1、1第一章 数与计算第一单元 同余问题1 知识前提。（1） 整除：如果整数 a 除以自然数 b,所得的商恰好是整数而没有余数(余数是 0),我们就称 a 能被 b 整除或 b 能整除a。（2） 乘方的意义：求 n 个相同因数的乘积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。n 个相同因数 a 相乘，即，记做 。其中 a 叫做底，n 叫做指数， 读做 a 的 n 次方。na个 n（3） 幂的运算法则： 同底数的幂相乘，底数不变，指数相加。即。mn 幂的乘方，底数不变，指数相乘。即。na 积的乘方，等于把积的每一个因数分别乘方，再把所得的幂相乘。即。nnb2 同余如果两个整数的 a、b 除以同一个自然数 m
2、 所得的余数相同，那么就说 a、b 对于 m 是同余的，记为 a=h（modm） 。我们把 m 称为模。如果 a、b 对于 m 是同余的，那么 a 与 b 的差能被 m 整除；反之，如果 a 与 b 的差能被 M 整除，那么 a、b 对于 m 是同余的。3 规律、方法应用。（1） 反身性规律：a 和 a 对于 m 同余。（2） 对称性规律：a 和 b 对于 m 同余，那么 b 和 a 对于 m 同余。（3） 传递性规律：如果 a 和 b 对于 m 同余，b 和 c 对于 m 同余，那么 a 和 c 对于 m 同余。（4） 同余的加减法、乘法规律：如果 a 和 b 对于 m 同余，c 和 d 对
3、于 m 同余，那么 ac，和 bd，ac 和bd，ac 和 bd 对于 m 同余。（5） 同余的乘方规律：如果 a 和 b 对于 m 同余，那么 和 也对于 m 同余。nab（6） 同余的连加规律： 和 对于 m 同余， 和 对于 m 同余， 和 对于 m 同余 和 对于 m 同余，123nab那么 和 也对于 m 同余。123na 23n例 1 有一个不等于 1 的整数，它除 300，262，205 得到的余数相同，这个整数是多少？拓展一 如果某数除 492,2241,3195 都余 15,那么这个数是几?拓展二 自然数 16520,14903,14177 除以 m 的余数相同, m 的最大
4、值是多少?拓展三 若 2836,4582,5164,6522 这 4 个数被同一个数相除,所得的余数相同且为两位数,则除数和余数的和为多少?例 2求 除以 7 的余数。0359拓展一 求 除以 13 的余数。182拓展二 求 除以 11 的余数。413289762拓展三 求 的结果除以 3 的余数。123456789拓展四 把 1 至 2002 这 2002 个自然数依次写下来，得到一个 试求 A 除以 9 的余数。124012A例 3 被 7 除的余数是多少？0拓展一 除以 13 的余数是多少？12拓展二 今天是星期日，过 天是星期几？192拓展三 求 的末两位数是多少？35拓展四（1）20
5、05 年全年有几个星期日？全年有几个月有五个星期日？（2005 年 1 月 1 日是星期六） （2）2008 年全年有几个星期日？全年有几个月有五个星期日？（2008 年 1 月 1 日是星期二）检测1已知 69,90,125 被 除余数相同，求 81 被 N 除的余数是（ ） 1991 和 1769 除以某一个自然数 n,余数分别为 2 和 1,n 的最小值是( )23 13 17 183 除以 13 的余数是（ ）673812 11 9 74 除以 3 所得的余数是（ ）11 2 0 35 今天是星期二，再过 天是星期（ ）209三 四 五 六6 的个位数字是（ ）1983 2 4 67
6、的个位数字是（ ）19751023 1 9 68 的个位数字是（ ）5052343 1 9 59 在小于 2002 的自然数中，被 18 及 33 除以余数相同的数有（ ）个。17 198 34 5110一个三位数，它的 29 倍加上 5 能被 2002 整除，这个三们数是（ ） 。345 121 150 26711一个整数乘以 13 后，积的最后三位数是 123，这样的整数最小是（ ） 。157 253 942 47112用 1，9，8，8 这四个数能排出（ ）个被 11 除余 8 的四位数。3 4 5 613 的积被 7 除的余数是（ ） 。721 2 3 5二解答题。314试证明： 能被
7、 10 整除。1121315求乘积 除以 13 所得的余数。34716今天是星期五，再过 天是星期几？364517求 除以 39 所得的余数。1234918求 的个位数字。1919 除以 13 余几？1345220试证明： 是 5 的倍数。9012170 个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的三倍恰好等于它两边两个数的和。这一行最左边的几个数是这样的：0，1，3，8，21，问最右边的一个数被 6 除余几？222002 年全年有几个星期日？全年有几个月有 5 个星期日？（2002 年 1 月 1 日是星期二）23某年的 10 月有五个星期六，4 个星期日，这年的 10 月 1 日是星期几？
8、24甲、乙两人轮流报数，必须报不大于 2 的自然数（零除外） ，把两人报出的数依次加起来，谁报数后加起来的数是 20，谁就获胜，如甲要取胜，是先报还是后报？以后怎样报？25 设 A 是一个有 35 位循环节的循环小数 ，把 A 的所有奇数位画去，得到一个新的无限小数：12350.Aa再把 的所有奇数位画去，得到一个新的无限小数： 如此继续下去，能否124680.a 1 2480.na仍得到原来的循环小数？第二单元 分数的大小比较比较分数的大小，需要仔细观察每个分数的特点，根据不同的特点采用不同的方法进行比较。如果两个分数的分母相同，分子大的分数比较大；如果两个分数的分子相同，分母大的分数反而小
9、。如果分数的分子分母都不相同，需要经过转化，利用分数的基本性质，把它们转化成分子或分母相同的分数，再进行比较。有时需要找到另外的途径进行比较，具体的方法有：1 相减法。把两个分数相减，如果差大于零，减数就小。2 相除法。把两个分数相除，若商是真分数，则被除数小于除数。3 交叉相乘法。分数 和 ，如果 ，那么 。abcdabcacd4 倒数法。利用几个分数的倒数比较，倒数大的分数反而小。5 转化法。可以把分数转化成小数进行比较。6 中间数比较法。依据数据的特点，借助某一有规律的中间数，进行比较。此类比较，需要将已知的数或算式作适当的变形。解题时，要认真分析，要学会多角度、多侧面思考问题，灵活运用
10、解题方法。例 1 比较 、 、 、 这四个分数的大小。94125037拓展一 将下列的分数由小到大的排列起来。， ， ，074拓展二 ， 。试比较 A 和 B 的大小。2198A221987987B拓展三 将下列分数由小到大排成一列不等式。， ， ， ，3507拓展四 将下列分数由小到大排成一列不等式。、 、 、1074932例 2 比较 ， ， 三个分数的大小。5687拓展一 比较 和 的大小。613拓展二 比较 和 的大小。194325拓展三 将下列分数由小到大排成一列不等式。， ， ，78106例 3 ，试比较 A 与 0.003 谁大谁小。659A拓展一 如果 ，试比较 A 与 的大小
11、。35792410 10拓展二 用 A 表示下面的积： ，问：A 与 0.01 相比,谁大谁小?9682拓展三 比较 与 0.001 的大小.18324检测1 在中填入“”或“” 。（1） （2） （3） 680794357401253467589（4） （5） （6） 231（7） （8） （9） 6129342846（10） （11） 197302. 比较 和 的大小。53643. 把 、 、 和 按从小到大的顺序排列。24814. 在 ， ， ， ， 五个分数中，最大的分数是谁？19037525. 把下面的分数按从小到大的顺序排列。、 、 、 、 。2348146. 比较 和 的大小。0
12、238757. 把 、 、 、 按从小到大的顺序排列。987659878. 下面四个算式谁最大。（1） （2）207913049（3） （3）4579. 下面两个算式谁大谁小？；199254519264510. 把下面五个分数从大到小排列。、 、 、 、 。0708311. 在 、 、 、 、 中，哪个分数最大？1259321412. 比较 、 的大小。0613. 和， 谁大谁小？41914. 按下面各式值的大小，把 A、 B、 C、 D、 E 从小到大的顺序排列。100A1B1C00D1E15. 满足下面式子的 最小是多少？n1234()n 94816. 试比较 和 的大小。117. 如果
13、，那么中应填哪个自然数？2970A18. 已知： ， ，131234B12345C将 A、 B、 C 三个数从小到大排列。619. 在下式中的内填入 7 个互不相等且小于 20 的自然数，使等式成立。11AA20. 下面给出 6 个分数算式：， ， ， ， ， ，其中哪一个计算结果最小？并求出它的值。37248389259031025第三单元 速算与巧算六年级所学习的简便计算主要是有关分数的巧算，除与整数、小数简便计算相同外，还有其独特的巧算方法。1 运算定律规律：加法的交换律、结合律，乘法的交换律、结合律和分配律，还有加、减法的运算性质、商不变的规律等。2 ()abcdab3 （1） 1()
14、nn（2） ()dd（3） 11()()nn（4） (1)21()(2)n（5）将 分拆成两个分数单位和的方法：先找出 A 的两个约数 和 ，然后分子、分母分别乘 ，再拆分，A ab()ab最后进行约分。 1()()()abab4. 等差数列求和法：（首项+末项）项数 和。25. 约分法简章：将写成分数形式的算式中的分子部分与分母部分同时除以它们的公有因数或公有因式，从而简化计算过程。例 1 计算 17298拓展一 计算 435拓展二 计算 5(7)()9拓展三 计算 16420拓展四 计算 87拓展五 计算 5757(2890)()616810例 2 计算 34拓展一 计算 198拓展二 计
15、算 2051543089拓展三 计算 .671例 3 计算 25拓展一 计算 1147036拓展二 计算 134980拓展三 计算 591712拓展四 计算 2 例 4 计算 123拓展一 计算 4567865432188拓展二 计算 291412拓展三 计算 900981拓展四 计算 37824345682345679计算下面各题：1. 1119867989891092. 545723. 332064. 1895. 178958419382196. .7. 03005.70.210.98. 249. 11234239 810. 23455179111. 30012. 2913. 864825
16、514. 1391319215. 0216. 784717. 1919319312 18. 324619. 5 25()()()3()()916916913920. 41.2853.7421. 283567024822.已知 ，(1)(1)6nn求 1479523. 1()()()()23423423424. 59136025. 121987()()()()9 26. 25)2346060 27. 减去它的 ，再减去余下的 ，再减去又余下的 ，依此类推，一直减到最后余下的 ，最后得多少？19812314198第二章 有关的分数应用题第一单元 单位“1”的妙用解答分数应用题，关键要通过分析数量关
17、系，弄清每一道题把什么看作单位“1” ，找出解题的数量关系式，再根据分数与除法的关系或一个数乘以分数的意义列式解答。知识、规律、方法在解答时，有的分数应用题常常会出现几个不同的单位“1” ，一般都要经过分析，转化成统一的单位“1” ，然后进行解答。9例 1甲、乙两数之和为 180，甲数的 等于乙数的 ，问甲、乙两数各是多少？1415拓展一 甲、乙两数相差 30，其中甲数的 与乙数的 相等，求这两个数的和是多少？30拓展二 上元水果店运来的苹果比橘子多 1 筐，其中苹果筐数的 与橘子筐数的 相同，上元水果店一共运来苹果3712和橘子多少筐？拓展三 学校有皮球和足球共 100 个，皮球个数的 比足
18、球个数的 多 16 个，学校有皮球和足球各多少个？310例 2某工厂的甲、乙、丙三个车间向灾区捐款，甲车间捐款数是另外两个车间捐款数的 ，3乙车间捐款数是另外两个车间捐款数的 ，已知丙车间捐款 180 元，这三个车间共捐5款多少元？拓展一 兄弟四人合修一条路，结果老大修了另外三人总数的一半，老二修了另外三人总数的 ，老三修了另外三13人总数的 ，老四修了 91 米，问这条路全长多少米？14拓展二 把一堆皮球分装在四个盒子中，其中 放入甲盒， 放入乙盒。放入丙盒的皮球是甲、乙两盒皮球总数的153，丁盒放入 10 个皮球，这堆皮球一共有多少个？3拓展三 有红黄两种颜色的小球共 140 个，拿出红球
19、的 ，再拿出 7 个黄球，剩下的红球和黄球正好一样多。原来4红球和黄球各有多少个？例 3把一批面粉分给三个工厂，甲厂先分得这批面粉的 ，乙厂分得余下的 ，最后丙厂2525分得 吨，这批面粉重多少吨？14.拓展一 某校四、五、六三个年级共有学生 618 人，其中五年级人数比四年级多 10%，六年级人数比五年级少10%，求各年级有学生多少人？拓展二 有甲、乙两个粮库，原来甲粮库存粮的吨数是乙粮库的 。如果从乙粮库调 6 吨粮食到甲粮库，甲粮库存7粮的吨数是乙粮库的 。原来甲、乙粮库各存粮多少吨？45拓展三 甲容器中装有一定数量的糖，乙容器中装有若干千克水，先从甲容器中取出 8 克糖放入乙容器中，搅
20、拌均匀后，又将乙容器中的糖水倒 30 千克到甲容器，搅拌均匀后，甲容器中糖水的质量分数为 40%，乙容器中糖水的质量分数为 20%，甲容器中应有糖多少克？检测、反馈、应用1某车间男工人数比女工人数多 ，女工人数比男工人数少（ ） 。352. 菜地里黄瓜获得丰收，收下全部的 时，装满了 4 筐还多 36 千克，收完其余部分时，又刚好装满 8 筐，共收黄瓜8（ ）千克。3. 食堂运来一批大米，第一天吃了全部的 ，第二天吃了余下的 ，第三天吃了余下的 ，这时还剩下 15 千克。251334食堂运来大米（ ）千克。 、104. 甲有若干本书，乙借走了一半加 3 本，剩下的书，丙借走了 加 2 本，再剩
21、下的书，丁借走了 加 1 本，最后甲134还有 2 本书。甲原来有（ ）本书。5. 小明从家到学校有两条一样长的路，一条是平路，另一条的一半是上坡路，一半是下坡路。小明上学时走两条路所用的时间一样，已知下坡的速度是平路的 倍，那么上坡的速度是平路速度的（ ）26. 有两堆棋子，A 堆有黑子 350 个和白子 500 个，B 堆有黑子 400 个和白子 100 个。为了使 A 堆中黑子占 50%，B堆中的黑子占 75%，要从 B 堆中拿到 A 堆黑子多少个？白子多少个？7. 甲、乙两个仓库，乙仓库原有存货 1200 吨。当甲仓库的货物运走 ，乙仓库的货物运走 以后，再从甲仓库取71513出剩下货
22、物的 10%放入乙仓库，这时，甲、乙两仓库的货物重量恰好相等。那么甲仓库原有存货多少吨？8. 同学们乘汽车外出春游。开始上第一辆汽车的同学比上第二辆汽车的同学多 8 人。后来调走 13 个同学上第二辆汽车，这时第一辆汽车上的同学的人数是第二辆汽车上同学人数的 。参加这次春游活动的同学一共有多少人？09. 某商店分别花同样多的钱，购进甲、乙、丙三种不同的糖果。已知甲、乙、丙三种糖果每千克的价格分别是元、 元、 元。如果把这三种糖果混合成什锦糖，按 20%的利润定价，那么这种什锦糖每千克定价多少9.6018元？10. 电影票原价每张若干元，现在每张降价 3 元出售，观众增加一半，收入增加 ，一张电
23、影票原价多少元？1511. 王师傅要加工一批零件，若每小时多加工 12 个零件，则所用的时间比原计划少 ；若每小时少加工 16 个零件，9则所用的时间比原来多 小时。这批零件共有多少个？3512. 金放在水里称，重量减轻 ；银放在水里称，重量减轻 。一块金银合金重 770 克，放在水里称，共减轻了 501910克。这块合金含金银各多少克？13. 甲、乙两车分别从 A、B 两地同时相对开出，经 4 小时相遇，相遇后各自继续前进。又经过 3 小时，甲车到达 B地，乙车离 A 地还有 70 公里，求 A、B 两地相距多少公里？14. 二年级两个班共有学生 90 人，其中少先队员有 71 人，又知一班
24、少先队员占本班人数的 75%，二班的少先队员占本班人数的 ，求两个班各有多少人？5615. 张师傅做一种零件，第一天做了这批零件的 12.5%，第二天比第一天多做了 25%，第三天比第二天多做了 8 只，这时正好完成这批零件的一半，这批零件共有多少只？16. 兄弟三人，老大比老二的年龄大 20%，老二比老三的年龄大 20%，老大比老三的年龄在百分之几？17. 某工厂的 27 位师傅共带徒弟 40 名，每位师傅可以带一各徒弟、两名徒弟或三名徒弟，如果带一名徒弟的师傅是其他师傅的人数的两倍，那么带两名徒弟的师傅有多少位？18. 已知甲校学生数是乙校学生数的 40%，甲校女生数是甲校学生数的 30%
25、，乙校男生数是乙校学生数的 42%，那么两校女生总数占两校学生总数的百分比是多少？19. 某商店到橘子产地去收购橘子，收购价为每千克 1.20 元，从产地到商店距离 400 千米，运费为每吨货物每运 1 千米收 1.50 元，如果不计损耗,商店要实现 25%的利润，每千克橘子零售价应是多少元？20. 有三堆棋子，每堆棋子数一样多,并且都只有黑白两种棋子。第一堆里的黑子数与第二堆里的白子数一样多，第三堆里的黑子数为全部黑子的 ，把三堆棋子集中在一起，白子为全部棋子的几分之几？2521. 纸箱中有若干个乒乓球，其中 是一级品， （ 为正整数）是二级品，其余的 91 个是三级品。共有多少个乒145n
26、乓球？11第二单元 工程问题工程应用题中的工作(或工作 )一般不给出具体数量。解题时首先要将全部工程看作单位 “1”，再求出一个单位时间的工作量占总工作量的几分之几，即工作效率。一般要用到下面三个关系式：工作量=工作效率工作时间，工作时间=工作量工作效率，工作效率=工作量工作时间。在解答时要注意以下几点。1 有的工程问题，工作效率往往隐藏在条件中，工作过程也较为复杂，要仔细梳理工作过程、灵活运用基本数量关系。2 涉及到具体数量的工程问题，关键要找到已知的具体数量与对应分率之间的关系，转化为分数应用题来解答。3 对一些有循环周期的工程问题，要注意弄清一个周期的工作量，还要注意最后不满一个周期的部
27、分所需的工作时间。例 1 打印一份稿件，甲单独打 4 小时打了这份稿件的 ，乙接着又打了 2 小时，打了这份稿件的 ，剩余的甲、13 14乙共同打，还需几小时？拓展一 一件工作，甲单独做要 20 天完成，乙单独做要 12 天完成。这件工作，先由甲做了若干天，然后乙继续做完，从开始到完工共用了 14 天，问甲、乙两人各做了多少天？拓展二 一件工作，若单独完成，甲需 10 小时，已需 15 小时，丙需 20 小时。现由三人合做，中途甲因故停工几小时，结果 6 小时才将工作完成。问甲停工几小时？拓展三 有甲、乙两人合做一项工程，需 天完成。若甲一人独做 8 天后，再由乙独做 10 天完工，问甲、乙单
28、独做89各需几天完工？拓展四 一个水池，甲、乙两管同时开，5 小时灌满，乙、丙两管同时开，4 小时灌满。如果乙管先开 6 小时，还需要甲、丙两管同时 2 小时才能灌满（这时乙管关闭） ，那么乙管单独开灌满水池需要多少小时？例 2 修一段公路，甲队单独做要 40 天，乙队单独做要用 24 天。现在两队同时从两端开工，结果距中点 750 米处相遇，这段公路长多少米？拓展一 甲、乙两人同时共同加工一批零件。完成任务时甲做了全部零件的 。已知乙每小时加工 12 个零件，甲单独58加工完成这批零件要 12 小时，这批零件有多少个？拓展二 有一批零件，甲单独做要用 天，比乙单独做多用了 天。现两人合作 4
29、 天后，剩下 210 个零件由甲单独18212去做，自始至终甲共做了多少个零件？拓展三 栽一批黄瓜，兄弟二人合栽 8 小时完成。现哥哥先栽了 3 小时后弟弟又独栽了一小时，还剩总棵数的 没有16栽。已知哥哥每小时比弟弟每小时多栽 7 棵，这块地共栽黄瓜多少棵？例 3 一项工程，甲单独做需 12 小时，乙单独做需 18 小时，若甲先做 1 小时，然后乙接替甲做 1 小时，再由甲接替乙做 1 小时两人如此交替工作，问完成任务时共用多少个小时？拓展一 一项工程，甲单独做 6 小时完成，乙单独做 10 小时完成，如果按甲、乙、甲、乙的顺序交替工作，每次一小时，那么需要多少个小时完成？拓展二 一项工程，
30、甲单独完成要 9 小时，乙单独完成要 12 小时。如果按照甲、乙、甲、乙的顺序轮流工作，每人每次工作 1 小时，那么完成这项工程的 一共要用多少小时？23拓展三 一件工程，甲、乙合作 6 天能完成 。如果甲单独做，那么完成 与乙完成 所需的时间相等。若按甲、乙、5132甲、乙的顺序每人一天轮流，则需多少天完成任务？12检测、反馈、应用1 老刘和小李合做一件工作，要 12 天完成，如果让老刘先做 8 天，剩下的工作由小李单独做，小李还要 14 天才能完成。小李单独做这件工作需几天完成？2 一件工程，甲、乙合作需 6 天完成，乙、丙合作需 9 天完成，甲、丙合作需 15 天完成，再在甲、乙、丙三人
31、合作需要多少天完成？3 一项工作，甲、乙合作要 12 天完成。若甲先做 3 天后，再由乙工作 8 天，共完成这件工作的 。如果这件工作512由甲、乙单独做，甲需要多少天？乙需要多少天？4 抄一份稿件，甲每天的工作效率等于乙、丙二人每天工作效率的和；丙的工作效率相当于甲、乙每天工作效率和的 ；如果三人合抄，只需 8 天就完成了，那么乙单独抄需要多少天才能完成？155 师徒三人合作承包一项工程，4 天能够全部做完。已知师傅单独做所需要天数与两个徒弟合作所需天数相等，而师傅与乙徒弟合做所需天数的 2 倍与甲徒弟单独做完所需的天数相等。那么甲徒弟单独做，完成这项工程需要多少天？乙徒弟单独做，完成这项工
32、程需要多少天？6 一件工作，甲乙两人合作 30 天可以完成。甲乙两人共同做了 6 天后，甲离开了，由乙继续做了 40 天才完成。如果这件工作由甲或乙单独完成各需要多少天？7 一件工程，甲队单独做 10 天完成，乙队单独做 30 天完成。现在两队合做，其间甲队休息了 2 天，乙队休息了 8天（不存在两队同一天休息） ，问开始到完工共用了多少年来天时间？8 某工程由甲单独做 63 天可以完成，由乙单独做 28 天可完成。现在甲先单独 42 天，然后再由乙来单独完成，乙还需要多少天？9 甲乙合作一件工作，由于配合好，甲的工作效率比单独做时提高 ，乙的工作效10率比单独做时提高了 。甲乙合作 6 小时
33、，完成全部工程的 ，第二天乙又单独1525做了 6 小时，还剩下这件工作的 未完成，如果这件工作始终由甲一人单独来做，需多少小时？3010甲、乙、丙、合修围墙，甲乙合修 5 天完成了 ，乙丙合修了 2 天完成余下的 ，然后甲丙合修了 5 天才完工，114整个工程的劳动报酬是 600 元，乙分得多少元？11一件工作，甲单独做 12 天完成，乙单独做要 18 天完成，丙单独做要 24 天完成。这件工作先由甲做了若干天，然后由乙接着做，乙做的天数是甲做的天数的 3 倍；再由丙接着做，丙做的天数是乙做的天数的 2 倍，终于完成这件工作。问共用了多少天？12一项工程，甲乙丙三人合作需 13 天完成，如果
34、丙休息 2 天，乙就要多做 4 天，或者由甲乙两人合作多做 1 天，这项工程由甲单独做需要多少天？13制作一批零件，甲车间要 10 天完成，如果甲车间与乙车间一起做只要 6 天就能完成，乙车间与丙车间一起做，需 8 天才能完成。现在三个车间一起做，完工时发现甲车间比乙车间多做零件 2400 个，丙车间制作零件多少个？14甲、乙、丙三人做一件工作，原计划按甲、乙、丙的顺序每人一天轮流去做，恰好整数天完成。若按乙、丙、甲的顺序每人一天轮流去做，则比原计划多用 天；若按丙、甲、乙的顺序每人一天轮流去做，则比原计划多用12天。已知甲单独做完这件工作要 13 天，甲、乙、丙三人一起做这件工作要用多少天完
35、成？1315蓄水池有甲、丙两条进水管和乙、丁两条排水管，要灌满一池水，单开甲管要 3 小时，单开丙管要 5 小时，要排光一池水，单开乙管要 4 小时，单开丁管要 6 小时。现在池内有 池水，如果按甲、乙、丙、丁的顺序循环开各16水管，每次每管开 1 小时，则多长时间后水开始溢出水池？13第三单元 类比法解题知识、规律、方法在解题过程中，可通过联想找到一个与要解答的题目相类似的原型题，用原型题的解题方法使新问题获得解答。这种思考方法叫做类比法。常见的类比题型如下：钟表问题：可以与环形跑道赛跑问题类比进行思考。钟表中的时钟和分针与赛跑中的运动员是对应的，分针对时针的追及与运动员追及中的行程问题相似
36、。还有的题目可类比成工程问题、平均数问题等等。例 1 某时，分针与时针正好在一条直线上，至少再过多少时间，两针重合？拓展一 小明每天 6 点回家吃晚饭。一天，她妈妈从 6 点钟开始等，一直等到时针与分针第二次成直角时小明才回家，问小时几点钟到家的？拓展二 有一只手表，每小时慢 4 分，早上 8 点整时将时间对准，那么当这只表指向中午 12 点整的时刻，实际时间是几点几分？拓展三 某运输队为商店运输花瓶 500 箱，每箱 6 个花瓶。已知每 10 个花瓶的运费为 5.5 元，损坏一个花瓶，要赔偿成本 11.5 元（这只花瓶的运费当然也就得不到了） ，结果运输队共得到 1553.6 元。共损坏了多
37、少只花瓶？例 2张老师为国画兴趣小组的同学买书。他带的钱正好可以买 15 本山水画或 24 本人物画。如果张老师买了 8 本人物画以后，剩下的钱全部买山水画，那么还可以买几本山水画？拓展一 一列快车由甲城开往乙城需要 8 小时，一列慢车由乙城开到甲城要用 12 小时。两车同时从两城相对开出，相遇时快车比慢车一共多行 192 千米，两城相距多少千米？拓展二 大雪后的一天，小亮和爸爸共同步测一个圆形花圃的周长。他俩的起点和走的方向完全相同。小亮每步长 54厘米，爸爸每步长 72 厘米。由于两人的脚印有重合，所以，雪地上只留下 60 个脚印，求这个花圃的周长是多少米？拓展三 我国明代数学家徐光启逝世
38、时的年龄是他出生年份的 ，1607 年他完成了原本前 6 卷的翻译工作。121629 年主持编写“新历法” ，但未完成就去世了，1634 年由李天经最后完成。1607 年徐光启多大岁数？检测、反馈、应用1. 一个两位数，十位数与个位数的和是 9，把十位数字与个位数字交换位置后所得的新数与原数的比是 5 ：6，原数是（ ） 。2. 时钟六点整，分针与时针正好在一条直线上，至少再过（ ）分，两针正好重合？3. 一个小于 400 的三位数，它是平方数，它的前两个数字组成的两位数是平方数，其个位数也是平方数。这个三位数是（ ） 。4. 在某五年制小学各年级都参加的一次书法比赛中，四年级与五年级共有 1
39、8 人获奖，在全校获奖者中有 16 人不是四年级的，有 14 人不是五年级的。该校书法比赛获奖的总人数是（ ） 。5. 如图所示：线段 AB 上共有 10 个点（包括两个端点） ，那么这条线段上一共有（ ）条不同的线段。A Ba1 a a a a a a a2 3 4 5 6 7 86. 李老师为课外兴趣小组的同学去买书，他带的钱可买 15 本语文书或 24 本数学书。如果李老师买了 10 本语文书后，剩下的钱全部买数学书，还可买多少本？7. 甲、乙两人从两地出发，相向而行。甲走完全程需 2 小时，乙走完全程需 3 小时，两个相遇时甲比乙多走 千45米，求两地之间的距离。8. 甲、乙、丙三个油
40、桶，各盛油若干千克。先从甲桶倒入乙、丙两桶，使乙、丙两桶各增加原有油的一倍；再从乙桶倒入甲、丙两桶，使甲、丙两桶各增加原有油的一倍；最后，从丙桶倒入乙、甲两桶，使乙、甲两桶各增加原有油的一倍。这样，各桶里的油都是 48 千克。问各桶原来分别盛油多少千克？9. 在下列两组图形中，正方形的边长都是 1。每组三个图形里的阴影部分的面积是否都相等？为什么？1410. 把自然数中的偶数 2、4、6、像下表那样依次排成 5 列，把最左边的一列叫做第一列，从左到右依次编号。这样，数“1990”出现在第几列？2 4 6 816 14 12 10 18 20 22 2432 30 28 2634 36 38 4
41、0 48 46 44 42 50 52 54 56 11. 把 1000 个 1 立方厘米的正方体合在一起，堆成边长是 1 分米的正方体，把这个正方体的表面涂上黄漆。小正方体中，至少有一面涂了黄漆的共有多少个？12. 计算 333332456789013. 一个圆柱体的侧面积是 320 平方厘米，圆柱的底面积半径是 20 厘米，求圆柱体体积。14. 如图，有两个同样大小的正方形纸片 ABCD 和 MNPQ，如果把 A 点放在 MNPQ 的中心，那么这两个正方形纸片的重叠部分的面积等于多少？ABCDMNQP15. 一篮鸡蛋 2 个 2 个地数余 1 个，3 个 3 个地数余 2 个，5 个 5
42、个地数余 4 个，6 个 6 个地数余 5 个。这篮鸡蛋最少有多少个？16. 有三根钢管，其中第一根的长度是第二根的 1.2 倍，是第三根的一半，第三根比第二根长 280 厘米。现在这三根钢管截成尽可能长又相等的小段，共截成这样的小段多少段？17. 50 张卡片，写着 150 这 50 个数字，正反两面写的数字相同，卡片一面是红，一面是蓝。某班有 50 名学生，老师把 50 张卡片中蓝色的一面都朝上摆在桌上，对同学们说：“请你们按学号的顺序逐个到前面 来翻卡片，规则是只要卡片上的数字是你自己的学号的倍数，就把它翻过来，蓝翻成红，红翻成蓝。 ”那么每个学生都翻完后，红色朝上的卡片有几张？第四单元
43、 对应法解题知识、规律、方法对应的思想方法是解题时常用到的一种方法。所谓“对应” ，就是在两类事物之间建立某种联系，以实现未知向已知的转化。1. 量率对应：解答分数应用题时，在确定单位“1”以后，一个具体数量总与一个具体分率相对应，抓住这种对应关系是解答分数应用题的关键。（1） 求一个数的几分之几是多少时，单位“1”的量分率=对应数量。（2） 已知一个数的几分之几是多少，求这个数时，对应数量对应分率=单位“1” 的量。152. 对应消去法：有些应用题，给出了两个或两个以上的未知数量间的关系，要求出这些未知的数量。我们可以通过比较，分析对应的未知数量变化的情况，想办法消去一个未知量，从而求出最后
44、问题。例 1 王师傅计划做一批零件，零件，第一天做了计划的 ，第二天做了余下的 ，这时还剩 42 个零件没做，王师4735傅计划做多少个零件？拓展一 某小学学生中的 是男生，男生比女生少 328 人，该小学共有学生多少人？38拓展二 小林看一本故事书，第一天看的页数比总页数的 多 16 页；第二天看的页数比总页数的 少 2 页，还余下181688 页。这本书共有多少页？拓展三 新生小学男生比全校学生总数的 少 25 人，女生比全校学生总数的 多 15 人，求全校总人数。4749拓展四 部队给养老院运苹果，第一次运来了全部的 ，第二次运来了 50 千克，这时，已运来的恰好是没运来的 ，38 57
45、还有多少千克苹果没有运来？例 2 小明有 5 盒奶糖，小强有 4 盒水果糖，共值 44 元。如果小明和小强对换一盒，则各人手里的糖的价值相等。一盒奶糖和一盒水果糖多值多少元？拓展一 把 105 升水注入两个容器，可灌满甲容器及乙容器的 ，或可灌满乙容器及甲容器的 。甲、乙两个容器的1213容量各是多少升？拓展二 2 个男工和 4 个女工在一天内可加工全部零件的 ，8 个男工和 10 个女工在一天内可加工完全部零件。如果30把单独让男工加工和单独女工加工进行比较，要在一天内完成任务，女工要比男工多多少人？拓展三 教室里有若干名学生，走了 10 名女生后，男生人数是女生的 2 倍，又走了 9 名男
46、生后，女生是男生人数的 5倍，最初有多少名女生？检测、反馈、应用1. 两个仓库共储存粮食 1024 吨，甲仓存粮是乙仓存粮的 3 倍，甲、乙两仓各存粮多少吨？2. 张华看一本故事书，每天看 30 页，3 天后还剩全书的 没有看，这本故事书一共有多少页？583. 甲乙两人合买一筐西瓜，甲买了其中的 还要多 千克，乙正好买了其中的一半，这筐西瓜共有多少千克？25.4. 有红黄两种颜色的小球共 140 个，拿出红球的 ，再拿出 7 个黄球，剩下的红球和黄球同样多，原来红球和黄球14各有多少个？5. 学校第一次买了 3 个水瓶和 20 个茶杯，共用去了 134 元；第二次又买了同样的 3 个水瓶和 1
47、6 个茶杯，共用去118 元。水瓶和茶杯的单价各是多少元？6. 甲筐的苹果比乙筐多 30 斤，丙筐的苹果是甲筐的 2 倍，丙筐比乙筐的 3 倍多 10 斤。三筐各有多少苹果？7. 打退敌人一次进攻后，班长清点手榴弹发现：如每人分 5 颗，还剩 8 颗；如每人分 6 颗则差 4 颗。这个班共有多少名战士？还有多少颗手榴弹？8. 56 名少先队员参加学校劳动，其中 的打扫礼堂，剩下的队员中， 的人打扫操场；第二次剩下的队员中，37的人打扫教室，其余的负责打扫空地。问打扫空地的同学有多少人？149. 甲、乙两车分别从 A、B 同时出发，相向而行。第一次两车在距 B 地 64 公里处相遇，相遇后仍以原速继续行驶，到达对方站后原路返回，两车在距离 A 地 48 公里处第二次相遇。两次相遇地点间的距离是多少公里？1610. 买 5 个排球和 3 个篮球需付 100 元，而买 2 个排球和 3 个蓝球只需会 67 元。问每只排球和篮球各多少元？11. 妈妈带了一笔钱，去市场买水果，若买橙子 15 千克，差 4 元，若买橘子 20 千克，则多 20 元。两种水果每千克的价格相差 元。两种水果的单价分别是多少元？2.112. 少先队员参加植树，准备栽
