1、 专题 28 平面向量的基本定理的应用考纲要求:1了解平面向量的基本定理及其意义掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；2会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算理解用坐标表示的平面向量共线的条件基础知识回顾:1.向量的数乘运算：求实数 与向量 的积的运算，a运算法则：(1)| a | |a|；(2)当 0 时， 与 的方向相同；当 0 时， 的与 的方向相反；当 0 时， 0 a a运算律： ( )( ) ；( ) ； ( ) bab2.共线向量定理向量 ( 0 )与 共线，当且仅当有唯一一个实数 ，使得 ab2平面向量基本定理及坐标表示(1)平面向量基本定理：如果 是同一平面内的两个不共线向
2、量，那么对于这一平面内的任意向量 ，12,e a有且只有一对实数 1， 2，使 .其中，不共线的向量 叫做表示这一平面内所有向量21ea12,e的一组基底.(2)平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解(3)平面向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量 i， j 作为基底，对于平面内的一个向量 ，有且只有一对实数 x， y，使 ，把有序数对 叫做向量 的坐标，记作aaij),(yxa ，其中 叫 在 x 轴上的坐标， 叫 在 y 轴上的坐标),(yxa设 ，则向量 的坐标 就是终点 A 的坐标，即若 ，则 A 点坐标
3、为 ，OAijOA),(x(,)Oxy),(yx反之亦成立( O 是坐标原点)应用举例:类型一、共线向量定理的应用【例 1】 【2017 山东省枣庄八中高三月考】 设两个非零向量 与 b 不共线，a(1)若 ， 2 8 ， 3( )，求证： A， B， D 三点共线；ABabCabD(2)试确定实数 k，使 k 和 k 同向【答案】见解析； k1.【例 2】 【宁夏银川一中 2018 届高三上学期第二次月考】在平行四边形 ABCD 中，点 E 为 CD 中点，点 F 满足 ,则 ( )2,AFDExACyBxyA. B. C. D. 131425【答案】 A【解析】因为 ,2EFABxCyBx
4、yxyxABD 所以 ，选 A.12类型二、平面向量基本定理的应用【例 3】 【2017 湖南衡阳八中月考】如果 e1， e2是平面 内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是( )A e1与 e1 e2 B e12 e2与 e12 e2C e1 e2与 e1 e2 D e13 e2与 6e22 e1【答案】 D【解析】选项 A 中，设 e1 e2 e 1，则Error!无解；选项 B 中，设 e12 e2 (e12 e2)，则Error!无解；选项 C 中，设 e1 e2 (e1 e2)，则Error!无解；选项 D 中， e13 e2 (6e22 e1)，
5、所以两向量是共线12向量【例 4】 【山东省德州市 2018 届高三上学期期中考试】设 为 所在平面内一点， ，则ABC3BDC（ ）A. B. 132DAC132DAC. D. 312ADBC312ABC【答案】 B【解析】结合图形可得 。选 B。3313222ADBABCABAC【例 5】 【湖北省襄阳市四校 2018 届高三上学期期中联考】如图，在正六边形 中，有下列四个DEF命题： （ ） ； ；2ACFB2ADBF DEEA其中真命题的个数是（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】 D方法、规律归纳:1.应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进
6、行向量的加、减或数乘运算2.用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决3.解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解实战演练:1 【2017 江西吉安一中高三月考】如图，在平行四边形 ABCD 中， E 为 DC 边的中点，且 a， b，则 ( )ABDBEA b a B b a C a b D a b12 12 12 12【答案】 A【解析】 a b a b a.EDE12 122 【2017 浙江省温州市高三月考试题】已知 O， A， B， C 为同一平面内的四个点，若 2 0，则AC
7、B向量 等于( )OCA. B 23 13 B1323C2 D 2 A【答案】 C3 【山东省滨州市 2018 届高三上学期期中考试】设 是 所在平面内一点，且 ，则PABC2BPC（ ）APA. B. C. D. 12C312A123213A【答案】 C【解析】由向量的运算法则可得： ， ， ，BPAPC2BPC，整理可得 ，即 ，故选 C.2APBCAP（ ） 32APBC123AB4在 中，若 分别为 边上的三等分点，则,EF（ ）EFA. B. C. D. 269832109【答案】 A5 【江西省莲塘一中 2018 届高三 9 月质量检测】已知点 M 是 ABC 的边 BC 的中点，
8、点 E 在边 AC 上，且，则向量 （ ）2ECAEMA. B. C. D. 123126A162AB1362ACB【答案】 C【解析】 3E,选 C. 2121162MACBABCAB6如图, ABC 中,如果 O 为 BC 边上中线 AD 上的点,且 ,那么（ ）0OA. B. C. D. OD2AOD3A2OA【答案】 B【解析】由 O 为 BC 边上中线 AD 上的点,可知 ，2ODBCAO故选： B.7 【江苏省淮安市盱眙中学 2018 届高三第一次学情调研】如图，两块直角三角板拼在一起，已知， 45AC60D（1）若记 ，试用 表示向量 ；,ABaCb,a,ADC（2）若 ，求 2
9、ED【答案】 （1） ；（2） .31838在平行四边形 ABCD 中， E 和 F 分别是边 CD 和 BC 的中点，设 ， .ABaDb（）用 和 表示向量 , ； abA（）若 ，其中 、 R，求 的值.C【答案】 （1） ， ， （2）E2abFa1b439已知 D 为 AOB 所在平面内一点， 2 ，点 C 为 B 关于 A 的对称点， DC 和 OA 交于点 E，设OD ， b.OAaB（）用 和 b 表示向量 、 ； C（）若 ，求实数 的值EA【答案】(1) =2 b， =2 b;(2) .OaDa534【解析】试题分析：(1) 点 C 为 B 关于 A 的对称点即 A 是 BC 的中点，又 ，结合平行四边形OD23B法则，即可用 和 b 表示向量 、 ;(2)由 可得对应系数成比例，解得实数 的值.a/EC试题解析:(1)由题意， A 是 BC 的中点，且 ，OD23B由平行四边形法则， 2 .BCA 2 2 b， (2 b) b2 b.OCaa3a5(2) /ED又 (2 b) (2 ) b， 2 b，ECOaaDCa53 ， .2153410如图，在平行四边形 中， ， 是 上一点，且 . =+47（1）求实数 的值；（2）记 ， ，试用 表示向量 ， ， .= , 【答案】(1) ；(2) ， ， .=23 =53 =11767
