1、第 1 页 共 10 页第 1 讲 1.1.1 集合的含义与表示 知识要点：1. 把一些元素组成的总体叫作集合（set） ，其元素具有三个特征，即确定性、互异性、无序性.2. 集合的表示方法有两种： 列举法，即把集合的元素一一列举出来，并用花括号 “ ”括起来，基本形式为 ，适用于有限集或元素间存在规律的无限集. 描述法，即用集合所123,na含元素的共同特征来表示，基本形式为 ，既要关注代表元素 x，也要把握其属性 ，|()xAP ()Px适用于无限集.3. 通常用大写拉丁字母 表示集合. 要记住一些常见数集的表示，如自然数集 N，正,BC整数集 或 ，整数集 Z，有理数集 Q，实数集 R.
2、*N4. 元素与集合之间的关系是属于（belong to）与不属于（not belong to），分别用符号 、 表示，例如 ， .32 例题精讲：【例 1】试分别用列举法和描述法表示下列集合：（1）由方程 的所有实数根组成的集合；（2）大于 2 且小于 7 的整数.2(3)0x【例 2】用适当的符号填空：已知 ， ，则有：|32,AxkZ|61,BxmZ17 A； 5 A； 17 B.【例 3】试选择适当的方法表示下列集合：（教材 P6 练习题 2， P13 A 组题 4）（1）一次函数 与 的图象的交点组成的集合； 3yx26yx（2）二次函数 的函数值组成的集合；24（3）反比例函数 的
3、自变量的值组成的集合.yx【第 1 练 1.1.1 集合的含义与表示】基础达标第 2 页 共 10 页1以下元素的全体不能够构成集合的是（ ）.A. 中国古代四大发明 B. 地球上的小河流 C. 方程 的实数解 D. 周长为 10cm 的三角形210x2方程组 的解集是（ ）.3yA . B. C. D. 51， 15， 51， 15，3给出下列关系： ； ； ； . 其中正确的个数是（ ）.2R2Q*3N0ZA. 1 B. 2 C. 3 D. 44有下列说法：（1）0 与0表示同一个集合；（2）由 1，2，3 组成的集合可表示为 或1,233，2，1；（3）方程 的所有解的集合可表示为1，1
4、，2 ；（4）集合(1)0x是有限集. 其中正确的说法是（ ）.5xA. 只有（ 1）和（ 4） B. 只有（2）和（3） C. 只有（2） D. 以上四种说法都不对5下列各组中的两个集合 M 和 N，表示同一集合的是（ ）.A. ， B. ， 3.14592,3M(2,3)NC. ， D. ， |,xx111|6已知实数 ，集合 ，则 a 与 B 的关系是 . 2a|3Bx第 2 讲 1.1.2 集合间的基本关系 知识要点：1. 一般地，对于两个集合 A、B，如果集合 A 中的任意一个元素都是集合 B 中的元素，则说两个集合有包含关系，其中集合 A 是集合 B 的子集（subset ），记作
5、 （或 ），读作“AA含于 B”（或“B 包含 A”）.2. 如果集合 A 是集合 B 的子集（ ），且集合 B 是集合 A 的子集（ ），即集合 A与集合 B 的元素是一样的，因此集合 A 与集合 B 相等，记作 . 3. 如果集合 ，但存在元素 ，且 ，则称集合 A 是集合 B 的真子集（proper xsubset），记作 A B（或 B A）.4. 不含任何元素的集合叫作空集（empty set），记作 ，并规定空集是任何集合的子集.5. 性质： ；若 ， ，则 ；C若 ，则 ；若 ，则 .ABABA第 3 页 共 10 页 例题精讲：【例 1】用适当的符号填空：（1）菱形 平行四边形
6、 ； 等腰三角形 等边三角形.（2） ； 0 0； 0； N 0.2|xR【例 3】若集合 ，且 ，求实数 的值.|6,|10MxNxaMa【第 2 练 1.1.2 集合间的基本关系】基础达标1已知集合 ，则 A 与 B 之间最适合的关系是（ ）.3,6,AxkZBxkZA. B. C. A B D. A BB2设集合 ， ，若 ，则 的取值范围是（ ）. |12Mx|0NxkMNkA B C D2kk123若 ，则 的值为（ ）.,0,ab207abA. 0 B. 1 C. D. 26已知集合 ，则集合 A 的真子集的个数是 . ,c7当 时， a=_，b=_.21,bab第 3 讲 1.1
7、.3 集合的基本运算（一） 知识要点：集合的基本运算有三种，即交、并、补，学习时先理解概念，并掌握符号等，再结合解题的训练，而达到掌握的层次. 下面以表格的形式归纳三种基本运算如下 .并集 交集 补集概念由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合，称为集合 A 与 B 的并集（union set）由属于集合 A 且属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合 A 与 B 的交集（intersection set）对于集合 A， 由全集 U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集合，称为集合 A 相对于全集 U 的补集（complementary set）记号 （读作“A 并 B”）（读作
8、 “A 交 B”）（读作“A 的补集”）U第 4 页 共 10 页符号 |,ABxB或 |,AxB且 |,UAxA且图形表示 例题精讲：【例 1】设集合 .,|15,|39,()UURAxBxAB求 【例 2】设 ， ，求：|6AxZ1,23,456BC（1） ； （2） .()BC()A【例 3】已知集合 ， ，且 ，求实数 m 的取值范围.|24Ax|BxmAB点评：研究不等式所表示的集合问题，常常由集合之间的关系，得到各端点之间的关系，特别要注意是否含端点的问题.【例 4】 已知全集 ， ， ，*|10,UxN且 2,458A1,358B求 ， ， ， ，并比较它们的关系. ()UCAB
9、()()UCB()UC第 5 页 共 10 页【第 3 练 1.1.3 集合的基本运算（一）】基础达标1已知全集 ， ，则 （ ）.1,2345,67U2,45AACUA. B. C. D. 1,3671,3572若 ，则 （ ）.|0,|1AxBxBA. B. C. D. |2|2x|02x4若 ，则 （ ）.,13,|3,aAA. B. C. D. 010,335设集合 ， ，若 ，则 的取值范围是（ ）.|2Mx|NxkMNkA B C D2kk1126设全集 ， ， ，则 = . *|8U1,357A2,45B()UCAB1函数的基本概念(1)函数的定义：设 A、B 是非空数集，如果按
10、照某种确定的对应关系 f，使对于集合 A中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么称 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数，记作：y f (x)，xA .(2)函数的定义域、值域在函数 yf(x )，xA 中，x 叫自变量，x 的取值范围 A 叫做定义域，与 x 的值对应的 y值叫函数值，函数值的集合f(x)|xA叫值域值域是集合 B 的子集(3)函数的三要素：定义域、值域和对应关系(4)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等；这是判断两函数相等的依据2函数的三种表示方法第 6 页 共 10 页表示函数的常用方法有：解析法、
11、列表法、图象法一个方法求复合函数 yf (t)，tq( x)的定义域的方法：若 yf(t )的定义域为(a，b)，则解不等式得 aq(x)b 即可求出 yf (q(x)的定义域；若 yf(g( x)的定义域为(a，b)，则求出 g(x)的值域即为 f(t)的定义域两个防范(1)解决函数问题，必须优先考虑函数的定义域(2)用换元法解题时，应注意换元前后的等价性三个要素函数的三要素是：定义域、值域和对应关系值域是由函数的定义域和对应关系所确定的两个函数的定义域和对应关系完全一致时，则认为两个函数相等典型例题1下列各组函数中，表示同一函数的是 （ ）A xy, B 1,12xyxyC 3 D 2)(
12、|,2已知函数 21的定义域为 （ ）A ,(B ,( C ,() D 1,2()3设 )0(,1xf，则 )1(f （ ）A B0 C D 14已知 f212，则 )3(f= .5 （12 分）求函数 |1|xy的定义域；求函数 x的值域；求函数 32的值域.1函数的单调性(1)单调函数的定义第 7 页 共 10 页增函数 减函数一般地，设函数 f(x)的定义域为 I.如果对于定义域 I 内某个区间 D上的任意两个自变量的值 x1，x 2定义当 x1x 2 时，都有 f(x1)f(x 2)，那么就说函数 f(x)在区间 D 上是增函数当 x1x 2 时，都有 f(x1)f(x 2)，那么就说
13、函数 f (x )在区间 D 上是减函数图象描述自左向右图象是上升的 自左向右图象是下降的(2)单调区间的定义若函数 f(x)在区间 D 上是增函数或减函数，则称函数 f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间 D 叫做 f(x)的单调区间2函数的最值前提设函数 yf(x )的定义域为 I，如果存在实数 M满足对于任意 xI，都有 f(x)M ；对于任意 xI，都有f(x)M；条件. 存在 x0I，使得f(x0)M存在 x0I，使得 f(x0)M.结论 M 为最大值 M 为最小值一个防范函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制例如函数 y 分别在1x(， 0)，(0，)内都是单
14、调递减的，但不能说它在整个定义域即(，0)(0， ) 内单调递减，只能分开写，即函数的单调减区间为(，0)和(0，)，不能用“”连接两种形式设任意 x1，x 2a，b 且 x1x 2，那么第 8 页 共 10 页 0f(x)在a，b上是增函数； 0f(x)在a，b上是减函数fx1 fx2x1 x2 fx1 fx2x1 x2(x 1x 2)f(x1)f(x 2)0f(x )在a，b上是增函数； (x1x 2)f(x1)f (x2)0f(x)在a，b上是减函数两条结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)
15、 值四种方法函数单调性的判断(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论(2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数(3)导数法：利用导数研究函数的单调性(4)图象法：利用图象研究函数的单调性例题及自测一、选择题1.设偶函数 )(xf的定义域为 R，当 ,0x时， )(xf是增函数，则 ),2(f f， )3(f的大小关系是 （ ）A )2(3)(fff B )3(2)(fffC D 2.若偶函数 )(xf在 1,上是增函数，则下列关系式中成立的是 （ ）高考资源网A )2(23f B )2(3()1fffC 3)(ff D 12第 9 页 共 10 页二填空题3设 f(x)=ax5+bx3+cx5(a,b,c 是常数)且(7)f,则 f（7）= _.三解答题.判断下列各函数的奇偶性1）f（x）=（x-2） x2；2 ;fxbx 3 ;fxbx 4 12;fxffx 5 21;xf第 10 页 共 10 页
