2016昌平高三二模理科数学.doc

1、1 E DCBA O2016昌平区高三二模理科数学试卷第卷（选择题 共 40 分）一、 选择题(本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项)（1）复数 iA B 21i2C Di（2） 已知双曲线 的一个焦点为 ，实轴长为 6，则双曲线 的渐近线方2:1mxny(5,0)FC程为A B. C. D. 43yx34yx3yx35yx(3) 若 满足 则 的最小值为,2,10,xy2zA B. C. D. 4012（4 ）设 是两个不同的平面， 是直线且 “ ”是“ ”的,b.bA充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件（

2、5）如图，过点 和圆心 的直线交 于 两点( )， 与 切于点 ，OA,CAD于 ，则 的长度为DEA.35,BE2A. 1 B. 2C. 2 D. 5（6）执行如图所示的程序框图，如果输出的 值为 3，则判断框S内应填入的判断条件为A. 2iB. 3C 4iD 5（7）已知函数 f (x) 是定义在 上的奇函数， 当 时，f (x) 的图象如图所示，那3,0)(,(0,3x么满足不等式 的 的取值范围是 21xA. B. C. D. 3,2,3,2(0,12,0)1,31,0)(,（8）将一圆的八个等分点分成相间的两组，连接每组的四个点得到两个正方形.去掉两个正方形内部的八条线段后可以形成一

3、正八角星，如图所示.设正八角星的中心为 O，并且 12,.AeBurr否是0,1Si1i开始 2iS2log()S输出结束 3主主主主主主主主主1 1 1主主主主主主11DCBAe2 e1B AO若将点 O到正八角星 16个顶点的向量，都写成为 12,Reur的形式，则 的最大值为A B. 2 2C. D. 1第卷（非选择题 共 110分）二、 填空题（本大题共 6小题，每小题 5分，共 30分）（9）已知 是等比数列 ( )的前 项和，若 ，公比 ，则数列 的通nSnaNn314S2qna项公式 .a（10）在极坐标系中， 为极点，点 为直线 上一点，则 的最小值OA:sicosl|O为_.

4、(11) 如图，点 是 的边 上一点，DABC那么7,2,1,45.AB_; _. (12) 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥中最长棱的棱长为_.（13）2016 年 3 月 12 日，第四届北京农业嘉年华在昌平拉开帷幕. 活动设置了“ 三馆两园一带一谷”七大板块.“三馆”即精品农业馆、创意农业馆、智慧农业馆；“ 两园”即主题狂欢乐园、农事体验乐园；“一带”即草莓休闲体验带；“ 一谷” 即延寿生态观光谷. 某校学生准备去参观，由于时间有限，他们准备选择其中的“一馆一园一带一谷”进行参观，那么他们参观的不同路线最多有_种. （用数字作答） 4（14）已知数列 中，na1(0),a*1,1()

5、.3),2nnaN若 则 _；31,6记 则 _.12.,nnSa2016S三、解答题(本大题共 6小题，共 80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)（15）（本小题满分 13 分）已知函数 的部分图象如图所示.()sin(0,|)2fxAx（）写出函数 的解析式及 的值；（）求函数 在区间 上的最大值与()fx, 4最小值. （16）（本小题满分 13 分）为了解高一新生数学基础，甲、乙两校对高一新生进行了数学测试. 现从两校各随机抽取 10名新生的成绩作为样本，他们的测试成绩的茎叶图如下：（I） 比较甲、乙两校新生的数学测试样本成绩的平均值及方差的大小；（只需要写出结论）（II） 如

6、果将数学基础采用 A、B、C 等级制，各等级对应的测试成绩标准如下表：（满分100 分，所有学生成绩均在 60 分以上）甲校 乙校5 1 9 1 1 2 4 3 3 8 4 77 4 3 2 7 7 88 6 5 7 8 5C1B1A1 FEDCBA测试成绩 85,1070,85)(60,7)基础等级 A B C假 设 每 个 新 生 的 测试成 绩 互 相 独 立 .根 据 所给数 据 ， 以 事 件 发生的频率作为相应事件发生的概率.从甲、乙两校新生中各随机抽取一名新生，求甲校新 生 的 数 学 基础等级高于乙校新 生 的 数 学基础等级的概率. （17）（本小题满分 14 分）如图，三棱

7、柱 中， 垂直1ABCB于正方形 所在平面， ，1 2,1C为 中点， 为线段 上的一点（端点DE1除外）， 平面 与 交于点 .1ABF（I）若 不是 的中点，求证： ;E1C1/BEF（II）若 是 的中点，求 与平面 所成角的正弦值;ADC（III）在线段 上是否存在点 ，使得 若存在，求出 的值，若不存在，请说1B1,1BEC明理由.（18）（本小题满分 13 分）已知函数 ， ，且曲线 与曲线 在它()eaxf2()(,)gxbcaR()yfx()ygx们的交点 处具有公共切线. 设 .0,c)hfgx（I）求 的值，及 的关系式；,ab（II）求函数 的单调区间；()hx（III）

8、设 ，若对于任意 ，都有 ，求 的取值范围012,0,x12()e1hxa（19）（本小题满分 13 分）6已知椭圆 ： 的焦距为 ，点 在椭圆 上，过原点 作直线M210xyab20,3DMO交椭圆 于 、 两点，且点 不是椭圆 的顶点，过点 作 轴的垂线，垂足为 ，点 是ABAMAxHC线段 的中点，直线 交椭圆 于点 ，连接 HCP（）求椭圆 的方程及离心率；（）求证： .P（20）（本小题满分 14 分）定义 表示 中的最大值.123maxn,x 123n,x,已知数列 ， ， ，其中 ， ， 0n0nbm50ncp20mpkn.记 .,npk*Naxnnd,（I）求 ；,b（II）当

9、 时，求 的最小值；2kn（III） ，求 的最小值.*Nd7数学试卷参考答案及评分标准 （理科） 2016.5一、选择题(本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A D A C B B C二、填空题（本大题共 6小题，每小题 5分，共 30分）（9） （10） （11） ;*(N)n21206（12） （13）144 （14）5;3三、解答题(本大题共 6小题，共 80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)（15）（本小题满分 13 分）解：（I） 7 分02()2sin(),.34fxx

10、（II）由 ， 9 分5, ,46当 时，即 ，236xxmin()()1;4fxf当 时，即 ， 13 分12ax2.（16）（本小题满分 13 分）解： （I）两校新 生 的数学测试样本成绩的平均值相同；甲校新 生 的数学测试样本成绩的方差小于乙校新 生 的数学测试样本成绩的方差. 6 分（II）设 事 件 =“从甲、乙两校新生中各随机抽取一名新生，甲校新 生 的 数 学 基础等级高D于乙校新 生 的 数 学 基础等级” .设 事 件 =“从甲校新生中随机抽取一名新生，其数 学 基础等级为 A”，1E 1(),5PE设 事 件 =“从甲校新生中随机抽取一名新生，其数 学 基础等级为 B”，

11、2 270设 事 件 =“从乙校新生中随机抽取一名新生，其数 学 基础等级为 B”，1F 13(),F设 事 件 =“从乙校新生中随机抽取一名新生，其数 学 基础等级为 C”，2 2P根据题意， 所 以12,DEF121122()()()()()()PFPPEFPEF8z yxC1B1A1 FEDCBAG.13735010因此，从甲、乙两校新生中各随机抽取一名新生，甲校新 生 的 数 学 基础等级高于乙校新 生的 数 学 基础等级的概率为 13 分.（17）（本小题满分 14 分）（I）证明：连接 ，交 于点 ，连接 .CB11GD在三棱柱 中， 为 中点, A1BC且 为 中点，D所以 .1

12、/G因为 ,B平 面所以CA11平 面 . 11/B平 面2 分由已知，平面 与 交于点 ，1EDF所以 从而 ，FB平 面 ， 1ABE平 面又 ，1C平 面所以 ,1DF平 面 平 面所以 . 4 分1/ABEF(II) 建立空间直角坐标系 如图所示.11CAB1(2,0)(,)(0,2)(,0).BED.11(,),(,)(,2)2AECB设平面 的法向量为1D,nxyz由 得 ,110,nA02.令 ,得 . 6 分y(2,)98 分421cos, .63|AEn所以， 与平面 所成角的正弦值为 . 9 分1BCD42163(III) 在线段 上存在点 ，使得 且 .理由如下：1E1,

13、ACE1B假设在线段 上存在点 ，使得 设 , .则 ,1BC1,1(0,)yz1(0)EC1BEC.11(0,2)(0,)yzyz. 11 分1,z2(,)E， .12(,)1AE 1(0,)C,224()()解得: . 13 分14所以，在线段 上存在点 ，使得 且 .14 分1BCE1,ACE14B（18）(本小题满分 13 分）解：（I）因为函数 ， ，()eaxf2()gxbc所以函数 ， .又因为曲线 与曲线 在它们的交点 处具有公共切线，()yfx()yx(0,)c所以 ，即 4 分0,()gf1,.cab（II）由已知， .2()e1xhxf a所以 .()e2a10设 ，所以

14、 ，()e2axFxh2()eaxFR， ，所以 在 上为单调递增函数. 6 分a0()h,由（I）得， 所以 ，即 0 是 的零点.(),fg0()fg()hx所以，函数 的导函数 有且只有一个零点 07 分hx()x所以 及 符号变化如下，()x(,0)(,)h (x 极小值 所以函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 .9 分)h(,0)(0,)（III）由（ II）知当 时， 是增函数.0,1xhx对于任意 ，都有 等价于12, 2()e1，maxin()()()eahh等价于当 时， ，0()0G因为 ，所以 在 上是增函数，()e1aa,又 ，所以 . 13 分,（19）（本小题

15、满分 13 分）解：（I）由题意知 ，则 ，1,c3b224abc所以椭圆 的方程为 ，椭圆 的离心率为 . 5 分M24xyM1（II）设 ，则01(,)(,)AyP00(,)(,).2yBxC由点 在椭圆上，所以 ,20143y14311点 不是椭圆 的顶点，-得 .AM21034yx法一：又 且点 三点共线，01032,PBBCyykkxx,BCP所以 , 即 10340104().3所以，2010101010()4()43()1,3ABPyyyykxxxxA即 . 13 分法二：由已知 与 的斜率都存在，ABP 2101010PAByykxxA2103()344x又 得03,4PBCy

16、kx0,PAxky则 ，0()1A即 . 13 分（20）（本小题满分 14 分）解：（I）由题意， ，102maxaxn,b,nk因为 ，102102(k)nk所以，当 时， ，则 ，n20axnn,b当 时， ，则 ，2k1m当 时， ，则 . 4 分3k10ann,（II）当 时， ，2105xaxmax23nnnd,bc,c,n因为数列 为单调递减数列，数列 为单调递增数列，nan12所以当 时， 取得最小值，此时 .10523nnd409n又因为 ，49而 ， ，有 .444250max1d,ca4531c45d所以 的最小值为 . 8 分n2501（III）由(II)可知，当 时，

17、 的最小值为 .knd20当 时， .k750maxaxmax1nnnd,bcb,c,n因为数列 为单调递减数列，数列 为单调递增数列，nbn所以当 时， 取得最小值，此时 .20751nd801又因为 ，83而 ， .729db732509c此时 的最小值为 .n 1,当 时， ， ， 3k5050372()24knnnab所以 .105maxaxmxnnnd,bc,c,设 ，10375nh,因为数列 为单调递减数列，数列 为单调递增数列，na3750n所以当 时， 取得最小值，此时 .10375nh401又因为 ，46而 ， .329ha372503719,此时 的最小值为 .nd,综上， 的最小值为 . 14 分4d13