1、人教版高中数学选修 2-2 教案全集第一章 导数及其应用1.1.1 变化率问题教学目标：1理解平均变化率的概念；2了解平均变化率的几何意义；3会求函数在某点处附近的平均变化率教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率； 教学难点：平均变化率的概念教学过程：一创设情景为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;二、求曲线的切线;三、求已知函数的最大值与最小值;四、求长度、面积、体积和重心等。导数是微积分的核心概念
2、之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度二新课讲授（一）问题提出问题 1 气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? 气球的体积 V(单位: L)与半径 r(单位: dm)之间的函数关系是 34)(rV 如果将半径 r 表示为体积 V 的函数,那么 34(分析: ，34)(Vr1 当 V 从 0 增加到 1 时,气球半径增加了 )(62.0)(1dmr气球的平均膨胀率为 /62.0)(Ldr2 当
3、V 从 1 增加到 2 时,气球半径增加了 )(16.0)(2dmr气球的平均膨胀率为 /16.0)(Ldr可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了思考：当空气容量从 V1增加到 V2时,气球的平均膨胀率是多少? 12)(Vr问题 2 高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度 h(单位： m)与起跳后的时间 t（单位： s）存在函数关系 h(t)= -4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速 度粗略地描述其运动状态?v思考计算： 和 的平均速度5.0t21tv在 这段时间里， ；.0t )/(05.45.0)(smhv在 这段时间里，21 2812
4、)(探究：计算运动员在 这段时间里的平均速度，并思考以下问题：4960t运动员在这段时间内使静止的吗？你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数 h(t)= -4.9t2+6.5t+10 的图像，结合图形可知， ，)0(4965h所以 ，)/(04965)(mshv虽然运动员在 这段时间里的平均速度为 ，但实际情况是运动员仍然运动，t )/(0ms并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态（二）平均变化率概念:1上述问题中的变化率可用式子 表示, 称为函数 f(x)从 x1到 x2的平均变化12)(xff率2若设 , (这里 看作是对于 x1的一个“增
5、量”可用 x1+12x)(12ffhto代替 x2,同样 )()12xffyf3 则平均变化率为 x xff)(1112思考：观察函数 f(x)的图象平均变化率 表示什么?12)(f直线 AB 的斜率三典例分析例 1已知函数 f(x)= 的图象上的一点 及临近一点2 )2,1(A,则 ),(yB解： ，)1(22xx xy 3)1例 2 求 在 附近的平均变化率。20x解： ，所以20)(xyxy200)( x1 x2Oyy=f(x)f(x1)f(x2)x= x2-x1y =f(x2)-f(x1)xxx0202所以 在 附近的平均变化率为2xy00四课堂练习1质点运动规律为 ，则在时间 中相应
6、的平均速度为 32ts)3,(t2.物体按照 s(t)=3t2+t+4 的规律作直线运动,求在 4s 附近的平均变化率.3.过曲线 y=f(x)=x3上两点 P（1，1）和 Q (1+ x,1+ y)作曲线的割线，求出当 x=0.1 时割线的斜率.五回顾总结1平均变化率的概念2函数在某点处附近的平均变化率六教后反思：1.1.2 导数的概念教学目标：1了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；2理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；3会求函数在某点的导数教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念； 教学难点：导数的概念教学过程：一创设情景（一）平均变化率（二）探究：计算运动
7、员在 这段时间里的平均速度，并思考以下问题：49650t运动员在这段时间内使静止的吗？你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数 h(t)= -4.9t2+6.5t+10 的图像，结合图形可知， ，)0(4965h253t所以 ，)/(04965)(mshv虽然运动员在 这段时间里的平均速度为 ，但实际t )/(0ms情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态二新课讲授1瞬时速度我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？比如， 时的瞬时速度是多少？考2t
8、察 附近的情况：2t思考：当 趋近于 0 时，平均速度 有什么样的变化趋势？tv结论：当 趋近于 0 时，即无论 从小于 2 的一边，还是从大于 2 的一边趋近于 2 时，平t均速度 都趋近于一个确定的值 v13.从物理的角度看，时间 间隔无限变小时，平均速度 就无限趋近于史的瞬时速度，因此，t v运动员在 时的瞬时速度是2t./ms为了表述方便，我们用 0(2)(li 13.tht表示“当 ， 趋近于 0 时，平均速度 趋近于定值 ”t v.小结：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。2 导数的概念hto从函数 y=f(x)在
9、x=x0处的瞬时变化率是: 00()limlimxff我们称它为函数 在 出的导数，记作 或 ，即f00()fx0|xy0()()lixf说明：（1）导数即为函数 y=f(x)在 x=x0处的瞬时变化率（2） ，当 时， ，所以0x 00()()limxfxf三典例分析例 1 （1）求函数 y=3x2 在 x=1 处的导数.分析：先求 f= y=f( x)-f()=6 x+( x)2再求 再求6x0lim6x解：法一 定义法（略）法二：2211133()|lililim3()6x xxy （2）求函数 f(x)= 在 附近的平均变化率，并求出在该点处的导数 2解： xxy 32)()120 0
10、()(1)()limlim(3)x xyf 例 2 （课本例 1）将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第 时，原油的温度（单位： ）为 ，计算第hC2()715(8)f x时和第 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义h6解：在第 时和第 时，原油温度的瞬时变化率就是 和2 ()f6f根据导数定义， 0(2)(fxf22()7()15(715)3xxx 所以 00()limli(3)xxff同理可得: 65在第 时和第 时，原油温度的瞬时变化率分别为 和 5，说明在 附近，原油温度2h 32h大约以 的速率下降，在第 附近，原油温度大约以 的速率上升3
11、/C 6h/C注：一般地， 反映了原油温度在时刻 附近的变化情况0()fx0x四课堂练习1质点运动规律为 ，求质点在 的瞬时速度为32ts3t2求曲线 y=f(x)=x3在 时的导数13例 2 中，计算第 时和第 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义h5五回顾总结1瞬时速度、瞬时变化率的概念2导数的概念六教后反思：1.1.3 导数的几何意义教学目标：1了解平均变化率与割线斜率之间的关系；2理解曲线的切线的概念；3通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题；教学重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义； 教学难点：导数的几何意义教学过程：一创设情景（一）平均
12、变化率、割线的斜率（二）瞬时速度、导数我们知道，导数表示函数 y=f(x)在 x=x0处的瞬时变化率，反映了函数 y=f(x)在 x=x0附近的变化情况，导数 的几何意义是什么呢？0()fx二新课讲授（一）曲线的切线及切线的斜率：如图 3.1-2，当 沿着曲线 趋(,)(1,234)nnPxf()fx近于点 时，割线 的变化趋势是什么？0(,)PxfnP我们发现,当点 沿着曲线无限接近点 P 即 x0 时,割线 趋近于确定的位置，这个nPnP确定位置的直线 PT 称为曲线在点 P 处的切线.问题：割线 的斜率 与切线 PT 的斜率 有什么关系？nnkk切线 PT 的斜率 为多少？容易知道，割线
13、 的斜率是 ,当点 沿着曲线无限接近点 P 时，n 0()nfxfnP无限趋近于切线 PT 的斜率 ，即nkk000)(lim()xffxf说明：（1）设切线的倾斜角为 ,那么当 x0 时,割线 PQ 的斜率,称为曲线在点 P 处的切线的斜率.这个概念: 提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;切线斜率的本质函数在 处的导数.0图 3.1-2（2）曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个.（二）导数的几何意义：
14、函数 y=f(x)在 x=x0处的导数等于在该点 处的切线的斜率，0(,)xf即 0()limxffk说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:求出 P 点的坐标;求出函数在点 处的变化率 ，得到曲线在点0 000()()limxfxff k 的切线的斜率；0(,)xf利用点斜式求切线方程.（二）导函数：由函数 f(x)在 x=x0处求导数的过程可以看到,当时, 是一个确定的数，那么,当 x0()fx变化时,便是 x 的一个函数,我们叫它为 f(x)的导函数.记作： 或 ，y即: 0()limxffy注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数（三）函数 在点 处的导数 、导函数 、导数 之间的区别
15、与联系。()f00()fx()fx（1）函数在一点处的导数 ，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。(2）函数的导数，是指某一区间内任意点 x 而言的， 就是函数 f(x)的导函数 (3）函数 在点 处的导数 就是导函数 在 处的函数值，这也是 求函数()fx00()f()fx0在点 处的导数的方法之一。0三典例分析例 1:（1）求曲线 y=f(x)=x2+1 在点 P(1,2)处的切线方程.（2）求函数 y=3x2 在点 处的导数.1,3)解：（1） ,22210 0()1()|limlimx xxy 所以，所求切线的斜率为 2，因此，所求的切线方程为
16、即(1)yx0y（2）因为211133()|lilili36x xxy 所以，所求切线的斜率为 6，因此，所求的切线方程为 即(1)yx30y（2）求函数 f(x)= 在 附近的平均变化率，并求出在该点处的导数 21x解： xy 32)()120 0()(1)()limlim(3)x xxfA A例 2 （课本例 2）如图 3.1-3，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数，根据图像，请描述、比()4.96.51hx较曲线 在 、 、 附近的变化情况t0t2解：我们用曲线 在 、 、 处的切线，()h0t12t刻画曲线 在上述三个时刻附近的变化情况()t（1） 当 时，曲线 在 处的切线 平行0
17、()t00l于 轴，所以，在 附近曲线比较平坦，x几乎没有升降（2） 当 时，曲线 在 处的切线 的斜率 ，所以，在 附近曲线下降，1t()ht11l1()0ht1t即函数 在 附近单调递减2()4.96.50xxt（3） 当 时，曲线 在 处的切线 的斜率 ，所以，在 附近曲线下降，2t()t22l2()t 2t即函数 在 附近单调递减()1hxxt从图 3.1-3 可以看出，直线 的倾斜程度小于直线 的倾斜程度，这说明曲线在 附近比在1l2l 1t附近下降的缓慢2t例 3 （课本例 3）如图 3.1-4，它表示人体血管中药物浓度 (单位： )随)cft/mgL时间 （单位： ）变化的图象根
18、据图像，估计 时，血管中药物浓度tmin0.2,4.6,08t的瞬时变化率（精确到 ） 0.1解：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度 在此时刻的导数，从图像上()ft看，它表示曲线 在此点处的切线的斜率()ft如图 3.1-4，画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值作 处的切线，并在切线上去两点，如 ， ，则它的斜率为：0.8t(0.7,91)(.0,48)491.4.7k所以 (.)f下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值： t0.2 0.4 0.6 0.8药物浓度瞬时变化率 ()ft0.4 0 -0.7 -1.4四课堂练习1
19、求曲线 y=f(x)=x3在点 处的切线；(1,)2求曲线 在点 处的切线4,2五回顾总结1曲线的切线及切线的斜率；2导数的几何意义六教后反思：1.2.1 几个常用函数的导数教学目标：1使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数 、 、 、 的ycx2y1x导数公式； 2掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数教学重点：四种常见函数 、 、 、 的导数公式及应用ycx2y1x教学难点： 四种常见函数 、 、 、 的导数公式教学过程：一创设情景我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度那么，对于函数 ，如何求它的导数呢？()yfx由导数定义本身
20、，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法，下面我们求几个常用的函数的导数二新课讲授1函数 的导数()yfxc根据导数定义，因为 ()(0yfxfxc所以 00limlixx函数 导数ycy表示函数 图像（图 3.2-1）上每一点处的切线的斜率都为 0若 表示路程关0yyc yc于时间的函数，则 可以解释为某物体的瞬时速度始终为 0，即物体一直处于静止状态02函数 的导数()yfx因为 ()1fx所以 00limlixxy函数 导数y1y表示函数
21、 图像（图 3.2-2）上每一点处的切线的斜率都为 1若 表示路程关1yx yx于时间的函数，则 可以解释为某物体做瞬时速度为 1 的匀速运动1y3函数 的导数2()fx因为2()yfx22()x所以 00limli()xxyx函数 导数2y2yx表示函数 图像（图 3.2-3）上点 处的切线的斜率都为 ，说明随着 的2yx2x(,)2xx变化，切线的斜率也在变化另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当时，随着 的增加，函数 减少得越来越慢；当 时，随着 的增加，函数02yx0x增加得越来越快若 表示路程关于时间的函数，则 可以解释为某物体做2yx2y变速运动，它在时刻 的瞬时
22、速度为 x4函数 的导数1()yfx因为1()ffx2()x所以 22001limli()xxyx函数 导数y21yx5函数 的导数()yfx因为 ()fxx()()x()xx所以 001limli2xxyx函数 导数yx12yx（2）推广：若 ，则*()nfQ1()nf三课堂练习1课本 P13探究 12课本 P13探究 2四回顾总结函数 导数yc0yx12y2yx1x2y1yx*()nfxQ1n五教后反思：1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则教学目标：1熟练掌握基本初等函数的导数公式； 2掌握导数的四则运算法则；3能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数
23、的导数教学重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则教学难点： 基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用教学过程：一创设情景五种常见函数 、 、 、 、 的导数公式及应用ycx2y1xy二新课讲授（一）基本初等函数的导数公式表（二）导数的运算法则函数 导数yc0yx12y2yx1x2y1yx*()nfxQ1n函数 导数yc0y*()nfxQ1nxsiycosycoxinx()yfal(0)xyaxexe()logaf 1()log()(01)lnaffa nxx导数运算法则1 ()()fxgfxg2 ()fx3 2()()0)fxfxggg（2）推论： ()()cff（常数与函数
24、的积的导数，等于常数乘函数的导数）三典例分析例 1假设某国家在 20 年期间的年均通货膨胀率为 ，物价 （单位：元）与时间5%p（单位：年）有如下函数关系 ，其中 为 时的物价假定某种商品t 0()1)tpt0t的 ，那么在第 10 个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到 0.01）？0p解：根据基本初等函数导数公式表，有 ().5ln1.tt所以 （元/年） 10().5ln8因此，在第 10 个年头，这种商品的价格约为 0.08 元/年的速度上涨例 2根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数（1） 3yx（2） ；1x（3） ；sinlyx（4） ；x（5）
25、1lny（6） ；2(5)xxe（7） sicosiy解：（1） ，332(2)(2)(3yxxx。2（2） 1()()yx 22(1)()x22(1)()x221()()x21()2x2() 2(1)xy（3） (sinl)(ln)sixx l)ix1(si(l)cosxxsinln ilyx（4） ， 224()14ln1l4()()xxxxx x。1lnxy（5） 221l21()(1)()lnl(ln)(l)xx x 2(1ln)yx（6） 251(51)(xxee，2(4)()4xe 。2xy（7） sincos()i 2i(in(sicos)(sin)xxxx2(cossi)(co
26、i(in)(is)s xcox 2in(in)(i)csxxco。2(cosin)x2(i)y【点评】 求导数是在定义域内实行的 求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心例 3 日常生活中的饮水通常是经过净化的随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加已知将 1 吨水净化到纯净度为 时所需费用（单位：元）为%x5284()(01)cx求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：（1） （2）90%8解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数 25284()584(1)()10xxcx20(1)584(1)x25840)x（1） 因为 ，所以，纯净度为 时，费用的瞬时变化 2(9).)c
27、 90%率是 52.84 元/吨（2） 因为 ，所以，纯净度为 时，费用的瞬时变化率 2584()1309)c8是 1321 元/吨函数 在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢由上述计算可知，()fx它表示纯净度为 左右时净化费用的瞬时变化率，大约是纯净度为 98250c98%左右时净化费用的瞬时变化率的 25 倍这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就越0%多，而且净化费用增加的速度也越快四课堂练习1课本 P92练习2已知曲线 C： y 3 x 42 x39 x24，求曲线 C 上横坐标为 1 的点的切线方程；（ y 12 x 8）五回顾总结（1）基本初等函数的导数公式表（2）导数的
28、运算法则六教后反思：1.2.3 复合函数的求导法则教学目标 理解并掌握复合函数的求导法则教学重点 复合函数的求导方法：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数之积教学难点 正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，熟练，正确一创设情景（一）基本初等函数的导数公式表（二）导数的运算法则导数运算法则1 ()()fxgfxg2 ()fx3 2()()0)fxfxggg（2）推论： ()()cfxf（常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）二新课讲授复合函数的概念 一般地，对于两个函数 和 ，如果通过变量 ， 可()yfu()gxuy以表示成 的函数，那么称
29、这个函数为函数 和 的复合函数，记作x。()yfg函数 导数yc0y*()nfxQ1nxsiycosycoxinx()yfal(0)xyaxexe()logaf 1()log()(01)lnaffa nxx复合函数的导数 复合函数 的导数和函数 和 的导数间的()yfgx()yfu()gx关系为 ，即 对 的导数等于 对 的导数与 对 的导数的乘积xuxy ux若 ，则()fg()()yfgxfg 三典例分析例 1（课本例 4）求下列函数的导数：（1） ；（2） ；(3)yx0.51xye（3） （其中 均为常数） sin,解：（1）函数 可以看作函数 和 的复合函数。根据复合函数2()yx2
30、yu3x求导法则有= 。xuxy2()3481ux（2）函数 可以看作函数 和 的复合函数。根据复合函数求0.51xeuye0.51x导法则有= 。xuxy 0.51().)0.5.u uxe（3）函数 可以看作函数 和 的复合函数。根据复合函sinsiny数求导法则有= 。xuxy (i)()xcoux例 2 求 的导数2snta解： 22i()cs(tan)ec()yxxx22costaex (n)sc()yx【点评】求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由外层向内层逐层求导，直到关于自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果例 3 求 的导数2xay
31、解：2 21()xayx，2222()aaxx2()xya【点评】本题练习商的导数和复合函数的导数求导数后要予以化简整理例 4 求 y sin 4x cos 4x 的导数【解法一】 y sin 4x cos 4x(sin 2x cos 2x)22sin 2cos2x1 sin22 x1 （1cos 4 x） cos 4 x ysin 4 x31【解法二】 y(sin 4 x)(cos 4 x)4 sin 3 x(sin x)4 cos 3x (cos x)4 sin 3 x cos x 4 cos 3 x (sin x)4 sin x cos x (sin 2 x cos 2 x)2 sin
32、2 x cos 2 xsin 4 x【点评】解法一是先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确解法二是利用复合函数求导数，应注意不漏步例 5 曲线 y x（ x 1） （2 x）有两条平行于直线 y x 的切线，求此二切线之间的距离【解】 y x 3 x 2 2 x y3 x 22 x 2 令 y1 即 3 x22 x 10，解得 x 或 x 1于是切点为 P（1，2） ， Q（ ， ） ，74过点 P 的切线方程为， y 2 x 1 即 x y 10显然两切线间的距离等于点 Q 到此切线的距离，故所求距离为 2|1743|6四课堂练习1求下列函数的导数 (1) y =sinx3+sin33x
33、；（2） ;(3)12sinxy)2(logxa2.求 的导数)132ln(x五回顾总结六教后反思：1.3.1 函数的单调性与导数（2 课时）教学目标：1了解可导函数的单调性与其导数的关系； 2能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次；教学重点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间教学难点： 利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间教学过程：一创设情景函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的通过研究函数的这些性质，我们可以对数量
34、的变化规律有一个基本的了解下面，我们运用导数研究函数的性质，从中体会导数在研究函数中的作用二新课讲授1问题：图 3.3-1（1） ，它表示跳水运动中高度随时间 变化的函数 的ht 2()4.96.510htt图像，图 3.3-1（2）表示高台跳水运动员的速度随时间 变化的函数 的vt().8vtt图像运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？通过观察图像，我们可以发现：（1） 运动员从起点到最高点，离水面的高度 随时间 的增加而增加，即 是增函ht()ht数相应地， ()0vth（2） 从最高点到入水，运动员离水面的高度 随时间 的增加而减少，即 是减函t()t数
35、相应地， ()vt2函数的单调性与导数的关系观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系如图 3.3-3，导数 表示函数 在点 处的切线的斜率0()fx()fx0,)y在 处， ，切线是“左下右上”式的，这时，函数 在 附近单调递0x0()fx ()fx0增；在 处， ，切线是“左上右下”式的，这时，函数 在 附近单调递10()f ()f1减结论：函数的单调性与导数的关系在某个区间 内，如果 ，那么函数 在这个区间内单调递增；如果(,)ab()0fx()yfx，那么函数 在这个区间内单调递减()0fxy说明：（1）特别的，如果 ，那么函数 在这个区间内是常函数()fx()yfx3求解
36、函数 单调区间的步骤：()yfx（1）确定函数 的定义域；（2）求导数 ；()yfx（3）解不等式 ，解集在定义域内的部分为增区间；0（4）解不等式 ，解集在定义域内的部分为减区间()fx三典例分析例 1已知导函数 的下列信息：()f当 时， ；4x0x当 ，或 时， ；1()f当 ，或 时，xx试画出函数 图像的大致形状()yf解：当 时， ，可知 在此区间内单调递增；14x0x()yfx当 ，或 时， ；可知 在此区间内单调递减；4x1()0fx()yfx当 ，或 时， ，这两点比较特殊，我们把它称为“临界点” 综上，函数 图像的大致形状如图 3.3-4 所示()yfx例 2判断下列函数的
37、单调性，并求出单调区间（1） ； （2）3()f2()3fx（3） ； （4）sin(0,)xx41x解：（1）因为 ，所以，3()f 22()1fxx因此， 在 R 上单调递增，如图 3.3-5（1）所示3f（2）因为 ，所以， 2()3fx()21fxx当 ，即 时，函数 单调递增；0f13f当 ，即 时，函数 单调递减；()x2()x函数 的图像如图 3.3-5（2）所示23fx（3）因为 ，所以，()sin(0,)()cos10fx因此，函数 在 单调递减，如图 3.3-5（3）所示fx（4）因为 ，所以 32()41x当 ，即 时，函数 ；()0fx2()3fx当 ，即 时，函数 ；
38、函数 的图像如图 3.3-5（4）所示32()41fxx注：（3） 、 （4）生练例 3如图 3.3-6，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度 与时间 的函数关系图像ht分析：以容器（2）为例，由于容器上细下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快反映在图像上， （A）符合上述变化情况同理可知其它三种容器的情况解： 1,2,3,4BADC思考：例 3 表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快慢结合图像，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？一般的，如果一个函数在某一范围内导数
39、的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时，函数的图像就比较“陡峭” ；反之，函数的图像就“平缓”一些如图 3.3-7 所示，函数 在 或 内的图像“陡峭” ，()yfx0,b,a在 或 内的图像“平缓” ,b,a例 4求证：函数 在区间 内是减函数321yxx2,1证明：因为 2666x当 即 时， ，所以函数 在区间 内,1xx0y321yx2,是减函数说明：证明可导函数 在 内的单调性步骤：f,ab（1）求导函数 ；x（2）判断 在 内的符号；f,（3）做出结论： 为增函数， 为减函数0x0fx例 5已知函数 在区间 上是增函数，求实数 的取23()4()faR1,a值范围解： ，
40、因为 在区间 上是增函数，所以 对 2()fxxfx, ()0fx恒成立，即 对 恒成立，解之得：1,x0a1,1a所以实数 的取值范围为 a1,说明：已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递增，则 ；若函数单调递减，则 ”来求解，注意此()0fx()0fx时公式中的等号不能省略，否则漏解例 6已知函数 y=x+ ，试讨论出此函数的单调区间.1解： y=( x+ )=11 x2 = 22)1(1xx令 0. 2)1(x解得 x1 或 x1. y=x+ 的单调增区间是(，1)和(1，+).令 0，解得1 x0 或 0 x1.2) y=x+ 的单调减区间是(1，0)和(0，1) 奎 屯王 新 敞新 疆四课堂练习1求下列函数的单调区间1.f(x)=2x36 x2+7 2.f(x)= +2x 3. f(x)=sinx , x 4. y=xlnx12,02课本 练习五回顾总结（1）函数的单调性与导数的关系（2）求解函数 单调区间()yfx（3）证明可导函数 在 内的单调性,ab六教后反思：1.3.2 函数的极值与导数（2 课时）教学目标：1.理解极大值、极小值的概念；2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值；3.掌握求可导函数的极值的步骤；
