1、1一、 p-q变换与d-q变换的理解与推导1. 120变换和空间向量120坐标系是一个静止的复数坐标系。120分量首先由莱昂（Lyon）提出，所以亦成为莱昂分量。下面以电流为例说明120 变换。 、 、 为三相电流瞬时值，120坐aibci标系与abc坐标系之间的关系为 1： 021021iaiiicba式中 和 分别为定子绕组平面内的120和240空间算子， ，a2 120jea240je，上式的逆变换为： )(31)(301221cbacbaiiiii可以看出，120变换在形式上与矢量对称分量变换很相似，不过这里的 是cbaii、瞬时值而不是矢量， 是瞬时复数值，所以120 变换亦称为瞬时
2、值对称分量变换。21i、由于是瞬时值之间的变换，所以120 变换对瞬态（动态）和任何电流波形都适用，而矢量对称分量法仅适用于交流稳态和正弦波的情况。另外，由于 和 是空间算子，所2以 和 是空间向量而不是时域里的矢量；所以瞬时值对称分量和矢量对称分量具有本1i2质上的区别。另外，从上式可知， 等于 的共轭值，所以 不是独立变量。2i12i用矩阵表示时，可写成， （1-1）021iiCiicba cbaiiC120，12120a13220a此变换矩阵为等幅变换 1。1 如何理解式（ 1-1）中的变换矩阵是等幅值变换？Comment lin1: I1为瞬时值i1组成的空间矢量，以顺时针旋转，定义空
3、间矢量Iori同I1一样以 顺时针旋转，为保证等幅值定义Iori幅值为I1两倍2所谓等幅值变换，是指原三相电流形成的总的磁动势（MMF：Magnetic Motive Force）和变换后的电流形成的磁动势 MMF幅度一样。由于本文中120变换的目的是生成电压电流的空间矢量。而电流矢量的定义为其单独产生的磁动势与原三相电流产生的磁动势相等，所以此处从abc到120的变换应以磁动势不变为准则，应选取等幅值变换。虽然等幅值变换虽然有明确的物理意义，但是如果对三相电压、电流均进行等幅值变换，在计算功率的时候就会出现功率不守恒的情况。因此，相对于等幅值变换，还有等功率变换。所谓等功率变换，是指原三相系
4、统中的功率和变换后的功率相等。对实线性空间，由于正交变换 2保持内积不变，而功率恰好是电流、电压矢量的内积，只要将组成变换矩阵的特征向量规范化（单位化），即可保证变换前后的功率形式不变。令 ， ，变换矩阵为C。cbaicbau原三相系统中功率为： iupT),(变换后的功率为： iCuiTT)(当 ，即 ，可使变换前后功率不变，满足此条件的C即为正交矩阵ET1T。在120分量中，由于负序分量 不是一个独立变量，所以可以把它省略；另外，零2i序分量是一个孤立系统，可以单独处理；所以实用上通常仅需用到正序分量 。为此1i定义定子电流的空间矢量 ，它等于 的2倍 3，即ori1= （1-2）)(cb
5、ai式中的1、 和 分别表示 a相、b相和c相轴线位置处的单位空间矢量。若零序电2流为0 ， 在a、b 、c相轴线上的投影即为 ，如图1-1所示。ori ci、从式（1-2）可以看出，定子电流的空间矢量 既表达了三相电流在时域内的变化情况，又表ori达了三相绕组在空间的不同位置；就物理意义而言，它实质上是代表定子三相绕组所组成的基波合成磁动势。2 正交变换：变换矩阵 为正交矩阵，满足C1CT3 考虑这里为什么空间矢量是正序分量的2倍？是不是考虑到空间矢量是正序和负序分量之和。3a 相b 相c 相ibici1a2aori图1-1 电流的空间向量电压矢量同理可得。2. Park变换与Clarke
6、变换（1）Clarke变换0坐标系是一个两相坐标系，其中轴与a相绕组轴线重合，轴超前轴90 电角，0 序则是一个孤立的系统。以电流为例，说明abc与0坐标系之间的坐标变换。把图中 和轴线上的电流 i和 分别投影到a、b 、c三相轴线上，再加上孤立的零序电流 ，可得 、 和 ：i 0iaibcab c轴轴i0 序图1-2 0变换00213iiiiicba4，01iiCiicbacbaiiC0其中 ，123100C 2121330不难看出，此变换是等幅值变换，如果得到等功率变换，需要把 进行单位正0C交化，变为正交矩阵，使得 ，得到等功率变换矩阵为TC010 2121330（2）Park 变换dq
7、0坐标系是一种与转子一起旋转的两相坐标系和零序系统的组合。若转子为凸极，则d轴与凸极的中心轴线重合，q 轴超前d 轴90 电角，如图1-3所示。dq0 变换是从静止的abc 坐标系变换到旋转的dq0坐标系的一种变换。 d 轴a 相轴线q 轴b 相c 相图1-3 dq0变换以定子电流为例。设定子三相绕组中电流为 、 、 ，转子d轴与定子a 相绕组轴aibci线之间夹角为 （电角），dq0 变换后定子电流的dq0分量分别为 、 、 。把旋转 iq0i的d、q轴上的 、 分别投影到定子a 、b 、c 三相轴线上，再加上零序电流 ，可得到diq、 和 ：aibc500)3/2sin()3/2cos(i
8、 iiiqdbqda ，01iiCiqdcba cbadqiC0其中 1)3/2sin()3/2cos(i10 dqC1/i/iinco320dq式中 ， 为转子的角速度， 为0时刻时，d轴与a 轴夹角，转子旋转时0t ， 是一个时变阵。若 ，即转子不转，且d 轴与a 轴重合时，dq0坐标系退化为0dqC0坐标系。实际上，由图 1-3可知，若 ，就意味着。与图1-2 一致。显然上式不是正交矩阵，上述变换为等幅值变换，把变换矩阵单位正交化变为正交矩阵 2121)3/sin()3/sin(i coco320 dqC则 ，此时变换将成为等功率变换。Tdqdq010Clarke变换也是 变换，它变换后
9、的量仍然是交流量，也就是说，它的值是随着abc三相值的变化而变化的。它的主要用途是瞬时无功功率控制。Park变换是交流坐标系变换为直流坐标系，一般在VSC（voltage source converter）的控制中常用，它将交流变化的量变换到直流坐标系下，稳态时dq量可以保持恒定。VSC 控制就是控制变换过的 dq量从而对系统的电压电流等参数进行控制的 3。63. 瞬时无功理论设三相电路各相电压和电流的瞬时值分别为 、 、 和 、 、 。为分析问aebcaibci题方便，把他们变换到 两相正交的坐标系上研究。如图1-4所示 2。qieei iqiqipipiepiei图1-4 系中电压、电流矢
10、量由下面的变换可以得到 、 两相瞬时电压 、 和 、 两相瞬时电流 、e i。i（1-3）cbaeC（1-4）cbaiii式中。231032C此变换为等功率变换，标准正交化成可逆的转移矩阵（正交阵）为，212130 21321010C不难推导出，120分量与0 分量之间具有下列关系7， （1-5）)(612jii)(612jee以电流为例推导过程如下： 0 02012012020162133ii iiaiiCiiiicba空间矢量与分量的关系为 ori )(321ji（1-6）rieje在图1-4所示的 平面上，矢量 、 和 、 。分别可以合成为（旋转）电压矢量i e和电流矢量 i用于瞬时功率
11、计算中的Clarke变换需要保证变换前后功率保持不变，因此应采用为等功率变换。电压电流矢量的原始定义中采用的120变换为等幅值变换，Clarke 等幅值变换矩阵系数为 ，等功率变换矩阵系数为 。电压电流矢量应用到等功率变换体系中应相3232应改变系数，因此此处的等功率变换中应用的电压电流矢量应为原始定义的电压电流矢量的 倍：2eeori23e（1-7）iri i式中 、 为矢量 、 的模（黑体 、 为矢量，非黑体 、 为矢量的幅值），eieeei、 分别为矢量 、 的相角。i i8【定义1】三相电路瞬时有功电流 和瞬时无功电流 分别为矢量 在矢量 及其法线piqiie上的投影。即（1-8）si
12、ncoqp式中， 。 平面中的 和 如图1-4所示。iepi【定义2】三相电路瞬时有功功率p为电压矢量 的模 和三相电路瞬时有功电流 的epi乘积，三相电路瞬时无功功率q为电压矢量 的模 和三相电路瞬时无功电流 的乘积q，即（1-9）qpei把式（1-8）及 代入式（1-9 ）中，并写成矩阵形式得出ie ieip ieie )sncos()cos(qie nn（1-10）iqp把式（1-3）、式（1-4 ）代入上式，可得出p、q对于三相电压、电流的表达式 cbaacbacba cbacba cbaTcba cbaTcbaiieeeeiie iie iieiep 2121213221123103
13、032 2310322132由于 ，所以上式可以写为0cbacbacbba ieieep 23239 cbabcacb cbaacacb cbacba cbaTcbacbaTcbaTTieieie iieiie iie ieieieieq 31 232322032303 231012312 23210203 010由上述推导得到：（1-11）cbabcacba ieieieqip31就三相电路而言，其功率的瞬时值实际上应该理解为：把瞬时值分别置于各轴成120的abc坐标系中，按有功无功理论进行数乘，有功是电流在电压方向上的分量与电压数乘，无功是电流在电压法向上的分量与电压数乘。显然，从式（1-
14、11）可以看出，三相电路瞬时有功功率就是三相电路的瞬时功率。4. 派克变换与瞬时功率之间的关系当电网电压三相对称且波形无畸变时，设电网电压角频率为 ，且A相电压初相角为 ，E为电网电压基波即电网电压的有效值，则电压瞬时值为)2,0(10（1-12）)32sin(i20ttEecba（1）第一种推导方式则将式（1-12）代入式（1-3）将得到： )cos(in3 )32sin(23)i2 )i(1)sin(1)s(i)s(320130 00 000tEtt tttEe（1-13）)cos(in30tEe将式（1-13）代入式（1-10）计算出瞬时有功和无功为（1-14） ittqp )sin()
15、cos(in300对于式（1-14）中系数的理解为：原系统电压幅值为 ，由于是等功率变换，由等幅值与等功E2率变换矩阵系数可知，系统中的电压向量 的幅值，即 ，为 = 。eeE2*33因此由式（1-9）可知 qpqpiEie3与式（1-14）对比可得（1-15） ittiCipq )sin()cos(coin00_其中 为从 坐标系到 pq坐标系的转移矩阵。_pq下面推导 坐标到dq 坐标的变换矩阵 。_dqC11dq坐标逆时针以角频率 同步旋转，d轴与a轴的夹角为 , 为t=0时刻d0t轴与a轴的夹角， ，q 轴位于在旋转方向上比d 轴超前90 的位置上。从abc、,20坐标到dq坐标的转移
16、公式为 3：（1-16）cbadqiiCi其中abc坐标到dq坐标的转移矩阵： )32sin(co)32sin(o)sin(co32 000 tttCdq拓展为可逆转移矩阵为 21)3sin(co21)3sin(co21)sin(co3 0000 tttCdq 21)3sin(i32cos()30010 ttttdq由Clarke等功率逆变换得出下式： iiiCiicba 231032012313201代入式（1-16）： itttiqd 23102)3sin(co)32sin(co)sin(co32 000得出：Comment lin2: 空间矢量初始角Comment lin3: 此处电压表
17、示为sin（wt+），C dq0中采用cos（wt+）因此得到下面结论，若都采用sin或都采用cosComment lin4: 坐标轴夹角Comment lin5: id=ip，i q=-iq。dq坐标d轴超前q轴90 ， pq坐标p 轴滞后 q轴90。12（1-17） ittiCidq )cos()sin(ic00_显然，由式（1-15）和式（1-17）对比可知： 与 并不相同，d 、q 与p 、 q变量，并不能直接等价。_pq由式（1-15）可得 qpqp ittiCi )sin()cos(cn001_ 代入（1-17）得（1-18） qp qpqpdq i ittttii )sin()c
18、os(cin )sin()os(ci)()(00 00001_注意：式（1-18）中等式两端的变量意义，等式左边的 、 为派克变换后得到的d-dq轴瞬时电流；而等式右边的 、 为瞬时有功电流、瞬时无功电流。另外，这里再次piq重申式（1-18）中变量的意义如下： 为t=0 时刻A 相电压的初相角， 为t=0时刻d 轴与a轴的夹00角。因此列出以下几种特殊情况：（1-19） qpqdqpqdiiii102321000、由此可见，派克变换后得到的d-q瞬时电流 、 与瞬时有功电流、瞬时无功电流、 的相对关系，取决于当前时刻电网电压相角以及 d轴与a轴之间相位的关系。显piq然，若在逆变器控制中利用
19、d-q变换后得到的瞬时电流 、 来分别控制有功和无功，则意味着 与 之间相差90diq 0。因此，在逆变器控制中，通过锁相环PLL 获得0时刻a 相电压相角 ，从而决定Park变换矩阵中的 值，以确保d轴与a 电网电压矢量方向相同，从而达到有功无功独立控013制的目的。在Simulink仿真平台自带的 Park变换模块中，默认 0时刻a 相电压相角 为0，由PLL 模块获得 、 ，形成 ，进行Park变换，如图1-5 所示： tsintcos0dqC图1-5 逆变器控制中 Park变换部分的simulink模型图中Vabc_filter为逆变器经滤波器并网处的三相电压，Vabc_filter_
20、pu 为其标幺值。（2）第二种推导方式对式（1-12）所表示的三相电压进行派克变换，可得 )32sin()32sin(co)32sin(co)sin(co32)i(sn2 00000 ttttEtCedqbadq将 ， ，代入上式计算得 si()32si()32sin()si(nsi )coco32 eqd化简可得：（1-20）)cos(in3)cosis)in(23cosscoEEeqd同Clark变换同理，等功率变换到两相dq坐标中，电压幅值变为 。E314为方便计算，选d轴方向为电网电压合成矢量的方向，则上式计算结果应为（1-21）03EeCcbadq要得出此结果需使（1-22）20)c
21、os(1in0满足上述条件可将瞬时功率计算公式化简为：（1- 23）qdqdieiep因此，在这种情况下，可以认为 相当于有功电流， 相当于无功电流。qi为了清晰起见，在dq轴坐标平面上，绘制电压电流相对关系如图1-6 所示。QidqqedeqidiQidQiqPidPiqeiPieia 轴图1-6 dq系中电压电流矢量为以示区别，此图中有功、无功分量的下标用P、Q表示，dq分量用d 、q表示。则电压矢量与d轴的夹角为 ，电流矢量与d 轴的夹角为 。其中 。e i ie对于式（1-23）的推导，与式（1-10）的推导过程一样，即由式（1-8）、式（1-9），可得：15 dqieieiq qdi
22、eeip iei ii )sn()co()cs()sn(iso)()(cs 传统理论中的有功功率、无功功率等都是在平均值基础或向量的意义上定义的，它们只适用于电压、电流均为正弦波时的情况。而瞬时无功功率理论中的概念，都是在瞬时值的基础上定义的，它不仅适用于正弦波，也适用于非正弦波和任何过渡过程的情况。从以上各定义可以看出，瞬时无功功率理论中的概念，在形式上和传统理论非常相似，可以看成传统理论的推广和延伸。5. 无功的物理意义在正弦电路中由于储能元件电感和电容的存在，在电路中出现了一种在纯电阻电路中所没有的现象，这就是能量的往返交换，因而除了平均功率（有功功率）外，还引出无功功率这一概念。设电路
23、的电压和电流分别为：，tUusin2)sin(2tIiTdP0co1无功的定义需借助于瞬时功率： tQt tIIttuip2sin)co1( sisii(2上式中第一个分量 是以P为平均值而做简谐振荡的分量，其值恒为非负，它是一个只有大小变化而不改变传输方向的瞬时功率分量，它代表电路等效电阻所吸收的瞬时功率，是反映电路实际消耗的有功分量，其平均值P即为有功功率。上式中第二个分量Qsin2t是一个以2 为角频率作正弦的交变的瞬时功率分量，在其变化的波形中，正负半周与横轴之间构成的面积分别代表等量的吸收能量和释放能量，表明有一部分能量在电源和电路之间交换，其平均值为零。这个瞬时功率分量代表电路的等
24、效电抗吸收的瞬时功率，反映了电源和电路之间能量往返交换的速率，是在平均意义上不能作功的无功分量。该无功分量的最大值 即为通常意义上sinUIQ的无功功率，它实质上是电源与电路之间能量往返交换的最大速率。1、在线性负荷电路中，无功的流动表现为电源（或已经储能的元件）与储能元件之间能量的交换（储存和释放）的过程。而在非线性电路中，表现为电源与非线性元件之间能量的来回流动。162、三相三线电路中，无论其对称或不对称，无论其含有谐波或不含谐波，各相无功分量的瞬时值之和在任一时刻都为0。这是一个普遍结论。因此，在线性或非线性三相电路中，可以认为无功能量是在三相之间流动的（如同三相电流的流动）。6. 参考文献1 汤蕴璆，张奕黄，范瑜交流电机动态分析北京：机械工业出版社，20052 王兆安，杨君，刘进军谐波抑制和无功功率补偿北京：机械工业出版社，19913 李光琦电力系统暂态分析（第三版）北京：中国电力出版社，2006
