半径分别是 2 和 4，求两个阴影部分的面积差(圆周率取 )3.14【解析】 我们只要看清楚阴影部分如何构成则不难求解左边的阴影是大扇形减去小扇形，再扣除一个长方形中的不规则白色部分，而右边的阴影是长方形扣除这块不规则白色部分，那么它们的差应为大扇形减去小扇形，再减去长方形则为： 4243.148.2【例 40】 如图，矩形 ABCD 中， AB 6 厘米， BC 4 厘米，扇形 ABE 半径 AE 6 厘米，扇形 CBF 的半径 CB4 厘米，求阴影部分的面积( 取 3)FEDCBA【解析】 方法一：观察发现，阴影部分属于一个大的扇形，
42、而这个扇形除了阴影部分之外，还有一个不规则的空白部分 ABFD 在左上，求出这个不规则部分的面积就成了解决这个问题的关键我们先确定 ABFD 的面积，因为不规则部分 ABFD 与扇形 BCF 共同构成长方形 ABCD，所以不规则部分 ABFD 的面积为 (平方厘米)，2164再从扇形 ABE 中考虑，让扇形 ABE 减去 ABFD 的面积，DS【解析】 ，如图：BAD CBA因此 DC 边扫过图形的面积为 ， 边扫过图形的面积为 4942、研究则有阴影部分面积为 (平方厘米)216154方法二：利用容斥原理 (平方厘米)221646154EABCFABCDSS阴 影 扇 形 扇 形 长 方 形
43、【巩固】求图中阴影部分的面积1212【解析】 阴影部分面积 半圆面积 扇形面积 三角形面积 22211()4.08【巩固】如右图，正方形的边长为 5 厘米，则图中阴影部分的面积是 平方厘米，( )3.1FEDCBA【解析】 观察可知阴影部分是被以 为半径的扇形、以 为直径的半圆形和对角线 分割出来的，分ADABBD头求各小块阴影部分面积明显不是很方便，我们发现如果能求出左下边空白部分的面积，就很容易求出阴影部分的面积了，我们再观察可以发现左下边空白部分的面积就等于三角形 的面积减A去扇形 的面积，那么我们的思路就很清楚了ADE因为 ，45B所以扇形 的面积为： (平方厘米)，2245453.1
44、9.8536060A那么左下边空白的面积为： (平方厘米)，19.87又因为半圆面积为： (平方厘米)，25.所以阴影部分面积为： (平方厘米)9.816715【例 41】 如图所示，阴影部分的面积为多少？(圆周率取 )3DS【解析】 ，如图：BAD CBA因此 DC 边扫过图形的面积为 ， 边扫过图形的面积为 4942、研究33BA33A1.51.51.54545B33【解析】 图中 、 两部分的面积分别等于右边两幅图中的 、 的面积AB B所以 229271.5.48486S【巩固】图中阴影部分的面积是 ( 取 )3.143333【解析】 如右上图，虚线将阴影部分分成两部分，分别计算这两部
45、分的面积，再相加即可得到阴影部分的面积所分成的弓形的面积为： ；21193468另一部分的面积为： ；29388所以阴影部分面积为： 9271.92375.16468【例 42】 已知右图中正方形的边长为 20 厘米，中间的三段圆弧分别以 、 、 为圆心，求阴影部1O23分的面积( )3DS【解析】 ，如图：BAD CBA因此 DC 边扫过图形的面积为 ， 边扫过图形的面积为 4942、研究O2O1O3BA【解析】 图中两块阴影部分的面积相等，可以先求出其中一块的面积而这一块的面积，等于大正方形的面积减去一个 扇形的面积，再减去角上的小空白部分的面积，为：90(平方厘米)，所以21420001
46、4754SS圆正 方 形 正 方 形 扇 形阴影部分的面积为 (平方厘米)751【例 43】 一个长方形的长为 9，宽为 6，一个半径为 l 的圆在这个长方形内任意运动，在长方形内这圆无法运动到的部分，面积的和是_( 取 3)【解析】 方法一：圆在长方形内部无法运动到的地方就是长方形的四个角，而圆在角处运动时的情况如左下图，圆无法运动到的部分是图中阴影部分，那么我们可以先求出阴影部分面积，四个角的情况都相似，我们就可以求出总的面积是阴影部分面积的四倍阴影部分面积是小正方形面积减去扇形面积，所以我们可以得到：每个角阴影部分面积为 ；29011364那么圆无法运动到的部分面积为 方法二：如果把四个角拼起来，则阴影如右上图所示，则阴影面积为 231【例 44】 已知半圆所在的圆的面积为 平方厘米，求阴影部分的面积( )62.8.4 OD C BA【解析】 由于阴影部分是一个不规则图形，所以要设法把它转化成规则图形来计算从图中可以看出，阴影DS【解析】 ，如图：
