1、肇庆市中小学教学质量评估2018 届高中毕业班第三次统一检测题理科数学第卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合 ， ，则A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题得 = =x|0，1,2，所以AB=0,1,2.故选 B.2. 已知 为虚数单位，复数 ，则 =A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题得 故选 B.3. 已知 ，则A. B. C. D. 【答案】A【解析】因为 ，所以故选 A.4. 是 R 上的奇函数，且 则A. B. C. D. 【答案】C【解析】 - .故选 C.5. 将函数 的图象向左平移
2、 个单位长度，则平移后新函数图象的对称轴方程为A. B. C. D. 【答案】A【解析】将函数 的图象向左平移 个单位长度得到令 故选 A.6. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A. B. C. D. 【答案】D【解析】由三视图可知原几何体是在一个正方体的左上角割去了一个三棱锥 O-ABC，所以几何体的体积为 故选 D.7. 已知 满足约束条件 ，若 的最大值为 ，则 的值为A. B. C. D. 【答案】B【解析】不等式组对应的可行域如图所示：联立 得 B(1，m-1).8. 程大位是明代著名数学家，他的新编直指算法统宗是中国历史上一部影响巨大的著作.它问世后不久便风行宇内，
3、成为明清之际研习数学者必读的教材，而且传到朝鲜、日本及东南亚地区，对推动汉字文化圈的数学发展起了重要的作用.卷八中第 33 问是：“今有三角果一垛，底阔每面七个.问该若干？”如图是解决该问题的程序框图.执行该程序框图，求得该垛果子的总数 为A. B. C. D. 【答案】C【解析】运行程序：i=1,n=1,s=1,17，i=2,n=3,s=4,27，i=3,n=6,s=10,37，i=4,n=10,s=20,47，i=5.n=15,s=35,57，i=6,n=21,s=56,67，i=7,n=28,s=84,77,s=84.故选 C.9. 已知 的展开式中 的系数为 ，则A. B. C. D.
4、 【答案】A【解析】 （1ax） （1+x） 5=（1+ax） （1+5x+10x 2+10x3+5x4+x5） ，其展开式中含 x2项的系数为 105a=5，解得 a=1故选 A.10. 已知 5 台机器中有 2 台存在故障，现需要通过逐台检测直至区分出 2 台故障机器为止.若检测一台机器的费用为 1000 元，则所需检测费的均值为A. B. C. D. 【答案】C【解析】设检测的机器的台数为 x,则 x 的所有可能取值为 2,3,4.所以 ，所以所需的检测费用的均值为 10003.5=3500.故选 C.11. 已知 ， ， ， 四点均在以点 为球心的球面上，且 ， .若球 在球 内且与平
5、面 相切，则球 直径的最大值为A. 1 B. 2 C. 4 D. 8【答案】D【解析】如图所示:取 CD 的中点 O,连接 AO,BO,如图，因为 BC=BD= ， ,所以因为 ，所以 AOCD,且 AO=2，又因为 OD=4，BO=4，所以 故AOOB，又 BOCD=O,所以 AO平面 BCD,所以 在 AO 上，连接 ,设 则即 解之得 R=5，球 的直径最大时，球 与平面 BCD 相切且与球 内切，A,O, 四点共线，此时球 的直径为 R+ =8.故选 D.点睛：本题是一个难题，只有通过计算，认清以 A,B,C,D 为顶点的三棱锥的图形特征，正确判断球心 的位置，借助方程求出球 的半径，
6、直观判断球心 的位置，才能迎刃而解.12. 已知 分别是双曲线 的左、右焦点，若在右支上存在一点 ，使 与圆 相切，则该双曲线的离心率的范围是A. B. C. D. 【答案】B【解析】设切点为 M,在直角 中，OM=2a,所以 因为在右支上存在一点 ，使 与圆 相切，所以故选 B.点睛：本题的解题的关键是发现 .如果用其它方法，可能比较复杂.所以数学的观察分析很重要.第 II 卷本卷包括必考题和选考题两部分. 第 13 题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22 题第 23 题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分.13. 平面向量 ， ，若
7、，则 _.【答案】【解析】由题得 故填 3 或-2.14. 已知抛物线 的焦点为 ，过 的直线交抛物线于 两点，且 ,则_.【答案】6【解析】由题得 F(2，0),因为 ，所以 所以直线 AB 的方程为联立直线和抛物线方程得点 A 的横坐标为 4，所以|AF|=4-(-2)=6.故填 6.15. 已知 的角 对边分别为 ，若 ，且 的面积为 ，则的最小值为_.【答案】.16. 已知函数 ，若 有且只有一个整数根，则 的取值范围是_.【答案】【解析】由题得设所以函数 g(x)在 是减函数，在 是增函数，且 .因为 有且只有一个整数根，所以 故填.点睛：本题主要的技巧是分离函数和数形结合分析.把
8、有且只有一个整数根等价转化为 是本题的关键，这里主要是利用了数形结合的思想.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 设数列 ：上述规律为当（ ）时， 记 的前 项和为 ,（）求 （）求 .【答案】 （1）1024;（2）13314.【解析】试题分析：（1）第（1）问，先根据 求出 k=10，再求 . (2)第（2）问，利用错位相减求 .试题解析：（1）由 且 得 ,所以 .（2）因为 ，所以，两式相减得18. 在四棱锥 中， 平面 ，且底面 为边长为 2 的菱形， ,.（）记 在平面 内的射影为 （即 平面 ） ，试用作图的方法找出 M 点位置，并写出 的长（要求写出作图过
9、程，并保留作图痕迹，不需证明过程和计算过程） ；（）求二面角 的余弦值.【答案】(1)见解析；（2） .【解析】试题分析：（1）第（1）问，作图见解析，再利用射影定理求 PM 的长. (2) 以 D 为坐标原点，DA，DE，DP 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系D-xyz，利用向量法求二面角 的余弦值.试题解析：(1)取 BC 中点 E，连接 DE，PE，在 PDE 内作 DM PE，垂足为 M，,则 PM= ,（2）以 D 为坐标原点，DA，DE，DP 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系D-xyz，如图，A(2，0，0),P(0，0，2),B
10、(1， ，0)，C（-1， ，0）分别设平面 PAB，平面 PBC 的法向量为 ，则，令 ，令, 又二面角 A-PB-C 的大小为钝角二面角 A-PB-C 的余弦值为 .19. 历史数据显示：某城市在每年的 3 月 11 日3 月 15 日的每天平均气温只可能是-5，-6，-7，-8中的一个，且等可能出现.（）求该城市在 3 月 11 日3 月 15 日这 5 天中，恰好出现两次-5，一次-8的概率；（）若该城市的某热饮店，随平均气温的变化所售热饮杯数如下表平均气温t-5 -6 -7 -8所售杯数y 19 22 24 27根据以上数据，求 关于 的线性回归直线方程.（参考公式： ， ）【答案】
11、(1) ;（2） .【解析】试题分析：（1）第（1）问，利用古典概型概率公式求这 5 天中恰好出现两次-5一次-8的概率. (2) 利用最小二乘法求求 关于 的线性回归直线方程.试题解析：(1)记事件 A 为“这 5 天中，恰好出现两次-5,一次-8”(或 也可）（2） ， 20. 已知椭圆 C: 的左焦点为 ，已知 ，过 作斜率不为 的直线 ，与椭圆 C交于 两点 ，点 关于 轴的对称点为 .（）求证：动直线 恒过定点 （椭圆的左焦点） ；（） 的面积记为 ,求 的取值范围.【答案】 （1） 见解析;（2） .【解析】试题分析：（1）第（1）问，先求出动直线 的方程，再分析出它过的定点.(2
12、) 先求出 S 的表达式 ，再利用导数求 S 的取值范围.试题解析：（1） 设 代入 得， 直线 ，令过定点 （2） ，在 上单调递增 ，点睛：本题关键是第（2）问的处理，对于取值范围的问题，比较常用的是函数的方法，所以本题先求出 S 的表达式 ，再利用导数求 S 的取值范围.函数的思想是高中数学的一种重要思想，大家要理解掌握并灵活运用.21. 已知函数 ， ， .（）讨论 的单调区间；（）若 ,且 恒成立. 求 的最大值.【答案】 （1）见解析;（2）6.【解析】试题分析：（1）第（1）问，先求导，再对 m 分类讨论，求函数 f(x)的单调区间. (2) 先分离参数 ，再求 的最小值,即得k
13、 的最大值.试题解析：（1） ， 当 时，即 时， 在 上恒成立，所以 的单调减区间是 ，无单调增区间。当 时，即 时，由 得 。由 ，得 ，所以的单调减区间是 ，单调增区间是 （2）由 得 ，令 ， ， ， ， ，点睛：分离参数是处理参数问题的一种重要方法.处理参数问题，常用的有分离参数和分类讨论，如果分离参数方便，就选分离参数.本题就是分离参数，大大地提高了解题效率，优化了解题.考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 作答时，请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22. 选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，曲线 ，曲线 的参数方
14、程为（ 为参数） 以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系（）求曲线 ， 的极坐标方程；（）在极坐标系中，射线 与曲线 ， 分别交于 ， 两点（异于极点 ） ，定点 ，求 的面积【答案】 （1） , （2） .【解析】试题分析：（1）第（1）问，先把参数方程化成普通方程，再利用极坐标的公式把普通方程化成极坐标方程. (2) 先利用极坐标求出弦长|AB|,再求高，最后求 的面积试题解析：（1）曲线 的极坐标方程为： ，因为曲线 的普通方程为： ， 曲线 的极坐标方程为 （2） 由（1）得：点 的极坐标为 ， 点 的极坐标为 点到射线 的距离为 的面积为 .23. 选修 45：不等式选讲 设函数 ， （实数 ） （）当 ，求不等式 的解集；（）求证： .【答案】 （1） （2）见解析.【解析】试题分析：（1）第（1）问，利用分类讨论法解不等式 即得 的解集. (2)对 a 分类讨论，得到一个分段函数，求出每一段的最小值，最后证明2.试题解析：（1）原不等式等价于 ，当 时，可得 ，得 ；当 时，可得 ，得 不成立； 当 时，可得 ，得 ； 综上所述，原不等式的解集为 （2）法一： ， 当 ；当 当 所以 ，当且仅当 时等号成立法二： ，当且仅当 时等号成立。又因为 ，所以当 时， 取得最小值，当且仅当 时等号成立.
