1、1二次函数恒成立问题2016 年 8 月东莞莞美学校一、恒成立问题的基本类型：类型 1：设 ，)0()(2acbxxf（1） 上恒成立 ；R在0且（2） 上恒成立 。xf在)( 且类型 2：设 )0(2acb（1）当 时， 上恒成立 ，0a,)(xf在 0)(20)(2fabfab或或上恒成立,)(xf在 0)(f（2）当 时， 上恒成立0a,0)(xf在 0)(f上恒成立,)(xf在 )(20)(2fabfab或或类型 3：。min)()( xfIxxf恒 成 立对 一 切 max)()( fIxxf恒 成 立对 一 切类型 4：)( )()()()( axinIx gfgfIgf 的 图
2、象 的 上 方 或的 图 象 在恒 成 立对 一 切二、恒成立问题常见的解题策略：策略一：利用二次函数的判别式对于一元二次函数 有：),0()(2 Rxacbxaxf （1） 上恒成立 ；Rxf在0)( 且（2） 上恒成立在 且例 1.若不等式 的解集是 R，求 m 的范围。02)1()(2xm解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数 m，所以要讨论 m-1 是否是 0。（1）当 m-1=0 时，不等式化为 20 恒成立，满足题意；2（2） 时，只需 ，所以， 。01m0)1(8)(012m)9,1策略二:利用函数的最值（或值域）（1） 对任意 x 都成立
3、；xf)( xfin)(（2） 对任意 x 都成立 。简单计作：“大的大于最大的，小的小于最小的”。max由此看出，本类问题实质上是一类求函数的最值问题。例 2.已知 ，若 恒成立，求 a 的取值范围.axf3)(2 2)(,fx解析 本题可以化归为求函数 f(x)在闭区间上的最值问题,只要对于任意 .若2)(,2minxfx恒成立2)(,xfx2)(,2minf37)2()(minafxfa或 或 ，即 a 的取值范围为 . 243)2()(minafxfa27)()(minfxfa 2,5策略三：利用零点分布例 3.已知 ，若 恒成立，求 a 的取值范围.axf3)(2 0)(,2xfx解
4、析 本题可以考虑 f(x)的零点分布情况进行分类讨论，分无零点、零点在区间的左侧、零点在区间的右侧三种情况，即 0 或 或 ，即 a 的取值范围为-7，2.0)2(0fa0)2(fa点评 对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于零的问题,可以考虑函数的零点分布情况,要求对应闭区间上函数图象在 x 轴的上方或在 x 轴上就行了.变式：设 ，当 时， 恒成立，求实数 的取值范围。2)(2mxf ),1mxf)(解：设 ，则当 时， 恒成立Fx0F当 时， 显然成立；0)(14即 )(当 时，如图， 恒成立的充要条件为：0xO xyx-13解得 。综上可得实数 的取值范围为 。120)(mF23m
5、)1,3策略四：分离参数法若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。一般地有：1） 恒成立为 参 数 ）agxf)(max)(fg2） 恒成立为 参 数 ）例 4.函数 ，若对任意 ， 恒成立，求实数 的取值范),12)(xaxf ),1x0(xf a围。解：若对任意 ， 恒成立，),1x0(f即对 ， 恒成立，,2xaf考虑到不等式的分母 ，只需 在 时恒成立而得),1x02),1x在 时恒成立，只要 在 时恒成立。而易求得二02ax),a2),次函数 在 上的最大值为 ，
6、所以 。 xh)(133变式：已知函数 时 恒成立，求实数 的取值范围。4,0(,4)(2xf 0)(xf a解： 将问题转化为 对 恒成立。xa,令 ，则xg24)(min)(g由 可知 在 上为减函数，故1)(2)(x4,00)4()(mingx 即 的取值范围为 。0a,(注：分离参数后，方向明确，思路清晰能使问题顺利得到解决。策略五：确定主元4在给出的含有两个变量的不等式中，学生习惯把变量 看成是主元（未知数），而把另一个变量x看成参数，在有些问题中这样的解题过程繁琐。如果把已知取值范围的变量作为主元，把要求取值范a围的变量看作参数，则可简化解题过程。例 5.若不等式 对满足 的所有
7、都成立，求 x 的范围。)1(22xm2m解析：我们可以用改变主元的办法，将 m 视为主变元，即将元不等式化为： ，；0)12()(2xm令 ，则 时， 恒成立，所以只需 即)12()()2xf 20)(f )(f，所以 x 的范围是0)()1(2x )231,7(总结：利用了一次函数 有：,(nmbkf 0)(0)(,)(0)( fxfnfxf 恒 成 立恒 成 立变式：对任意 ，不等式 恒成立，求 的取值范围。1,a242aax分析：题中的不等式是关于 的一元二次不等式，但若把 看成主元，则问题可转化为一次不等式x在 上恒成立的问题。04)2(xx1,解：令 ，则原问题转化为 恒成立（ ）
8、。4)2()af 0)(af 1,a当 时，可得 ，不合题意。xf当 时，应有 解之得 。20)1(f 31x或故 的取值范围为 。x,3,策略六：消元转化例 6.已知 f(x)是定义在-1,1上的奇函数,且 f(1)=1,若，若 对于所有的 恒成立，求实数0)(0,1, nmffnnm或 12)(atx 1,axt 的取值范围.解析 本题不等式中有三个变量，因此可以通过消元转化的策略，先消去一个变量，容易证明 f(x)是定义在-1,1上的增函数,故 f(x)在-1,1上的最大值为 f(1)=1,则 对于所有的12)(atxf恒成立 对于所有的 恒成立，即 对于所有的1,ax121at 1,a
9、0t恒成立，令 ，只要 ， ,)(tag0)(g2tt或5点评 对于含有两个以上变量的不等式恒成立问题,可以根据题意依次进行消元转化,从而转化为只含有两变量的不等式问题,使问题得到解决.以上介绍的几种常见不等式恒成立问题的求解策略，只是分别从某个侧面入手去探讨不等式中参数的取值范围。事实上，这些策略不是孤立的，在具体的解题实践中，往往需要综合考虑，灵活运用，才能使问题得以顺利解决。3、巩固练习1.（1）若关于 x的不等式 02ax的解集为 ),(，求实数 a的取值范围；（2）若关于 的不等式 32a的解集不是空集，求实数 的取值范围w.w.w.k.s.5.u.c.o.m解：（1）设 xf.则关
10、于 x的不等式 02ax的解集为 ),(0xf在 ,上恒成立 0minf,即 ,42minf 解得 04a（2）设 axf2.则关于 x的不等式 32ax的解集不是空集 3xf在,上能成立 3minf,即 ,4minf 解得 6或 2a.2. 若函数 268yx在 R 上恒成立，求 m 的取值范围。分析：该题就转化为被开方数 2680x在 R 上恒成立问题，并且注意对二次项系数的讨论。略解：要使 268ymx在 R 上恒成立，即 2680x在 R 上恒成立。10时， 8 0成立2时， 236483210mm， 1由 1， 可知， 013. 已知向量 2(,)(,)axbxt若函数 baxf在区
11、间 ,上是增函数，求 t 的取值范围.解：依定义 ,)1()() 232 ttf .3)(txxf则 f在区间 ,上是增函数等价于 0xf在区间 1,上恒成立;而 0在区间 ,1上恒成立又等价于 xt23在区间 1,上恒成立;6设 1,23xxg进而 xgt在区间 1,上恒成立等价于 1,maxgt考虑到 ,在 3,上是减函数,在 ,3上是增函数,则51maxg. 于是, t 的取值范围是 5t.4. 已知函数 31,fxagxfax，其中 fx是 f的导函数.对满足的一切 的值，都有 0，求实数 的取值范围；解法 1.由题意 235gx，这一问表面上是一个给出参数 a的范围，解不等式0gx的
12、问题，实际上，把以 x为变量的函数 gx，改为以 为变量的函数，就转化为不等式的恒成立的问题，即令 235ax， 1a，则对 1a，恒有 0gx，即 0a，从而转化为对 1， 0恒成立，又由 是 的一次函数，因而是一个单调函数，它的最值在定义域的端点得到.为此只需 01 即23,80.x解得 213x.故 2,13时，对满足1a的一切 的值，都有 g.解法 2.考虑不等式 235xa.由 1a知, 60,于是,不等式的解为2 23366ax.但是,这个结果是不正确的,因为没有考虑 a的条件,还应进一步完善.为此,设 2 2360360,agh.不等式化为 ,1xa恒成立,即 maxmin,1g
13、ha.由于 2360ag在 上是增函数,则 ax23g,2h在 1a上是减函数,则 min1.h所以, 1x.7故 2,13x时，对满足 1a的一切 的值，都有 0gx.5. 若对任意的实数 x， 2sincos20kx恒成立，求 k的取值范围。解法一：原不等式化为 1令 costx，则 1t，即 22() 1ftkttk在 ,t上恒大于 0。若 k，要使 0f，即 0， 不存在若 1，若使 ()t，即 2()10fkk 2k 12k若 k，要使 f，即 1，由，可知， 2k。解法二： 2()0ftt，在 ,上恒成立。 2101kk ()1fk或 2k由，可知， 1k。6. 已知函数 对于一切
14、 成立，求 a 的取值范围。2()0fxa1(0,2x7. 已知函数 对于 恒成立，求 m 的取值范围。4m,8. 若不等式 在 内恒成立，求 a 的取值范围。22966x3x9.已知函数 的定义域为 R，求实数 的取值范围。)1(lg2axy解：由题设可将问题转化为不等式 对 恒成立，即有0)1(2axx解得 。所以实数 的取值范围为 。04)1(2a3或 ),31(),(10.已知函数 ，若对任意 恒有 ，试确定 的取值范围。lgfxx2,x0fxa8解：根据题意得： 在 上恒成立，即： 在 上恒成21ax,x23ax2,立，设 ，则 当 时， 所以23fx2394f2xmaxfa11.已知 时，不等式 恒成立，求 的取值范围。,1210xa解：令 ， 所以原不等式可化为： ，2xt,0,t221ta要使上式在 上恒成立，只须求出 在 上的最小值即可。0, 21tf,222114tftt,tmin34ftf23a132a
