1、二次根式训练提高（20141218）一选择题（共 14 小题）1 （2010自贡）已知 n 是一个正整数， 是整数，则 n 的最小值是（ ）A3 B 5 C 15 D252 （2003常州）式子 、 、 、 中，有意义的式子个数为（ ）A1 个 B 2 个 C 3 个 D4 个3 （1997西宁）下列各式中 、 、 、 、 、 ，二次根式的个数是（ ）A4 个 B 3 个 C 2 个 D1 个4若实数 a 满足方程 ，则a=（ ） ，其中a 表示不超过 a 的最大整数A0 B 1 C 2 D35 （2014丰润区二模）已知 a 为实数，则代数式 的最小值为（ ）A0 B 3 C D96 （20
2、02深圳）化简二次根式 ，结果是（ ）A aB a C a Da7 （2010江西）化简 的结果是（ ）A3 B 3 C D 8 （2007南京）下列各数中，与 2 的积为有理数的是（ ）A2+ B 2 C 2+ D9 （2003黄冈）下列各式经过化简后与 不是同类二次根式的是（ ）AB C D10 （2000绍兴）已知： ， ，则代数式（3a 218a+15） （2b 212b+13）的值是（ ）A6 B 24 C 42 D9611观察下列计算： （ +1）=（ 1） （ +1）=1 ，（ + ） （ +1）=（ 1）+（ ）（ +1）=2，（ + + ） （ +1）=（ 1）+（ ）+（
3、）（ +1）=3，从以上计算过程中找出规律，并利用这一规律进行计算：（ + + + ） （ +1）的值为（ ）A2008 B 2010 C 2011 D200912已知整数 X，Y 满足 ，那么整数对（ X，Y）的个数是（ ）A2 B 3 C 4 D513 （1998内江）若 ，则 x33x2+3x 的值等于（ ）AB C D14 （2000陕西）将一个边长为 a 的正方形硬纸板剪去四角，使它成为正八边形，求正八边形的面积（ ）A （2 2）a2 B a2 C a2 D （32 ）a2二填空题（共 6 小题）15 （2012田阳县一模）若 x表示不超过 x 的最大整数（如 =3， =4 等）
4、，根据定义计算下面算式：+ + = _ 16 （2011成都）设 ， ， ， 设 ，则 S= _ （用含 n 的代数式表示，其中 n 为正整数） 17若实数 a 满足|a 8|+ =a，则 a= _ 18 （2004宁波）已知： a0，化简 = _ 19 （2003常德）化简： +2x x2 = _ 20 （2002黄冈）若 ，则代数式 的值等于 _ 三解答题（共 1 小题）21 （2008凉山州）阅读材料，解答下列问题例：当 a0 时，如 a=6 则|a|=|6|=6 ，故此时 a 的绝对值是它本身；当 a=0 时，|a|=0，故此时 a 的绝对值是零；当 a0 时，如 a=6 则|a|=|
5、6|=（ 6） ，故此时 a 的绝对值是它的相反数综合起来一个数的绝对值要分三种情况，即 ，这种分析方法渗透了数学的分类讨论思想问：（1）请仿照例中的分类讨论的方法，分析二次根式 的各种展开的情况；（2）猜想 与|a|的大小关系二次根式训练提高（20141218）参考答案与试题解析一选择题（共 14 小题）1 （2010自贡）已知 n 是一个正整数， 是整数，则 n 的最小值是（ ）A3 B 5 C 15 D25考点： 二次根式的定义菁优网版权所有分析： 先将 中能开方的因数开方，然后再判断 n 的最小正整数值解答： 解： =3 ，若 是整数，则 也是整数；n 的最小正整数值是 15；故选 C
6、点评： 解答此题的关键是能够正确的对 进行开方化简2 （2003常州）式子 、 、 、 中，有意义的式子个数为（ ）A1 个 B 2 个 C 3 个 D4 个考点： 二次根式的定义菁优网版权所有分析： 根据二次根式的有意义的条件，逐一判断解答：解： = 与 的被开方数小于 0，没有意义；= 与 的被开方数大于等于 0，有意义故有意义的式子有 2 个故选 B点评： 本题考查二次根式有意义的条件，即被开方数非负3 （1997西宁）下列各式中 、 、 、 、 、 ，二次根式的个数是（ ）A4 个 B 3 个 C 2 个 D1 个考点： 二次根式的定义菁优网版权所有分析： 二次根式的被开方数应为非负数
7、，找到根号内为非负数的根式即可解答： 解：3a，b 21，都有可能是负数，144 是负数，不能作为二次根式的被开方数，二次根式有 、 、 ，共 3 个故选 B点评： 本题考查二次根式的定义，注意利用一个数的平方一定是非负数这个知识点4若实数 a 满足方程 ，则a=（ ） ，其中a 表示不超过 a 的最大整数A0 B 1 C 2 D3考点： 二次根式有意义的条件；完全平方公式菁优网版权所有分析： 对已知条件变形整理并平方，解方程即可得到 a 的值，求出后直接选取答案解答： 解：根据二次根式有意义的条件，可得 a1原方程可以变形为：a = ，两边同平方得：a2+1 2a =a ，a 2+12 =a
8、a2a2 +1=0，解得 =1，a2a=1，a= （负值舍去） a1.618所以a=1，故选 B点评： 此题首先能够根据二次根式有意义的条件求得 a 的取值范围，然后通过平方的方法去掉根号灵活运用了完全平方公式5 （2014丰润区二模）已知 a 为实数，则代数式 的最小值为（ ）A0 B 3 C D9考点： 二次根式的性质与化简菁优网版权所有专题： 压轴题分析： 把被开方数用配方法整理，根据非负数的意义求二次根式的最小值解答： 解： 原式 =当（ a3） 2=0，即 a=3 时代数式 的值最小，为 即 3故选 B点评： 用配方法对多项式变形，根据非负数的意义解题，是常用的方法，需要灵活掌握6
9、（2002深圳）化简二次根式 ，结果是（ ）A aB a C a Da考点： 二次根式的性质与化简菁优网版权所有专题： 压轴题分析： 二次根式有意义，隐含条件 a0，利用二次根式的性质化简解答： 解： 有意义a0原式 =a 故选 B点评： 本题考查了二次根式的化简，注意二次根式的结果为非负数7 （2010江西）化简 的结果是（ ）A3 B 3 C D 考点： 二次根式的混合运算菁优网版权所有专题： 压轴题分析： 首先按分配律去掉小括号，再进一步合并同类二次根式解答： 解：原式= +3=3故选 A点评： 本题考查的是二次根式的混合运算8 （2007南京）下列各数中，与 2 的积为有理数的是（ ）
10、A2+ B 2 C 2+ D考点： 二次根式的乘除法菁优网版权所有专题： 压轴题分析： 把 A、B、C 、 D 均与 2 相乘即可解答： 解：A、 （2+ ） 2 =6+4 为无理数，故不能；B、 （2 ）2 =4 6 为无理数，故不能；C、 （2+ ）2 =4 +6 为无理数，故不能；D、2 =6 为有理数故选 D点评： 正确理解二次根式乘法、积的算术平方根等概念是解答问题的关键9 （2003黄冈）下列各式经过化简后与 不是同类二次根式的是（ ）AB C D考点： 同类二次根式菁优网版权所有专题： 压轴题分析： 因为 =3x2 ，然后把四个式子都化简，比较计算结果，看含有不含有 即可解答：
11、解： 根据二次根式有意义，可知 x0， =3x ，A、化简为 3x ；B、化简为 ；C、 = ；D、化简为 B、C、D 中都含有 ，是同类二次根式，A 不是，故选 A点评： 本题考查了同类二次根式的概念：化成最简二次根式后，被开方数相同10 （2000绍兴）已知： ， ，则代数式（3a 218a+15） （2b 212b+13）的值是（ ）A6 B 24 C 42 D96考点： 二次根式的化简求值菁优网版权所有专题： 压轴题分析： 由已知变形得 a26a=7，b 26b=7，再整体代入计算解答： 解：由已知得 a3= ，b3= ，两式平方，整理得 a26a=7，b 26b=7，原式=3（a 2
12、6a）+15 2（b 26b）+13=3（7）+15 2（ 7）+13=6故选 A点评： 先化简再代入，应该是求值题的一般步骤；不化简，直接代入，虽然能求出结果，但往往导致繁琐的运算11观察下列计算： （ +1）=（ 1） （ +1）=1 ，（ + ） （ +1）=（ 1）+（ ）（ +1）=2，（ + + ） （ +1）=（ 1）+（ ）+（ ）（ +1）=3，从以上计算过程中找出规律，并利用这一规律进行计算：（ + + + ） （ +1）的值为（ ）A2008 B 2010 C 2011 D2009考点： 二次根式的混合运算菁优网版权所有专题： 压轴题；规律型分析： 从题中可以得到（ +
13、+ + ） （ +1）=n 解答： 解：由题意得：（ + + + ） （ +1）=2009 故选 D点评： 本题考查了归纳整理，寻找规律的能力发现规律是解题的关键12已知整数 X，Y 满足 ，那么整数对（ X，Y）的个数是（ ）A2 B 3 C 4 D5考点： 二次根式的加减法菁优网版权所有专题： 压轴题分析： 将原式化为 = 的形式，再将数值代入，逐步进行验算解答： 解：当 y=0 时， = ，x=72，整数对为（72，0） ；当 y=1 时， = 1，x 不是整数；当 y=2 时， = 2 =4 = ，x=32 ，整数对为（32，2） ；当 y=3 时， = 2 =6 2 ；当 y=4 时
14、， = 2 =6 4；当 y=5 时， = 2 =6 2 ；当 y=6 时， = 2 =6 2 ；当 y=7 时， = 2 =6 2 ；当 y=8 时， = 2 =6 4 =2 ，x=8，整数对为（8，8） ；当 y=9 时， = 2 =6 6；当 y=10 时， = 2 =6 2 ；当 y=11 时， = 2 =6 2 ；当 y=12 时， = 2 =6 4 ；当 y=13 时， = 2 =6 2 ；当 y=14 时， = 2 =6 2 ；当 y=15 时， = 2 =6 2 ；当 y=16 时， = 2 =6 8；当 y=17 时， = 2 =6 2 ；当 y=18 时， = 2 =6 6
15、 =0，x=0，整数对为（0，18） 故整数对（X，Y）是（72，0） ， （32，2） ， （8，8） ， （0， 18）共四个故选 C点评： 此题比较复杂，需对 x、y 的值进行逐一验算求解，找出符合条件的实数对13 （1998内江）若 ，则 x33x2+3x 的值等于（ ）AB C D考点： 二次根式的化简求值菁优网版权所有专题： 压轴题分析： 把 x 的值代入所求代数式求值即可也可以由已知得（x1） 2=3，即 x22x2=0，则 x33x2+3x=x（x 22x2）（x 22x2）+3x 2=3x2，代值即可解答： 解： x33x2+3x=x（x 23x+3） ，当 时，原式= （
16、） 3（ ）+3=3 +1故选 C点评： 代数式的三次方不好求，就先提取公因式，把它变成二次方后再代入化简合并求值14 （2000陕西）将一个边长为 a 的正方形硬纸板剪去四角，使它成为正八边形，求正八边形的面积（ ）A （2 2）a2 B a2 C a2 D （32 ）a2考点： 二次根式的应用菁优网版权所有专题： 压轴题分析： 设剪去三角形的直角边长 x，根据勾股定理可得，三角形的斜边长为 x，即正八边形的边长为 x，依题意得 x+2x=a，则 x= ，那么正八边形的面积等于原正方形的面积减去四个直角三角形的面积解答： 解：设剪去三角形的直角边长 x，根据勾股定理可得，三角形的斜边长为 x
17、，即正八边形的边长为x，依题意得 x+2x=a，则 x= = ，正八边形的面积=a 24 =（2 2）a 2故选 A点评： 此题综合性较强，关键是寻找正八边形和正方形边长和面积之间的关系，得以求解二填空题（共 6 小题）15 （2012田阳县一模）若 x表示不超过 x 的最大整数（如 =3， =4 等） ，根据定义计算下面算式：+ + = 2011 考点： 二次根式的化简求值菁优网版权所有专题： 压轴题；新定义分析： 首先对每个式子进行分母有理化，即可确定每个式子的值，然后相加即可解答： 解： = = ，而 11+ 2所以 =1，设第 n+1 个式子是： = = =1+，则 =1+ =1，故可
18、求得每个式子均为 1，所以所求式子的和为 2011点评： 本题是一道定义新运算型问题，具有一定的难度，解答问题的关键是归纳出一般规律，然后求解16 （2011成都）设 ， ， ， 设 ，则 S= （用含 n 的代数式表示，其中 n 为正整数） 考点： 二次根式的化简求值菁优网版权所有专题： 计算题；压轴题；规律型分析： 由Sn=1+ + = = = ，求 ，得出一般规律解答：解： Sn=1+ + = = =， = =1+ =1+ ，S=1+1 +1+ +1+ =n+1= = 故答案为： 点评： 本题考查了二次根式的化简求值关键是由 Sn 变形，得出一般规律，寻找抵消规律17若实数 a 满足|a
19、 8|+ =a，则 a= 74 考点： 二次根式有意义的条件菁优网版权所有专题： 压轴题分析： 由 可得 a10，再对式子进行化简，从而求出 a 的值解答： 解：根据题意得：a100，解得 a10，原等式可化为：a8+ =a，即 =8，a10=64，解得：a=74点评： 二次根式中被开方数为非负数，是解此题的突破口18 （2004宁波）已知： a0，化简 = 2 考点： 二次根式的性质与化简菁优网版权所有专题： 压轴题分析： 根据二次根式的性质化简解答：解： 原式 = = 又 二次根式内的数为非负数a =0a=1 或 1a0a=1原式 =02=2点评： 解决本题的关键是根据二次根式内的数为非负
20、数得到 a 的值19 （2003常德）化简： +2x x2 = 2x 考点： 二次根式的加减法菁优网版权所有专题： 压轴题分析： 利用开平方的定义计算解答：解：原式= +2x x2=2x +x 5x=2x 点评： 应先化成最简二次根式，再进行运算，只有同类二次根式，才能合并20 （2002黄冈）若 ，则代数式 的值等于 考点： 二次根式的化简求值菁优网版权所有专题： 压轴题分析： 先将各式因式分解，然后再约分、代值解答：解：原式= ，当 时，原式= = 故填空答案： 点评： 本题考查了分式的计算和化简解决这类题目关键是把握好通分与约分分式加减的本质是通分，乘除的本质是约分同时注意在进行运算前要
21、尽量保证每个分式最简三解答题（共 1 小题）21 （2008凉山州）阅读材料，解答下列问题例：当 a0 时，如 a=6 则|a|=|6|=6 ，故此时 a 的绝对值是它本身；当 a=0 时，|a|=0，故此时 a 的绝对值是零；当 a0 时，如 a=6 则|a|=|6|=（ 6） ，故此时 a 的绝对值是它的相反数综合起来一个数的绝对值要分三种情况，即 ，这种分析方法渗透了数学的分类讨论思想问：（1）请仿照例中的分类讨论的方法，分析二次根式 的各种展开的情况；（2）猜想 与|a|的大小关系考点： 二次根式的性质与化简菁优网版权所有专题： 压轴题；阅读型分析： 应用二次根式的化简，首先应注意被开方数的范围，再进行化简解答：解：（1）由题意可得 = ；（2）由（1）可得： =|a|点评： 本题主要考查二次根式的化简方法与运用：当 a0 时， =a； 当 a0 时， =a； 当 a=0 时，=0
