1、第 1 页（共 25 页）二次根式混合计算练习一选择题（共 9 小题）1已知 ab=2+ ，bc=2 ，则 a2+b2+c2abbcac 的值为（ ）A10 B12 C10 D152化简 （ ） 2，结果是（ ）A6x6 B6x+6 C4 D43对于任意的正数 m、n 定义运算为：mn= ，计算（32）（812）的结果为（ ）A2 4 B2 C2 D204设 a 为 的小数部分，b 为 的小数部分则 的值为（ ）A + 1 B +1 C 1 D + +15若 4 与 可以合并，则 m 的值不可以是（ ）A B C D6下列根式中，不能与 合并的是（ ）A B C D7已知 x=2 ，则代数式（
2、 7+4 ）x 2+（2+ ）x+ 的值是（ ）A0 B C2+ D28下列二次根式中，与 是同类二次根式的是（ ）A B C D9已知 ，则 的值为（ ）A B2 C D第 2 页（共 25 页）二填空题（共 7 小题）10已知 1x2， ，则 的值是 11已知 ，则 = 12已知 ab=2，则 的值是 13有下列计算：（m 2） 3=m6， ，m 6m2=m3， ， ，其中正确的运算有 14计算 = 15化简： +2x x2 = 16若规定符号“*” 的意义是 a*b=abb2，则 2*（ ）的值是 三解答题（共 24 小题）17计算： 18计算：（ +1） （ 1）+ （ ） 019计算
3、：（ 1） （ +1） （ ） 2+|1 |（2） 0+ 20先化简，再求值：（ ） ，其中 x= 21计算： （ ） +|2 |+（ ） 322 （1）计算： 4 （1 ） 0；（2）先化简，再求值：（ + ） ，其中 a，b 满足第 3 页（共 25 页）+|b |=023计算： 24计算：（ + ） 25阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如 3+ =（1+ ） 2善于思考的小明进行了以下探索：设 a+b =（m+n ） 2（其中 a、b 、m、n 均为整数） ，则有a+b =m2+2n2+2mn a=m 2+2n2，b=2mn这样小明就找到了一
4、种把类似 a+b 的式子化为平方式的方法请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当 a、b、m、n 均为正整数时，若 a+b = ，用含 m、n 的式子分别表示 a、b，得：a= ，b= ；（2）利用所探索的结论，找一组正整数 a、b、m、n 填空： + =（ + ） 2；（3）若 a+4 = ，且 a、m 、n 均为正整数，求 a 的值？26先化简，再求值： ，其中 27计算：（1）|2|（2） （3 ） （3+ ）+ （2 ）28已知 x= ，y= ，且 19x2+123xy+19y2=1985试求正整数n29先化简，再求值： ，其中 a= +130 第 4 页（共 25 页）31已知
5、：x=1 ，y=1+ ，求 x2+y2xy2x+2y 的值32先化简，再求值： ，其中 33已知：a= ，b= 求代数式 的值34计算：35已知：a+b=5，ab=1，求： 的值36计算： 37计算（1）（2） 38计算： +（ 1） +（ ） 039计算： （1 ）+ +（ ） 140 （1）计算：（2014 ） 0+|3 | ；（2）化简：（1 ）（ 2）第 5 页（共 25 页）二次根式混合计算练习参考答案与试题解析一选择题（共 9 小题）1 （2015蓬溪县校级模拟）已知 ab=2+ ，b c=2 ，则 a2+b2+c2abbcac 的值为（ ）A10 B12 C10 D15【分析】由
6、 ab=2+ ，b c=2 可得，ac=4 然后整体代入【解答】解：ab=2+ ，b c=2 ，a c=4，原式= = = =15故选 D【点评】此题的关键是把原式转化为 的形式，再整体代入2 （2016黄冈校级自主招生）化简 （ ） 2，结果是（ ）A6x6 B6x+6 C4 D4【分析】求值的第一个式子是个完全平方公式，开方要注意正负值，由已知条件可得 3x50，即 3x5，所以 3x10，据此求解【解答】解：由已知条件可得 3x50，即 3x5，则 3x10，原式= （ ） 2=3x1（3x5）=3x 13x+5=4故选 D【点评】此题考查二次根式的化简求值，利用了 、 =a（a0）的性
7、质第 6 页（共 25 页）3 （2015钦州）对于任意的正数 m、n 定义运算为：mn= ，计算（32）（812 ）的结果为（ ）A2 4 B2 C2 D20【分析】根据题目所给的运算法则进行求解【解答】解：32，32= ，812 ，812= + =2（ + ） ，（32）（812）= （ ）2（ + ）=2故选 B【点评】本题考查了二次根式的混合运算，解答本题的关键是根据题目所给的运算法则求解4 （2016邯郸校级自主招生）设 a 为 的小数部分，b 为 的小数部分则 的值为（ ）A + 1 B +1 C 1 D + +1【分析】首先分别化简所给的两个二次根式，分别求出 a、b 对应的小数
8、部分，然后代、化简、运算、求值，即可解决问题【解答】解： = = = = ，第 7 页（共 25 页）a 的小数部分= 1； = = ，b 的小数部分= 2， = 故选 B【点评】该题主要考查了二次根式的化简与求值问题；解题的关键是灵活运用二次根式的运算法则来分析、判断、解答5 （2004十堰）若 4 与 可以合并，则 m 的值不可以是（ ）A B C D【分析】根据同类二次根式的定义，把每个选项代入两个根式化简，检验化简后被开方数是否相同【解答】解：A、把 代入根式分别化简：4 =4 = ， = ，故选项不符合题意；B、把 代入根式化简： 4 =4 = ； = = ，故选第 8 页（共 25
9、 页）项不合题意；C、把 代入根式化简：4 =4 =1； = ，故选项不合题意；D、把 代入根式化简： 4 =4 = ， = = ，故符合题意故选 D【点评】此题主要考查了同类二次根式的定义，即：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式需要注意化简前，被开方数不同也可能是同类二次根式6 （2015凉山州）下列根式中，不能与 合并的是（ ）A B C D【分析】将各式化为最简二次根式即可得到结果【解答】解：A、 ，本选项不合题意；B、 ，本选项不合题意；C、 ，本选项合题意；D、 ，本选项不合题意；故选 C【点评】此题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解本题
10、的关键7 （2015孝感）已知 x=2 ，则代数式（7+4 ）x 2+（2+ ）x+ 的值是（ ）A0 B C2+ D2【分析】未知数的值已给出，利用代入法即可求出【解答】解：把 x=2 代入代数式（ 7+4 ）x 2+（2+ ）x+ 得：第 9 页（共 25 页）=（ 7+4 ） （74 ）+43+=4948+1+=2+ 故选 C【点评】此题考查二次根式的化简求值，关键是代入后利用平方差公式进行计算8 （2016巴中）下列二次根式中，与 是同类二次根式的是（ ）A B C D【分析】直接利用同类二次根式的定义分别化简二次根式求出答案【解答】解：A、 =3 ，与 不是同类二次根式，故此选项错误
11、；B、 = ，与 ，是同类二次根式，故此选项正确；C、 =2 ，与 不是同类二次根式，故此选项错误；D、 = = ，与 不是同类二次根式，故此选项错误；故选：B【点评】此题主要考查了同类二次根式，正确化简二次根式是解题关键9 （2016 春齐齐哈尔校级月考）已知 ，则 的值为（ ）A B2 C D【分析】把 的两边平方，得出 x2+ 的数值，再把 两边平方，代入 x2+ 的数值，进一步开方得出结果即可【解答】解： ，（x+ ） 2=7x 2+ =5第 10 页（共 25 页）（x ） 2=x2+ 2=52=3，x = 故选：C【点评】此题考查代数式求值，注意式子的特点，灵活运用完全平方公式计算
12、二填空题（共 7 小题）10 （1997内江）已知 1x2， ，则 的值是 2 【分析】由于（ ） 2=x12+ =x+ 3，又 ，由此可以得到（ ） 2=4，又由于 1x2，由此可以得到 的值0，最后即可得到 的值【解答】解：（ ） 2=x12+=x+ 3，又 ，（ ） 2=4，又1x2， 0， =2故填：2【点评】此题解题关键是把所求代数式两边平方，找到它和已知等式的联系，然后利用联系解题11 （1998杭州）已知 ，则 = 13 【分析】用换元法代替两个带根号的式子，得出 m、n 的关系式，解方程组求m、n 的值即可第 11 页（共 25 页）【解答】解：设 m= ，n= ，那么 mn=
13、2，m 2+n2= + =34由得，m=2 +n，将代入得：n 2+2n15=0，解得：n=5（舍去）或 n=3，因此可得出，m=5 ，n=3 （m0，n 0） 所以 =n+2m=13【点评】本题通过观察，根号里面未知数的系数为相反数，可通过换元法求解12 （1998内江）已知 ab=2，则 的值是 【分析】由已知条件可知，本题有两种情况需要考虑：a 0，b 0； a0，b0 【解答】解：当 a0，b0 时，原式= ；当 a0，b 0 时，原式= =2 【点评】此题的难点在于需考虑两种情况13 （2012德阳）有下列计算：（m 2） 3=m6， ，m 6m2=m3， ， ，其中正确的运算有 第
14、 12 页（共 25 页）【分析】由幂的乘方，可得正确；由二次根式的化简，可得错误；由同底数的幂的除法，可得错误；由二次根式的乘除运算，可求得正确；由二次根式的加减运算，可求得正确【解答】解：（m 2） 3=m6，正确； = =|2a1|= ，错误；m 6m2=m4，错误； =3 5 =15 =15，正确； =4 2 +12 =14 ，正确正确的运算有：故答案为：【点评】此题考查了幂的乘方、同底数幂的除法、二次根式的化简、二次根式的乘除运算以及二次根式的加减运算此题比较简单，注意掌握运算法则与性质，注意运算需细心14 （2010黄山校级一模）计算 = 1+ 【分析】根据平方差公式求出（2 ）
15、（2+ ） ，然后进行幂的运算，即可得出答案【解答】解： =（2 ） （2+ ）2008（2+ ） 1=2+ 1=1+ 故答案为：1+ 【点评】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式和零指数幂的知识，属第 13 页（共 25 页）于基础题，关键掌握二次根式的混合运算法则和非 0 数的 0 指数幂都等于 115 （2003常德）化简： +2x x2 = 2x 【分析】利用开平方的定义计算【解答】解：原式= +2x x2=2x +x 5x=2x 【点评】应先化成最简二次根式，再进行运算，只有同类二次根式，才能合并16 （2012山西模拟）若规定符号“*”的意义是 a*b=abb2，则 2*（ ）
16、的值是 4 5 【分析】先理解“*” 的意义，然后将 2*（ ）表示出来计算即可【解答】解：由题意得：2*（ ）=2 （ 1） =4 5故答案为：4 5【点评】本题考查二次根式的混合运算，难度不大，注意理解“*”的意义三解答题（共 24 小题）17 （2016夏津县自主招生）计算： 【分析】先根据二次根式的乘除法法则得到原式= +2 ，然后利用二次根式的性质化简后合并即可【解答】解：原式= +2=4 +2=4+ 第 14 页（共 25 页）【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先进行二次根式的乘除运算，再把各二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的加减运算18 （2015大连）计算：（ +
17、1） （ 1）+ （ ） 0【分析】先根据平方差公式和零指数幂的意义得到原式=31+2 1，然后进行加减运算【解答】解：原式=31+2 1=1+2 【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式也考查了零指数幂19 （2014张家界）计算：（ 1） （ +1）（ ） 2+|1 |（ 2） 0+ 【分析】根据零指数幂、负整数指数幂和平方差公式得到原式=519+ 11+2，然后合并即可【解答】解：原式=519+ 11+2=7+3 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并
18、同类二次根式也考查了零指数幂、负整数指数幂20 （2012巴中）先化简，再求值：（ ） ，其中 x= 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把 x 的值代入进行计算即可【解答】解：原式= ，第 15 页（共 25 页）当 x= 时，x+10，可知 =x+1，故原式= = = = ；【点评】本题考查的是二次根式及分式的化简求值，解答此题的关键是当 x=时得出 =x+1，此题难度不大21 （2015陕西）计算： （ ）+|2 |+（ ） 3【分析】根据二次根式的乘法法则和负整数整数幂的意义得到原式= +2+8，然后化简后合并即可【解答】解：原式= +2 +8=3 +2 +8=8 【点评
19、】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式也考查了负整数整数幂、22 （2014荆门） （1）计算： 4 （1 ） 0；（2）先化简，再求值：（ + ） ，其中 a，b 满足+|b |=0【分析】 （1）根据二次根式的乘法法则和零指数幂的意义得到原式= 4 1=2 ，然后合并即可；（2）先把分子和分母因式分解和除法运算化为乘法运算，再计算括号内的运算，然后约分得到原式= ，再根据非负数的性质得到 a+1=0，b =0，解得a=1，b= ，然后把 a 和 b 的值代入计算即可第 16 页（共 25 页）【解答】解：（1）原式= 4
20、1=2 = ；（2）原式= =（ ）= = ， +|b |=0，a +1=0，b =0，解得 a=1，b= ，当 a=1，b= 时，原式= =【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式也考查了零指数幂、非负数的性质和分式的化简求值23 （2016丹东模拟）计算： 【分析】根据平方差公式、二次根式的化简、负整数指数幂的法则计算【解答】解：原式=314+ 2=0【点评】本题考查了二次根式的混合运算、负整数指数幂，解题的关键是掌握有关法则，以及公式的使用24 （2015淄博）计算：（ + ） 【分析】首先应用乘法分配律，可得（
21、 + ） = + ；然后根据二次根式的混合运算顺序，先计算乘法，再计算加法，求出算式第 17 页（共 25 页）（ + ） 的值是多少即可【解答】解：（ + ）= + =1+9=10【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的在运算中每个根式可以看做是一个“单项式”，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式” 25 （2013黔西南州）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如 3+ =（1+ ） 2善于思考的小明进行了以下探索：设 a+b =（
22、m+n ） 2（其中 a、b 、m、n 均为整数） ，则有a+b =m2+2n2+2mn a=m 2+2n2，b=2mn这样小明就找到了一种把类似 a+b 的式子化为平方式的方法请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当 a、b、m、n 均为正整数时，若 a+b = ，用含 m、n 的式子分别表示 a、b，得：a= m 2+3n2 ，b= 2mn ；（2）利用所探索的结论，找一组正整数 a、b、m、n 填空： 4 + 2 =（ 1 + 1 ） 2；（3）若 a+4 = ，且 a、m 、n 均为正整数，求 a 的值？【分析】 （1）根据完全平方公式运算法则，即可得出 a、b 的表达式；（2）
23、首先确定好 m、n 的正整数值，然后根据（ 1）的结论即可求出 a、b 的值；第 18 页（共 25 页）（3）根据题意，4=2mn，首先确定 m、n 的值，通过分析 m=2，n=1 或者m=1，n=2 ，然后即可确定好 a 的值【解答】解：（1）a+b = ，a +b =m2+3n2+2mn ，a=m 2+3n2，b=2mn故答案为：m 2+3n2，2mn（2）设 m=1，n=1，a=m 2+3n2=4，b=2mn=2故答案为 4、2、1、1（3）由题意，得：a=m2+3n2，b=2mn4=2mn，且 m、n 为正整数，m=2，n=1 或者 m=1，n=2，a=2 2+312=7，或 a=1
24、2+322=13【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，完全平方公式，解题的关键在于熟练运算完全平方公式和二次根式的运算法则26 （2015黄冈模拟）先化简，再求值： ，其中 【分析】首先将括号内的式子进行通分，然后将除法统一为乘法运算，再约分、化简即可【解答】解：=第 19 页（共 25 页）= ；当 x= 3 时，原式 = = 【点评】此题是典型的“ 化简求值” 类问题，解题的关键在于化简，应熟练掌握分式混合运算的解题方法27 （2016盐城）计算：（1）|2|（2） （3 ） （3+ ）+ （2 ）【分析】 （1）根据负整数指数幂的意义和绝对值的意义计算；（2）利用平方差公式和二次根式的
25、乘法法则运算【解答】解：（1）原式=23=1；（2）原式=97+2 2=2 【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍28 （2015 春 重庆校级月考）已知 x= ，y= ，且19x2+123xy+19y2=1985试求正整数 n【分析】首先化简 x 与 y，可得：x=（ ） 2=2n+12 ，y=2n+1+2，所以 x+y=4n+2，xy=1 ；将所得结果看作整体代入方程，化简即可求得【解答】解：化简 x 与 y 得：x=
26、 ，y= ，第 20 页（共 25 页）x+y=4n+2， xy=1，将 xy=1 代入方程，化简得：x 2+y2=98，（x+y ） 2=x2+y2+2xy=98+21=100，x+y=104n +2=10，解得 n=2【点评】此题考查了二次根式的分母有理化解题的关键是整体代入思想的应用29 （2016安徽三模）先化简，再求值： ，其中 a= +1【分析】首先把 写成 ，然后约去公因式（a+1） ，再与后一项式子进行通分化简，最后代值计算【解答】解： ，= ，= ，= ，当 时，原式= = 【点评】本题主要考查二次根式的化简求值的知识点，解答本题的关键是分式的通分和约分，本题难度不大30 （
27、2016 春 乐业县期末） 【分析】先根据二次根式的性质化成最简二次根式，再合并同类二次根式即可【解答】解：原式=4 +3 2 +4 ，第 21 页（共 25 页）=7 +2 【点评】本题考查了二次根式的性质，最简二次根式，同类二次根式、二次根式的加减法则等知识点的应用，能运用法则进行计算是解此题的关键，主要培养了学生的计算能力31 （2014襄阳）已知：x=1 ，y=1+ ，求 x2+y2xy2x+2y 的值【分析】根据 x、y 的值，先求出 xy 和 xy，再化简原式，代入求值即可【解答】解：x=1 ， y=1+ ，xy=（1 ）（1+ ）= 2 ，xy=（1 ） （ 1+ ）= 1，x
28、2+y2xy2x+2y=（xy） 22（x y）+xy=（ 2 ） 22（2 ）+ （ 1）=7+4 【点评】本题考查了二次根式的化简以及因式分解的应用，要熟练掌握平方差公式和完全平方公式32 （2015 春 饶平县期末）先化简，再求值： ，其中【分析】求出 a 的值，化简 =|a2|=2a，在计算乘法得出 a+ ，再代入求出即可【解答】解：a= = =2 ，a 2= 0，a +=a（2a） +第 22 页（共 25 页）=a+=（2 ）+=2+ +2+=2 【点评】本题考查了二次根式的性质化简和分母有理化的应用，关键是正确进行化简，题目具有一定的代表性，但是一道比较容易出错的题目33 （20
29、04本溪）已知：a= ，b= 求代数式 的值【分析】先求得 a+b=10，ab=1 ，再把求值的式子化为 a 与 b 的和与积的形式，将整体代入求值即可【解答】解：由已知，得 a+b=10，ab=1 ， = = 【点评】本题关键是先求出 a+b、ab 的值，再将被开方数变形，整体代值34 （2016绵阳校级自主招生）计算：【分析】观察式子，可以先将括号内的化简，能合并的要合并，然后再用分配律相乘【解答】解： ，= ，= 【点评】在二次根式的混合运算中，要灵活选择运算方法35 （2015 秋 济宁校级期末）已知：a+b=5，ab=1，求： 的值【分析】先根据已知条件确定 a，b 的符号，再把代数
30、式化简把已知代入求值【解答】解：a+b=5，ab=1，第 23 页（共 25 页）a 0 ，b 0，原式= + =（ + ）= =5【点评】先化简再代入，应该是求值题的一般步骤；不化简，直接代入，虽然能求出结果，但往往导致繁琐的运算36 （2016崇明县二模）计算： 【分析】分别依据分数指数幂、完全平方公式、负整数指数幂、分母有理化化简各式，再合并同类二次根式即可【解答】解：原式= +（ ） 22 +1 +=3+32 +12+=4 【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握分式的混合运算顺序是解题的根本，准确运算分数指数幂、负整数指数幂、完全平方公式及分母有理化等是解题的关键37 （2015
31、昆山市一模）计算（1）（2） 【分析】 （1）先算负指数幂，0 次幂和绝对值，再进一步合并即可；（2）先利用平方差公式和二次根式的性质化简，再进一步合并即可【解答】解：（1）原式=21+3=4；（2）原式=23 2= 3第 24 页（共 25 页）【点评】此题考查二次根式的混合运算，正确掌握二次根式的性质化简以及乘法计算公式是解决问题的关键38 （2015宝应县校级模拟）计算： +（ 1）+（ ） 0【分析】原式第一项化为最简二次根式，第二项去括号，最后一项利用零指数幂法则计算即可得到结果【解答】解：原式=2 + 1+1=3 【点评】此题考查了二次根式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键3
32、9 （2014大连）计算： （1 ）+ +（ ） 1【分析】分别进行二次根式的乘法运算，二次根式的化简，负整数指数幂的运算，然后合并【解答】解：原式= 3+2 +3=3 【点评】本题考查了二次根式的混合运算，解答本题的关键是掌握各知识点的运算法则40 （2014绵阳） （1）计算：（2014 ） 0+|3 | ；（2）化简：（1 ）（ 2）【分析】 （1）根据零指数幂和分母有理化得到原式=1+2 32 ，然后合并即可；（2）先把前面括号内通分，再把分子分母因式分解和除法运算化为乘法运算，然后约分即可【解答】解：（1）原式=1+2 32=2；第 25 页（共 25 页）（2）原式= = = 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式也考查了零指数幂和分式的混合运算
