1、高等数学教案 10 曲线积分与曲面积分内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室第十章 曲线积分与曲面积分教学目的：1. 理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。2. 掌握计算两类曲线积分的方法。3. 熟练掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原函数。4. 了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法，了解高斯公式、斯托克斯公式，会用高斯公式计算曲面积分。5. 知道散度与旋度的概念，并会计算。6 会用曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量。教学重点:1、两类曲线积分的计算方法；2、格林公式及其应用；3、两类曲面
2、积分的计算方法；4、高斯公式、斯托克斯公式；5、两类曲线积分与两类曲面积分的应用。教学难点：1、两类曲线积分的关系及两类曲面积分的关系；2、对坐标的曲线积分与对坐标的曲面积分的计算；3、应用格林公式计算对坐标的曲线积分；4、应用高斯公式计算对坐标的曲面积分；5、应用斯托克斯公式计算对坐标的曲线积分。10.1 对弧长的曲线积分一、 对弧长的曲线积分的概念与性质曲线形构件的质量 设一曲线形构件所占的位置在 xOy 面内的一段曲线弧 L 上 已知曲线形构件在点(x y)处的线密度为 (x y) 求曲线形构件的质量 把曲线分成 n 小段 s1 s2 sn(si 也表示弧长) 任取( i i)si 得第
3、 i 小段质量的近似值 (i i)si高等数学教案 10 曲线积分与曲面积分内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室整个物质曲线的质量近似为 iinisM),(1令 maxs1 s2 sn0 则整个物质曲线的质量为 iini),(lm0这种和的极限在研究其它问题时也会遇到 定义 设 L 为 xOy 面内的一条光滑曲线弧 函数 f(x y)在 L 上有界 在 L 上任意插入一点列 M1 M2 Mn1 把 L 分在 n 个小段. 设第 i 个小段的长度为s i 又( i i)为第 i 个小段上任意取定的一点 作乘积 f(i i)si (i1 2 n ) 并作和 如果当iinisf,1各小弧段的长
4、度的最大值 0 这和的极限总存在 则称此极限为函数 f(x y)在曲线弧 L上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分 记作 即dsfL, iiniLsfdsyxf ),(lm),(10其中 f(x y)叫做被积函数 L 叫做积分弧段 设函数 f(x y)定义在可求长度的曲线 L 上 并且有界 将 L 任意分成 n 个弧段 s 1 s2 sn 并用s i 表示第 i 段的弧长 在每一弧段 si 上任取一点( i i) 作和 iiif),(令 maxs1 s2 sn 如果当 0 时 这和的极限总存在 则称此极限为函数f(x y)在曲线弧 L 上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分 记作 即dsyxfL),(
5、 iiniLfdsyxf ,lm),(10其中 f(x y)叫做被积函数 L 叫做积分弧段 曲线积分的存在性 当 f(x y)在光滑曲线弧 L 上连续时 对弧长的曲线积分是存在的 以后我们总假定 f(x y)在 L 上是连续的 dsfL,高等数学教案 10 曲线积分与曲面积分内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室根据对弧长的曲线积分的定义曲线形构件的质量就是曲线积分 的值 其dsyxL),(中 (x y)为线密度 对弧长的曲线积分的推广 iinisfdszyxf ),(lm),(10如果 L(或 )是分段光滑的 则规定函数在 L(或)上的曲线积分等于函数在光滑的各段上的曲线积分的和 例如设
6、 L 可分成两段光滑曲线弧 L1 及 L2 则规定 dsyxfdsyxfsyxf ,),(, 2121 闭曲线积分 如果 L 是闭曲线 那么函数 f(x y)在闭曲线 L 上对弧长的曲线积分记作 sf),(对弧长的曲线积分的性质 性质 1 设 c1、c 2 为常数 则 dsyxgcdsyxfcdsyxgf LLL ),(),(),(),( 21 性质 2 若积分弧段 L 可分成两段光滑曲线弧 L1 和 L2 则 ffsyxf ),(),(),(21性质 3 设在 L 上 f(x y)g(x y) 则 dssf,特别地 有LLsyxfsyxf|),(|),(|二、对弧长的曲线积分的计算法根据对弧
7、长的曲线积分的定义 如果曲线形构件 L 的线密度为 f(x y) 则曲线形构件L 的质量为 dsyxf),(另一方面 若曲线 L 的参数方程为x(t) y (t) (t)则质量元素为 dtttfdsyxf )()( ,),( 2高等数学教案 10 曲线积分与曲面积分内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室曲线的质量为 dtttf )()( ,2即 tfdsyxL )( ,2定理 设 f(x y)在曲线弧 L 上有定义且连续 L 的参数方程为x(t) y(t) (t) 其中 (t)、 (t)在 上具有一阶连续导数 且 2(t)2(t)0 则曲线积分存在 且dsfL,(0 是比例常数 于是 BA
8、BAydxkydkxW 202)cosinsico(tbta (i)22aktdbk三、两类曲线积分之间的联系由定义 得LL dsQPdyx)incos( LrFi,其中 FP Q Tcos sin为有向曲线弧 L 上点( x y)处单位切向量 drTds dx dy 类似地有高等数学教案 10 曲线积分与曲面积分内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 dsRQPRdzQyPx )cosco( rFd,s,其中 FP Q R Tcos cos cos为有向曲线弧 上点(x y z)处单们切向量 drTds dx dy dz 103 格林公式及其应用一、格林公式单连通与复连通区域 设 D 为
9、平面区域 如果 D 内任一闭曲线所围的部分都属于 D 则称 D 为平面单连通区域 否则称为复连通区域 对平面区域 D 的边界曲线 L 我们规定 L 的正向如下 当观察者沿 L 的这个方向行走时 D 内在他近处的那一部分总在他的左边 区域 D 的边界曲线 的方向 定理 1 设闭区域 D 由分段光滑的曲线 围成 函数 P(x y)及 Q(x y)在 D 上具有一阶连续偏导数 则有 LQdyPxdyxQ)(其中 L 是 D 的取正向的边界曲线 简要证明 仅就 D 即是 X 型的又是 Y 型的区域情形进行证明 设 D(x y)|1(x)y2(x) axb 因为 连续 所以由二重积分的计算法有yP dx
10、PxddPbaxba )(,)(,), 12)(1 另一方面 由对坐标的曲线积分的性质及计算法有abbaLL xxPx )(,)(,2121 dxba,)(,21因此 高等数学教案 10 曲线积分与曲面积分内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 LDPdxy设 D(x y)|1(y)x2(y) cyd 类似地可证 LQd由于 D 即是 X 型的又是 Y 型的 所以以上两式同时成立 两式合并即得 LdyPxdyx应注意的问题 对复连通区域 D 格林公式右端应包括沿区域 D 的全部边界的曲线积分 且边界的方向对区域 D 来说都是正向 设区域 D 的边界曲线为 L 取 Py Qx 则由格林公式得
11、 或 dxydx2LDydxdA21例 1 椭圆 xa cos yb sin 所围成图形的面积 A 分析 只要 就有 1PQdxyyPxDD)(解 设 D 是由椭圆 x=acos y=bsin 所围成的区域 令 则 yP2112于是由格林公式 LLDxdyxdydxyA21ab 20)cossin(1ab201ab例 2 设 L 是任意一条分段光滑的闭曲线 证明 dyx02高等数学教案 10 曲线积分与曲面积分内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室证 令 P2xy Qx2 则 02xyP因此 由格林公式有 (为什么二重积分前有“”号？ )2ddDL例 3 计算 其中 D 是以 O(0 0)
12、 A(1 1) B(0 1)为顶点的三角形闭区域 Dyxe2分析 要使 只需 P0 2yxQ2yxeQ解 令 P0 则 因此 由格林公式有2ye2yx BOAyDyddx22 )1(2102 edxeAy例 4 计算 其中 L 为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线 Lyx2L 的方向为逆时针方向 解 令 则当 x2y20 时 有 2yxP2yxQyPxQ2)(记 L 所围成的闭区域为 D 当(0 0) D 时 由格林公式得 02Ldy当(0 0)D 时 在 D 内取一圆周 l x2y2r 2(r0) 由 L 及 l 围成了一个复连通区域 D 1 应用格林公式得 022lLyxdyxd
13、其中 l 的方向取逆时针方向 于是 2lLyxdyxd2202sincodr高等数学教案 10 曲线积分与曲面积分内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室解 记 L 所围成的闭区域为 D 当(0 0) D 时 由格林公式得 0)(2dxyPQyxdL当(0 0)D 时 在 D 内取一圆周 l x2y2r2(r0) 由 L 及 l 围成了一个复连通区域 D1 应用格林公式得 0)(12dyPxyxdlL即 lL22其中 l 的方向取顺时针方向 于是 2lLyxdyxd2202sincodr分析 这里 当 x2y20 时 有 2PQyPxQ2)(二、平面上曲线积分与路径无关的条件曲线积分与路径无
14、关 设 G 是一个开区域 P(x y)、Q (x y)在区域 G 内具有一阶连续偏导数 如果对于 G 内任意指定的两个点 A、B 以及 G 内从点 A 到点 B 的任意两条曲线 L 1、L 2 等式21LLdd恒成立 就说曲线积分 在 G 内与路径无关 否则说与路径有关 yx设曲线积分 在 G 内与路径无关 L 1 和 L 2 是 G 内任意两条从点 A 到点 BLQP的曲线 则有 21 dyxdyx因为高等数学教案 10 曲线积分与曲面积分内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室21LLQdyPxdyx 021 LLQdyPxdyx 021 )(21所以有以下结论 曲线积分 在 G 内与路
15、径无关相当于沿 G 内任意LdyPx闭曲线 C 的曲线积分 等于零 Q定理 2 设开区域 G 是一个单连通域 函数 P(x y)及 Q(x y)在 G 内具有一阶连续偏导数 则曲线积分 在 G 内与路径无关（或沿 G 内任意闭曲线的曲线积分为零）LdyPx的充分必要条件是等式xQy在 G 内恒成立 充分性易证 若 则 由格林公式 对任意闭曲线 L xyP0yP有 DLdxQd必要性 假设存在一点 M0G 使 不妨设 0 0yPx则由 的连续性 存在 M0 的一个 邻域 U(M0, ) yPxQ使在此邻域内有 于是沿邻域 U(M0, )边界 l 的闭曲线积分2 2)(),0 MUl dxyPQd
16、yPx高等数学教案 10 曲线积分与曲面积分内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室这与闭曲线积分为零相矛盾 因此在 G 内 0yPxQ应注意的问题 定理要求 区域 G 是单连通区域 且函数 P(x y)及 Q(x y)在 G 内具有一阶连续偏导数 如果这两个条件之一不能满足 那么定理的结论不能保证成立 破坏函数 P、Q 及 、 连续性的点称为奇点 yx例 5 计算 其中 L 为抛物线 yx2 上从 O(0 0)到 B(1 1)的一段弧 Ldx2解 因为 在整个 xOy 面内都成立 y所以在整个 xOy 面内 积分 与路径无关 Ldyx2ABOAL yxydxy 22 10讨论 设 L 为一
17、条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线 L 的方向为逆时针方向 问 是否一定成立？2yxd提示 这里 和 在点(0 0) 不连续 2yxP2yxQ因为当 x2y20 时 所以如果(0 0)不在 L 所围成的区域内 则结论P2)(成立 而当(0 0)在 L 所围成的区域内时 结论未必成立 三、二元函数的全微分求积曲线积分在 G 内与路径无关 表明曲线积分的值只与起点从点( x0 y0)与终点(x y)有关 高等数学教案 10 曲线积分与曲面积分内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室如果 与路径无关 则把它记为LQdyPx),(0yxQdP即 ),(0yxQdP若起点(x 0 y0)为 G
18、 内的一定点 终点(x y)为 G 内的动点 则u(x y) ),(0d为 G 内的的函数 二元函数 u(x y)的全微分为 du(x y)ux(x y)dxuy(x y)dy 表达式 P(x y)dx+Q(x y)dy 与函数的全微分有相同的结构 但它未必就是某个函数的全微分 那么在什么条件下表达式 P(x y)dx+Q(x y)dy 是某个二元函数 u(x y)的全微分呢？当这样的二元函数存在时怎样求出这个二元函数呢？定理 3 设开区域 G 是一个单连通域 函数 P(x y)及 Q(x y)在 G 内具有一阶连续偏导数 则 P(x y)dxQ(x y)dy 在 G 内为某一函数 u(x y
19、)的全微分的充分必要条件是等式在 G 内恒成立 简要证明 必要性 假设存在某一函数 u(x y) 使得duP(x y)dxQ(x y)dy 则有 2xyuxQ2)(因为 、 连续 所以yxu22 即 y2xQP充分性 因为在 G 内 所以积分xyLdyxQyP),(),(高等数学教案 10 曲线积分与曲面积分内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室在 G 内与路径无关 在 G 内从点(x 0 y0)到点( x y)的曲线积分可表示为 考虑函数 u(x y) ),(0,dQP因为 u(x y) ,)(0)( xydQ00 ,所以 ),(),()(00 yxPdxxy 类似地有 从而 du P(
20、x y)dxQ(x y)dy 即 P(x y)dxQ(x y)dy 是某一函,u数的全微分 求原函数的公式 ),(0),(,yxdyxu yxQP00 xy00 ),(),(),(例 6 验证 在右半平面( x0)内是某个函数的全微分 并求出一个这样的函2xd数 解 这里 2yxP2yxQ因为 P、Q 在右半平面内具有一阶连续偏导数 且有 yx2)(所以在右半平面内 是某个函数的全微分 2d取积分路线为从 A(1 0)到 B(x 0)再到 C(x y)的折线 则所求函数为 ),(0 12,yxdud02xarctn高等数学教案 10 曲线积分与曲面积分内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室
21、问 为什么(x 0 y0)不取(0 0)? 例 6 验证 在整个 xOy 面内 xy2dxx2ydy 是某个函数的全微分 并求出一个这样的函数 解 这里 Pxy2 Qx2y 因为 P、Q 在整个 xOy 面内具有一阶连续偏导数 且有 yx所以在整个 xOy 面内 xy 2dxx2ydy 是某个函数的全微分 取积分路线为从 O(0 0)到 A(x 0)再到 B(x y)的折线 则所求函数为 ),(0 ,ydxu 2002yxdy思考与练习 1在单连通区域 G 内 如果 P(x y)和 Q(x y)具有一阶连续偏导数 且恒有 yPxQ那么(1)在 G 内的曲线积分 是否与路径无关?Ldyxy),(
22、),(2)在 G 内的闭曲线积分 是否为零? P(3) 在 G 内 P(x y)dxQ(x y)dy 是否是某一函数 u(x y)的全微分 ? 2在区域 G 内除 M0 点外 如果 P(x y)和 Q(x y)具有一阶连续偏导数 且恒有 G1 是 G 内不含 M0 的单连通区域 那么yx(1)在 G 1 内的曲线积分 是否与路径无关?Ldyxy),(),(2)在 G 1 内的闭曲线积分 是否为零?QP(3) 在 G 1 内 P(x y)dxQ(x y)dy 是否是某一函数 u(x y)的全微分 ? 3 在单连通区域 G 内 如果 P(x y)和 Q(x y)具有一阶连续偏导数 但 非常简单 那
23、么xy高等数学教案 10 曲线积分与曲面积分内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室(1)如何计算 G 内的闭曲线积分 ? (2)如何计算 G 内的非闭曲线积分 ? (3)计算 其中 L 为逆时针方向的dyedxyexL)2cos()2sin(上半圆周(x a)2y2a 2 y0 10 4 对面积的曲面积分一、对面积的曲面积分的概念与性质物质曲面的质量问题 设 为面密度非均匀的物质曲面 其面密度为 (x y z) 求其质量 把曲面分成 n 个小块 S 1 S2 Sn (Si 也代表曲面的面积)求质量的近似值 (i i i )是S i 上任意一点 ) iii),(取极限求精确值 ( 为各小块曲
24、面直径的最大值) iiniM,(lm10定义 设曲面 是光滑的 函数 f(x y z)在 上有界 把 任意分成 n 小块 S1 S2 Sn (Si 也代表曲面的面积) 在S i 上任取一点( i i i ) 如果当各小块曲面的直径的最大值 0 时 极限 总存在 则称此极限为函数 f(x y z)在曲面上iinif),l10对面积的曲面积分或第一类曲面积分 记作 即dSzyxf),(iinifdSzyxf ),(lm),(10其中 f(x y z)叫做被积函数 叫做积分曲面 对面积的曲面积分的存在性 我们指出当f(x y z)在光滑曲面上连续时对面积的曲面积分是存在的 今后总假定f(x y z)
25、在上连续 根据上述定义面密度为连续函数 (x y z)的光滑曲面 的质量M可表示为 (x y z)在上对面积的曲面积分 高等数学教案 10 曲线积分与曲面积分内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室dSzyxfM),(如果 是分片光滑的我们规定函数在 上对面积的曲面积分等于函数在光滑的各片曲面上对面积的曲面积分之和 例如设 可分成两片光滑曲面 1 及 2(记作 12)就规定 2121 ),(),(),( dSzyxfdSzyxfdSzyxf对面积的曲面积分的性质 (1)设 c 1、c 2 为常数 则 dSzyxgcdSzyxfcdSzyxgzyxf ),(),(),(),( 21 (2)若曲
26、面 可分成两片光滑曲面 1 及 2 则 zyxfzyxfdSzyxf ),(),(),( 21(3)设在曲面 上 f(x y z)g(x y z) 则 dSf,),(4) 其中 A 为曲面的面积dS二、对面积的曲面积分的计算面密度为 f(x y z)的物质曲面的质量为 dSzyxfSMiini ),(,lm10另一方面 如果 由方程 zz(x y)给出 在 xOy 面上的投影区域为 D 那么曲面的面积元素为 xydA),(,12质量元素为 dxyzzfyxzf ),(1),( 2根据元素法 曲面的质量为 DyxxzzfM),(),(),(2高等数学教案 10 曲线积分与曲面积分内蒙古财经大学统
27、计与数学学院公共数学教研室因此 DyxdxzyzxfdSzyxf ),(),(1),(),( 2化曲面积分为二重积分 设曲面 由方程 zz(x y)给出 在 xOy 面上的投影区域为Dxy 函数 zz(x y)在 Dxy 上具有连续偏导数 被积函数 f(x y z)在 上连续 则 xy dzfdSf ,1),(, 2如果积分曲面 的方程为 yy(z x) Dzx 为在 zOx 面上的投影区域 则函数 f(x y z)在 上对面积的曲面积分为 zxDxzdzyfdSyxf ),(,1),(,),( 2如果积分曲面 的方程为 xx(y z) Dyz 为在 yOz 面上的投影区域 则函数 f(x y
28、 z)在 上对面积的曲面积分为dyzxzyfdSzyxfyz ),(,1,)(),( 2例 1 计算曲面积分 其中 是球面 x2y2z2a2 被平面1zh(0ha)截出的顶部 解 的方程为 Dxy x2y2a2h2 2yxaz因为 2zx 2 dxyadxyzdS21所以 xyDaz2 202hrd202)ln(1haraaln高等数学教案 10 曲线积分与曲面积分内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室提示 22221yxayxayxzyx 例 2 计算 其中 是由平面 x0 y0 z0 及 xyz1 所围成的四面体的整dS个边界曲面 解 整个边界曲面 在平面 x0、y 0、z0 及 xy
29、z1 上的部分依次记为 1、 2、 3及 4 于是 4321 dSdSzxydS40xyxyDxy)1( 10)(3dd036d120提示 4 z1xy xyzdS210 5 对坐标的曲面积分一、对坐标的曲面积分的概念与性质有向曲面 通常我们遇到的曲面都是双侧的 例如由方程 zz(x y) 表示的曲面分为上侧与下侧 设 n(cos cos cos)为曲面上的法向量 在曲面的上侧 cos0 在曲面的下侧 cos0 闭曲面有内侧与外侧之分 类似地 如果曲面的方程为 yy(z x)则曲面分为左侧与右侧 在曲面的右侧 cos0 在曲面的左侧 cos0 如果曲面的方程为 xx(y z) 则曲面分为前侧与
30、后侧 在曲面的前侧 cos 0 在曲面的后侧 cos0设 是有向曲面 在 上取一小块曲面S 把 S 投影到 xOy 面上得一投影区域 这投影区域的面积记为( )xy假定 S 上各点处的法向量与 z 轴的夹角 的余弦 cos 有相同的符号(即 cos 都是正的或都是负的) 我们规定S 在 xOy 面上的投影(S) xy 为高等数学教案 10 曲线积分与曲面积分内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 0cos 0)( )(xyxyS其中 cos0 也就是 ()xy0 的情形 类似地可以定义S 在 yOz 面及在 zOx 面上的投影(S)yz 及( S)zx 流向曲面一侧的流量 设稳定流动的不可
31、压缩流体的速度场由v(x y z)(P(x y z) Q(x y z) R(x y z)给出 是速度场中的一片有向曲面 函数 P(x y z)、Q(x y z)、R(x y z)都在 上连续 求在单位时间内流向 指定侧的流体的质量 即流量 如果流体流过平面上面积为 A 的一个闭区域 且流体在这闭区域上各点处的流速为(常向量) v 又设 n 为该平面的单位法向量 那么在单位时间内流过这闭区域的流体组成一个底面积为 A、斜高为|v |的斜柱体 当(v n) 时 这斜柱体的体积为2A|v|cosA vn当(v n) 时 显然流体通过闭区域 A 的流向 n 所指一侧的流量 为零 而 Avn0, 故 A
32、vn当(v n) 时 Avn0 这时我们仍把 Avn 称为流体通过闭区域 A 流向 n 所指一侧2的流量 它表示流体通过闭区域 A 实际上流向n 所指一侧 且流向n 所指一侧的流量为Avn 因此 不论(v n)为何值 流体通过闭区域 A 流向 n 所指一侧的流量均为 Avn 把曲面 分成 n 小块 S1 S2 Sn(Si 同时也代表第 i 小块曲面的面积) 在 是光滑的和 v 是连续的前提下 只要 Si 的直径很小 我们就可以用S i 上任一点( i, i, i )处的流速viv(i, i, i )P(i, i, i )iQ(i, i, i )jR(i, i, i )k代替S i 上其它各点处
33、的流速 以该点( i, i, i )处曲面 的单位法向量nicosi icosi j cosi k代替S i 上其它各点处的单位法向量 从而得到通过S i 流向指定侧的流量的近似值为viniS i (i1, 2, ,n) 于是 通过 流向指定侧的流量高等数学教案 10 曲线积分与曲面积分内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室iinSv1 iiiiiiiiini SRQP cos),(cos),(cos),(1 但 cosiSi(Si)yz cosiSi(Si)zx cosiSi(Si)xy 因此上式可以写成 )(,)(,)(,1 xyiizxiiyziini SRP令 0 取上述和的极限
34、就得到流量的精确值 这样的极限还会在其它问题中遇到 抽去它们的具体意义 就得出下列对坐标的曲面积分的概念 提示 把S i 看成是一小块平面 其法线向量为 ni 则通过 Si 流向指定侧的流量近似地等于一个斜柱体的体积 此斜柱体的斜高为|v i| 高为 |vi|cos(vini)vini 体积为 viniSi 因为 nicosi icosi j cosi kviv(i, i, i )P(i, i, i )iQ(i, i, i )jR(i, i, i )kviniSiP(i, i, i)cosiQ(i, i, i)cosiR(i, i, i)cosiSi 而 cosiSi(Si)yz cosiSi
35、(Si)zx cosiSi(Si)xy 所以 viniSiP(i, i, i)(Si)yzQ(i, i, i)(Si)zxR(i, i, i)(Si)xy 对于 上的一个小块 显然在t 时间内流过 的是一个弯曲的柱体 它的体积近似于以 为底 而高为 (|V|t)cos(Vn)Vn t的柱体的体积 VntS 这里 n(cos cos cos)是 上的单位法向量 S 表示 的面积 所以单位时间内流向 指定侧的流体的质量近似于VnS(P(x y z)cosQ(x y z)cos R(x y z)cos )S 如果把曲面 分成 n 小块 i(i1 2 n) 单位时间内流向 指定侧的流体的质量近似于 S
36、zyxzyxzyx iiiiiii cos),(cos),(cos),(1 按对面积的曲面积分的定义 高等数学教案 10 曲线积分与曲面积分内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 dSzyxRzyxQzyxP nVcos),(cos),(cos),( 舍去流体这个具体的物理内容 我们就抽象出如下对坐标的曲面积分的概念 定义 设 为光滑的有向曲面 函数 R(x y z)在 上有界 把 任意分成 n 块小曲面Si(Si 同时也代表第 i 小块曲面的面积 ) 在 xOy 面上的投影为 (Si)xy (i, i, i )是 Si 上任意取定的一点 如果当各小块曲面的直径的最大值 0 时 xyiin
37、iSR)(,lm10总存在 则称此极限为函数 R(x y z)在有向曲面 上对坐标 x、y 的曲面积分: 记作dxyz),(即 xyiiniS)(,l,10类似地有 yziiniSPdyzxP)(,lm),(10 zxiiniQQ)(,l),(10其中 R(x y z)叫做被积函数 叫做积分曲面 定义 设 是空间内一个光滑的曲面 n(cos cos cos)是其上的单位法向量 V(x y z)(P(x y z) Q(x y z) R(x y z)是确在 上的向量场 如果下列各式右端的积分存在 我们定义 dSPdcos), zyxzyx()( RRcs),并称 为 P 在曲面 上对坐标 y、z
38、的曲面积分 为 Q 在dyzx)( dzxy),(高等数学教案 10 曲线积分与曲面积分内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室曲面 上对坐标 z、x 的曲面积分 为 R 在曲面 上对坐标 y、z 的曲面dxyz),(积分 其中 P、Q、R 叫做被积函数 叫做积分曲面 以上三个曲面积分也称为第二类曲面积分 对坐标的曲面积分的存在性 对坐标的曲面积分的简记形式 在应用上出现较多的是 dxyzRdzxyQdyzxP),(),(),( zzz),(),(),(流向 指定侧的流量 可表示为 dxyzRdzxyQdzyxP),(),(),(一个规定 如果 是分片光滑的有向曲面 我们规定函数在 上对坐标
39、的曲面积分等于函数在各片光滑曲面上对坐标的曲面积分之和 对坐标的曲面积分的性质 对坐标的曲面积分具有与对坐标的曲线积分类似的一些性质 例如(1)如果把 分成 1 和 2 则RdxyQzPdy RdxyQzPd21(2)设 是有向曲面 表示与 取相反侧的有向曲面 则 xyzyRdxQzPdy这是因为如果n(cos cos cos)是的单位法向量 则上的单位法向量是n ( cos cos cos) dxyzdydSzyxRzQxPcos),(cos),(cos),( 高等数学教案 10 曲线积分与曲面积分内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室RdxyQzPdy二、对坐标的曲面积分的计算法将曲面积分化为二重积分 设积分曲面 由方程 zz(x y)给出的 在 xOy 面上的投影区域为 Dxy 函数 zz(x y)在 Dxy 上具有一阶连续偏导数 被积函数 R(x y z)在 上连续 则有 xydzRdR),(),(其中当 取上侧时 积分前取 “” 当 取下侧时 积分前取“” 这是因为 按对坐标的曲面积分的定义 有 dxyzR),(ni xyiiSR10)(,lm当 取上侧时 cos 0 所以( Si
