1、第 1 页 共 11 页高 一 数 学 必 修 1 各 章 知 识 点 总 结第一章 集合与函数概念一、集合有关概念1. 集合的含义2. 集合的中元素的三个特性：(1) 元素的确定性如：世界上最高的山(2) 元素的互异性如：由 HAPPY 的字母组成的集合H,A,P,Y(3) 元素的无序性: 如：a,b,c和a,c,b是表示同一个集合3.集合的表示： 如：我校的篮球队员，太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋(1) 用拉丁字母表示集合：A=我校的篮球队员,B=1,2,3,4,5(2) 集合的表示方法：列举法与描述法。 注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集） 记作：N正整数集 N*或 N+ 整
2、数集 Z 有理数集 Q 实数集 R4.集合的表示方法1） 列举法：a,b,c2） 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。x R| x-32 ,x| x-323） 语言描述法：例：不是直角三角形的三角形4） Venn 图:5、集合的分类：(1) 有限集 含有有限个元素的集合(2) 无限集 含有无限个元素的集合(3) 空集 不含任何元素的集合 例：x|x 2=5二、集合间的基本关系1.“包含”关系子集注意： 有两种可能（ 1）A 是 B 的一部分， ；（2）A 与 B 是同一集合。BA反之: 集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A,记作 A B 或
3、B A2 “相等”关系：A=B (55，且 55，则 5=5)实例：设 A=x|x 2-1=0 B=-1,1 “元素相同则两集合相等”即： 任何一个集合是它本身的子集。AA真子集:如果 AB,且 A B 那就说集合 A 是集合 B 的真子集，记作 A B(或 BA)如果 AB, BC ,那么 A C 如果 AB 同时 BA 那么 A=B3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为 规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。 有 n 个元素的集合，含有 2n个子集，2 n-1个真子集三、集合的运算运算类型交 集 并 集 补 集定 义由所有属于 A 且属于 B 的元素所组成由所有属于集
4、合 A 或属于集合 B 的元素所设 S 是一个集合，A是 S 的一个子集，由S 中所有不属于 A 的元第 2 页 共 11 页的集合,叫做 A,B的交集记作A B（读作 A 交B） ，即A B= x|x A，且 x B 组成的集合，叫做A,B 的并集记作：AB（读作 A 并 B） ，即 A B =x|x A，或 x B)素组成的集合，叫做S 中子集 A 的补集（或余集）记作 ，即CSCSA= ,|x且韦恩图示A B图1A B图2SA性 质A A=A A =A B=B AA B AA B BA A=AA =AA B=B AA B A B B(CuA) (CuB)= Cu (A B)(CuA) (
5、CuB)= Cu(A B)A (CuA)=UA (CuA)= 例题：1.下列四组对象，能构成集合的是 （ ）A 某班所有高个子的学生 B 著名的艺术家 C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数2.集合a，b，c 的真子集共有 个 3.若集合 M=y|y=x2-2x+1,x R,N=x|x0，则 M 与 N 的关系是 .4.设集合 A= ，B= ，若 A B，则 的取值范围是 1xxaa5.50 名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得 正确得有 40 人，化学实验做得正确得有 31 人，两种实验都做错得有 4 人，则这两种实验都做对的有 人。6. 用描述法表示图中阴影部分的点（含边界上
6、的点）组成 的集合 M= .7.已知集合 A=x| x2+2x-8=0, B=x| x2-5x+6=0, C=x| x2-mx+m2-19=0, 若 BC，AC=，求 m 的值二、函数的有关概念1函数的概念：设 A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数记作： y=f(x)，xA其中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相第 3 页 共 11 页对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合f(x)| xA 叫做函数的值
7、域注意：1定义域：能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域。求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于 1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的 x 的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零， (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. 相同函数的判断方法：表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关） ；定义域一致 (两点必须同时具备)(见课本 21 页相关例 2)2值域 : 先考虑其
8、定义域(1)观察法 (2)配方法(3)代换法3. 函数图象知识归纳(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (xA)中的 x 为横坐标，函数值 y 为纵坐标的点 P(x， y)的集合 C，叫做函数 y=f(x),(x A)的图象C 上每一点的坐标 (x， y)均满足函数关系 y=f(x)，反过来，以满足 y=f(x)的每一组有序实数对 x、 y 为坐标的点 (x， y)，均在 C 上 . (2) 画法A、 描点法：B、 图象变换法常用变换方法有三种1) 平移变换2) 伸缩变换3) 对称变换4区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间（2）无穷区间（3）区间的数轴表
9、示5映射一般地，设 A、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则 f，使对于集合 A 中的任意一个元素 x，在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么就称对应 f：A B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射。记作“f（对应关系）：A（原象） B（象） ”对于映射 f： A B 来说，则应满足：(1)集合 A 中的每一个元素，在集合 B 中都有象，并且象是唯一的；(2)集合 A 中不同的元素，在集合 B 中对应的象可以是同一个；(3)不要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象。6.分段函数 (1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。(2)各部分的自变量的取
10、值情况第 4 页 共 11 页(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集补充：复合函数如果 y=f(u)(uM),u=g(x)(xA),则 y=fg(x)=F(x)(xA) 称为 f、g 的复合函数。二函数的性质1奇偶性（1）定义：如果对于函数 f(x)定义域内的任意 x 都有 f( x)=f (x)，则称 f(x)为奇函数；如果对于函数 f(x)定义域内的任意 x 都有 f(x )=f(x)，则称 f(x)为偶函数。如果函数 f(x)不具有上述性质，则 f(x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则 f(x)既是奇函数，又是偶函数。注意：函数是奇函数或是偶函数称为
11、函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； 1由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个 x，则x 也一 2定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称） 。（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； 1确定 f(x)与 f(x)的关系； 2作出相应结论： 3若 f(x ) = f(x) 或 f(x)f(x) = 0，则 f(x)是偶函数；若 f(x ) =f(x) 或 f(x) f(x) = 0，则 f(x)是奇函数。（3）简单性质：图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一
12、个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于 y 轴对称；设 ， 的定义域分别是 ，那么在它们的公共定义域上：()fxg12,D奇+奇=奇，奇 奇=偶，偶+偶 =偶，偶 偶=偶2单调性（1）定义：一般地，设函数 y=f(x)的定义域为 I， 如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量x1，x 2，当 x1f(x2)） ，那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数（减函数） ；注意：函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； 1必须是对于区间 D 内的任意两个自变量 x1，x 2；当 x11，axnxann且 *nN 负数没有偶次方根；0 的任何次方根都是 0，记作 。
13、0当 是奇数时， ，当 是偶数时，an)(|an2分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定：，)1,0(*nNmanm )1,0(1* nNmaanmn 0 的正分数指数幂等于 0，0 的负分数指数幂没有意义3实数指数幂的运算性质（1） ；rasr ),0(Rsra（2） ；s)( （3） srb ),(（二）指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地，函数 叫做指数函数，其中)1,0(ayx且x 是自变量，函数的定义域为 R注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和 12、指数函数的图象和性质a1 01 00，a 0，函数 y=ax与 y=loga(-x)的图象只能是 ( )2.计算
14、： ; = ； = ;64log273 3log42 2log7l531 = 213431 0.6)(80. 75.03.函数 y=log (2x2-3x+1)的递减区间为 4.若函数 在区间 上的最大值是最小值的 3 倍，则 a= )(log)axf ,a5.已知 ， （1）求 的定义域（2）求使 的 的取值范围1(0且 ()fx()0fx第三章 函数的应用一、方程的根与函数的零点第 11 页 共 11 页1、函数零点的概念：对于函数 ，把使 成立的实数 叫)(Dxfy0)(xfx做函数 的零点。)(Dxfy2、函数零点的意义：函数 的零点就是方程 实数根，亦即函数)f f的图象与 轴交点的横坐标。)(f即：方程 有实数根 函数 的图象与 轴有交点 函数0)(xfyx有零点xy3、函数零点的求法：（代数法）求方程 的实数根； 1 0)(xf（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数 的图象 2 )(xfy联系起来，并利用函数的性质找出零点4、二次函数的零点：二次函数 )0(2acbxy（1），方程 有两不等实根，二次函数的图象与 轴有两x个交点，二次函数有两个零点（2），方程 有两相等实根，二次函数的图象与 轴有一2个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点（3），方程 无实根，二次函数的图象与 轴无交点，二0cbxa x次函数无零点
