《因式分解》全章复习与巩固(提高)知识讲解.doc

1、 第 1 页 共 7 页因式分解全章复习与巩固（提高）撰稿：康红梅 责编：李爱国【学习目标】1. 理解因式分解的意义，并感受分解因式与整式乘法是相反方向的运算；2掌握提公因式法和公式法（直接运用公式不超过两次）这两种分解因式的基本方法；3. 了解因式分解的一般步骤；能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解.【知识网络】【要点梳理】要点一、因式分解把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算.要点二、提公因式法把多项式 分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是

2、各项的公因式 ，另一个因式是 ，即 ，而 正好m是 除以 所得的商，提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律.要点三、公式法1.平方差公式两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即： 2abab2.完全平方公式两个数的平方和加上这两个数的积的 2 倍，等于这两个数的和（差）的平方即 ， .222 2ab形如 ， 的式子叫做完全平方式.aba要点诠释：（1）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右第 2 页 共 7 页边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的 2 倍. 右边是

3、两数的和（或差）的平方.（3）套用公式时要注意字母 和 的广泛意义， 、 可以是字母，也可以abab是单项式或多项式.要点四、十字相乘法和分组分解法十字相乘法利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.对于二次三项式 ，若存在 ，则2xbcpqcb2xcxpq分组分解法对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.要点五、因式分解的一般步骤因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法

4、, 添、拆项法等.因式分解步骤（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；（2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解（4）结果要彻底，即分解到不能再分解为止【典型例题】类型一、提公因式法分解因式1、 分解因式： (1) ；2284abcabc(2) 32()()()mnmn【答案与解析】解：(1) 2284(42)abcacbcb(2) 32()()nn()mm22()【总结升华】在提取公因式时要注意提取后各项字母，指数的变化，另外分解要彻底，特第 3 页 共 7 页别是因式中含有多项式的一定要检验是否能再分，分解因式后可逆过来用

5、整式乘法验证其正确与否 、利用分解因式证明： 能被 120 整除7125【思路点拨】25 ，进而把 整理成底数为 5 的幂的形式，然后提取公因式并整理为2含有 120 的因数即可【答案与解析】证明： 71257125 4 12 54 12 0 能被 120 整除7125【总结升华】解决本题的关键是用因式分解法把所给式子整理为含有 120 的因数相乘的形式类型二、公式法分解因式3、放学时，王老师布置了一道分解因式题： ，小2224xyxy明思考了半天，没有答案，就打电话给小华，小华在电话里讲了一句，小明就恍然大悟了，你知道小华说了句什么话吗？小明是怎样分解因式的【思路点拨】把 分别看做一个整体，

6、再运用完全平方公式解答xy、【答案与解析】解：把 看作完全平方式里的 ；、 ,ab原式 22xyxyxy 23yx【总结升华】本题主要考查利用完全平方公式分解因式，注意把 看作完全xy、平方式里的 是解题的关键,ab第 4 页 共 7 页举一反三：【变式】下面是某同学对多项式 进行因式分解的过程22464xx解：设 24xy原式 （第一步）6 （第二步）281y （第三步）4 （第四步）22()x回答下列问题：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的（ ）A、提取公因式 B平方差公式C、两数和的完全平方公式 D两数差的完全平方公式（2）该同学因式分解的结果是否彻底_（填“彻底”或“不彻底”）

7、若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果_.（3）请你模仿以上方法尝试对多项式 进行因式分解221xx【答案与解析】解：（1）运用了 C，两数和的完全平方公式；（2） 还可以分解，分解不彻底；结果为 .4x42x（3）设 2y1xx ，2y ， 2，1y ，()x 44、计算：(1 )(1 )(1 )(1 )(1 )21232142042105第 5 页 共 7 页【思路点拨】先把括号里的式子通分，再把分子分解因式，利用乘法约分即可剩下.12065【答案与解析】解：(1 )(1 )(1 )(1 )(1 )2213242104205 2225.AA 1065【总结升华】本题既考查了对因式分解方法的

8、掌握，又考查了代数式求值的方法，解题的关键是正确运算和分解举一反三：【变式】设 ， ， （ 为大于 0 的自213a253a221nan然数）（1）探究 是否为 8 的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论；（2）若一个n数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”试找出 ，1a， ，这一列数中从小到大排列的前 4 个完全平方数，并指出当 满足什么条件2an n时， 为完全平方数（不必说明理由）【答案】解：（1） ，222141418nannn又 为非零的自然数， 是 8 的倍数n这个结论用文字语言表述为：两个连续奇数的平方差是 8 的倍数（2）这一列数中从小到大排列的前 4 个完全平

9、方数为 16，64，144，256为一个完全平方数的 2 倍时， 为完全平方数na类型三、十字相乘法和分组分解法分解因式5、分解因式：（1） 2x（2） 2240x（3） 634abab【答案与解析】解：（1）原式 22121xxx第 6 页 共 7 页（2）原式 2224()0454xxxx251（3）原式 2321abab【总结升华】做题之前要仔细观察，注意从整体的角度看待问题.举一反三：【变式】下列何者是 的因式？（ ）7652821xxA2 3 B C D()513x627x【答案】C；解： ，765258183xxx则 是多项式的一个因式2()6、已知长方形周长为 300 厘米，两邻

10、边分别为 厘米、 厘米，xy且 0，求长方形的面积32234xyy【思路点拨】把 0 化简成 ，可得 ，x2xyxy2xy由题意可得 ，解方程组 即可.150xy215y【答案与解析】解： 032234 0xyxy 02 ， ， （不合题意，舍去）xyxy又由题意可得 15解方程组 20xy解之得， 100 ， 50长方形的面积100505000 平方厘米第 7 页 共 7 页【总结升华】本题是因式分解在学科内的综合运用，主要考查了分组分解法，提取公因式法和运用平方差公式法举一反三：【变式】因式分解： ，正确的分组是（ ）2148xyA B2()()2(14)8xyxC D28xyy【答案】D；当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解本题中 正248xy好符合完全平方公式，应考虑 2，3，4 项为一组