1、第3节：奈奎斯特判据,奈奎斯特(Nyquist)判据的推导几个基本概念,令：,则有：,而,对比，有,Nyquist判据的推导,点的映射,围线的映射,Nyquist判据的推导,柯西幅角定理,Nyquist判据的推导,设F(s)在围线A及A内除有限数目的极点外是解析的，F(s)在A上既无极点也无零点，则当围线A的走向为顺时针时，有：,其中：N为映射围线B包围原点的圈数，顺时针为正，逆时 针为负。z为F(s)在围线A内的零点数目，p为F(s)在围线A内的极点数目。,Nyquist判据的推导,奈奎斯特判据指导思想：如果有一个s平面的封闭围线能包围整个右半平面，则该封闭围线在F(s)平面上的映射围线包围
2、原点的圈数N应为,实现该指导思想应解决三个问题：,如何建立一个能包围整个s右半平面的围线，且该围线符合柯西幅角定理,如何进行围线映射,如何确定F(s)相应的映射围线对原点的包围圈数N，并将F(s)和系统的开环频率特性 相关联,Nyquist判据的推导,对问题（1）:构造围线Q,称之为“D型围线”,对问题（2）:围线Q三部分分别映射，得出映射围线F(s),对问题（3）:由映射围线F(s)可得到其对原点的包围圈数N 进而得到Nyquist曲线对(-1,j0)点的包围圈数,Nyquist判据的推导,Nyquist判据若系统开环传递函数在s右半平面有p个极点，且Nyquist曲线对（-1，j0)点包围
3、的圈数为N(N0为顺时针，N0为逆时针），则系统闭环极点在s右半平面的数目为,若z=0,系统稳定若z不为零，则系统不稳定,Nyquist稳定判据应用举例例5.4,Nyquist稳定判据应用举例（续1）,系统的Bode图及Nyquist曲线,Nyquist稳定判据举例（续2）,例5.5：,广义D型围线,Nyquist稳定判据举例（续3）,例5.6,Nyquist稳定判据举例（续4）,例5.7,Nyquist稳定判据举例（续5）,Nyquist稳定判据的另一种描述形式,通过正虚轴的映射与(-1,j0)点的相对位置确定系统的稳定性.,保证系统稳定的增益K的范围是:开环频率特性的相角为-1800时,幅
4、值小于1.,保证系统稳定的增益K的范围是:开环频率特性的相角为-1800时,幅值大于1.,Nyquist稳定判据举例（续6）,例5.7,基于Bode图的奈奎斯特稳定判据穿越数与包围次数,在极坐标图上: n+:为自下而上的穿越数(正穿越数)，而始自负实轴的（-1，-）区间向上穿越为半次正穿越。 n-:为自上而下的穿越数(负穿越数)，而始自负实轴的（-1，-）区间向下穿越为半次负穿越。,基于Bode图的奈奎斯特稳定判据,在Bode图上:(与极坐标图上相反) n+:为自上而下的穿越数(正穿越数)，而始自-1800相位线向下的穿越为半次正穿越。 n-:为自下而上的穿越数(负穿越数)，而始自-1800相
5、位线向上的穿越为半次负穿越。,基于Bode图的奈奎斯特稳定判据若系统开环传递函数在s右半平面有p个极点，其Bode图的正、负穿越数分别为 则系统闭环极点在s右半平面的数目为 若z=0系统稳定若z不等于零，则系统不稳定。,第4节 稳定裕度在设计系统时，对系统的要求： 系统是稳定的。 系统必须具备适当的相对稳定性。频域中衡量相对稳定性的指标：稳定裕度稳定裕度表现: Gk(jw)=G(j)H(j)曲线离(1,j0)点远近,原因： G(j)H(j)曲线穿越(1,j0)点，系统临界稳定。G(j)H(j)曲线离(1,j0)点越远，系统稳定程度越高。G(j)H(j)曲线离(1,j0)点越近，系统稳定程度越低
6、。具体度量的指标：增益裕量、相位裕量,GH(jg) = a 1 GM 0db,g,20lg|G(jg)H(jg)|,c为增益剪切频率，M=180+(c),基于波特图的系统相对稳定性,c,稳定系统相位裕量 M 0,(c),在Bode图上确定增益裕量的步骤：,2. 过g点作轴的垂线，并求该垂线与对数幅频特性曲线的交点，,此交点对应的纵坐标分贝值的反号即为该系统的增益裕量。设计时，经验值：6db，一般选1020db,1. 确定相位穿越频率g；,在Bode图上确定相位裕量的步骤：,1. 确定增益剪切频率c；,2.过c点作轴的垂线与对数相频特性曲线相交，查出交点处的纵坐标值(c)；,3. 代入计算公式 M = 180 +(c) 设计时，经验值：30，一般选40 60 ,(c),例: 设系统的开环传递函数,试从波德图上求系统的稳定裕量。解：该系统开环传递函数由：放大环节、积分环节、2个惯性环节组成。n=3, m=0转折频率有： 1=1/0.2=5, 2=1/0.02=50在低频段(50, 积分环节、比例环节、2个一阶惯性环节决定,-20db/dec,-40db/dec,-60db/dec,(1)增益裕量,(2)相位裕量,g16(rad/s), L(g)=15db，则：h=15db,c7(rad/s),(c)=155,则: M = 180+(c) =25,
