1、红绿灯优化问题摘要红绿灯（交通信号灯）系以 规定之时间上交互更迭之光色 讯号，设置于交岔路口或其他特殊地点，用以将道路通行权指定给车辆驾驶人与行人，管制其行止及转 向之交通管制 设施。为一由电力运转之交通管制设施，以红、黄、 绿三色灯号或辅以音响，指示车辆 及行人停止、注意与行进，设于交岔路口或其他必地点。有些红绿灯在设计的时候，由于考虑不周全， 环境的发展变化，出 现了一系列问题，使得不能真正的方便于人。为了使红绿灯能真正的方便于人，本文建模过程根据实际情况，考虑诸 如道路车辆行驶速度、行人行走速度、 车流量、人流量、路段宽度等相关问题 ，对这些因素进行了数据收集，利用数学方法 对其进行了分
2、析，得出了各个影响红绿灯变化的规律及其拟合方程。一、问题重述灯是用以将道路通行权指定给车辆驾驶人与行人，管制其行止及其转向之交通管制设施，红绿灯灯亮的时间长短问题影响了车辆和行人的通行。如控制方案不佳，会导致行人和车辆 通行的不便，怎 样设置才能使红绿灯时间达到最佳。在日常生活中我们知道红绿灯的表示如下：（一）绿灯亮时，准许车辆通行，但 转弯的车辆不得妨碍被放行的直行车辆、行人通行； （二）黄灯亮时，已越过停止 线的车辆可以继续通行； （三）红灯亮时，禁止车辆通行。根据其工作原理我们可以知道，在红绿灯前首先司机会看到黄灯，黄灯亮后变成红灯，红灯亮后，没有通过停止线的车辆则要停止，行人此时过马路
3、。此后再变绿灯，以此循环。但由于变化的规律性，地域的差异，红绿灯时间很难达到最佳。红绿灯时间差的决定因素大体可以归为两个：车流量和人流量。第一个因素车流量会因为地域经济发展程度而决定。所谓的地域经济发展程度会影响该地域人们的经济，人们的经济条件则决定车的总量。第二个因素人流量的主要影响条件也是地域经济发展程度，所以我们把总因素，即红绿灯的时间差因素归纳为地域经济发展因素的影响。根据路口设置信号灯的交通流量标准表，下表所示：公路等级 高速公路 一 二 三 四计算行车速度（km/h）120 100 80 60 100 60 80 40 60 30 40 20根据路口设置信号灯的交通流量标准表，下表
4、所示： 二、模型的建设1、假设公路路面行驶顺畅，所以 车辆设为质点，车 距相等；主道路交通流量（辆/h） 支道路交通流量（辆/h）主路宽度（m）高峰小时 12h 高峰小时 12h750 8000 350 3800800 9000 270 2100小于 10120 13000 190 2000900 10000 390 41001000 12000 300 28001400 15000 210 2200大于 101800 20000 150 15002、假设司机的反应时间相同；3、假设车辆离红绿灯较远的速度和离开红绿灯后的速度相等。三、符号说明Q 为等候红绿灯的人流量W 为车流量V 为车辆离红绿
5、灯较远时的速度（m/s）T 为红绿灯所占时间周期（s）I 为相邻 两红绿灯的道路长度（m）E 为所需通行时间占周期总时间的比例K 为车辆密度（辆/km）四、模型建立与求解在公路上选定一个坐标原点，记作 x=0.以车流运动方向作为 X 轴的正向，对于每一时刻 t 和每一点 x，引入 3 个基本函数；流量 W(x,t)时刻 t 单位时间内通过点 x 的车辆数；密度 K(x,t)时 刻 t 点 x 处单 位长度内的车辆数；速度 u(x,t)时 刻 t 通过点 x 的车流速度；单位时间内通过的车辆数等于单位长度内的车辆数与车辆速度的乘积，即W(x,t)=u(x,t)K(x,t)由这三个函数我们可以得知
6、，车流速度 u 总是随着车流密度 K 的增加而减小的。当一汽车前面没有 车辆的时候，它将以最大速度 V 行驶。当亮红灯时，车队首尾连接造成堵塞，车辆 无法前进，此 时 K 为最大值，车辆行驶速度 u=0.在交通模型中这个关系常用如下二次函数表述：W=uK(1-K/Km)由得出：U=um(1-k/km)最后得到，W 的最大极值点为 Km/2说明，红灯亮时道路中间的车辆密度为最大，首尾两端递减。若原来公路上的交通处于稳定状态，即初始密度 K（x）是常数。某时刻交通灯突然变红灯，于是前面 车辆继续行驶，后面的 车辆则一辆辆地堵塞起来。红绿灯的变化必然引起密度函数 K（x,t）的间断，一连串的间断点（
7、x,t ）在平面上构成一条孤立连续的间断线。考虑到如果汽车以 V0 (m/s)行驶的过程中遇到红灯，汽车将会经历一个减速过程，最后停在红灯线前，为了使模型较为简练，近似地取 作为汽车在0b3v这个过程中的速度。同样的，当绿灯亮时，汽车将经历 一个加速过程，最后以一个较大 Va=V0 的速度离开路口，模型建立的 时候认为 加速过程较短，可以忽略，汽车离开路口的速度为 Va。1.2.5 车流密度和速度假设定义一个变量车流密度 k(辆/km)表示在一千米长的道路上的平均的车辆数目。假设 k 只是速度 v 的函数，即 ，并且，v 越大，则 k 越小，v 越小，则()kk 越大。1.3 模型建立1.3.
8、1 车流波及波速列队行驶的车辆在信号交叉口遇到红灯后，即陆续停车排队而集结成密度高的队列；当绿灯开启后，排 队的车辆又陆续起动疏散成一列具有适当密度的队列。车流中两种不同密度部分的分界面掠过一辆辆车向车队后部传播的现象，称为车流的波动。此车流波动沿道路移动的速度称为波速。假设一条公路上由两个相邻的不同交通流密度区域（K1 和 K2）用垂线 S 分割这两种密度，称 S 为波 阵面，设 S 的速度为 w(w 为垂线 S 相对于路面的绝对速度) ，并规定垂 线 S 的速度 w 沿车流运行方向为正。如下图 1.1 表示：图 1.1 车流波示意图首先看波速公式的推导：假设一条公路上由两个相邻的不同交通流
9、密度区域（K1 和 K2）用垂线 S 分割这两种密度，称 S 为波 阵面，设 S 的速度为 w（ w 为垂线 S 相对于路面的绝对速度），并规定垂线 S 的速度 w 沿车流运行方向为 正。由流量守恒可知，在 t 时间内由 A 进入 S 面的车辆数等于由 S 面驶入 B 的车辆数，即：12()()vwKtvt可解得12V如图， (1.1)21Kw1.3.2 目标函数及约束条件1V2V1KKS w1vK2,vK3vKOS1 S2W1 W2图 1.2.汽车经过红灯前车流波的示意图P其中S1,S2 由于红灯，绿灯所造成的车流的扰动 而引起的车流波的波面，W1,W2 分别为两波的 传播速度/mV1 =V
10、0 /3 在受到红 灯车流波影响前的车的速度 m/sV2 =0 汽车在等红灯 时的速度V3 =V0 绿灯亮之后汽车离开的速度 m/sK1,K2,K3 分别为三个阶段的车流密度 辆/kmO 红绿灯的位置P 车 流波影响的最 终位置，即波面 S1,S2 在此相遇Tr,Tg 单位周期内红灯绿灯的时间先讨论使得路口交通畅通时的约束条件，由前面的车流波和波速的概念可以求得， (1.2)2111 2vKvw(1.3)3232 2K如果要使得因红灯而停在马路口的车辆得以全部消散，要求：W2 W1 (1.4)又设从绿灯亮到所有车均消散开所经历的时间为(1.5)12rwTt则要求 (1.6)gtT由于车辆进入城
11、区的方向与时间未定，假设车辆从两个垂直方向进入城区的事件分别为 A，B，且有 P(A)=P(B)=0.5，同时假设 在汽车行驶的过程中不拐弯，即汽车在每个路口都只能往前行驶。式 1.5、1.6 为模型的约束条件，除此之外还有非负约束。如果要使车辆进入城区的用时极小，则使Min E(t)=P(A)E(t|A)+P(B)E(t|B) (1.7)式 1.7 为模型目标函数。现在分别考虑 E(t|A)和 E(t|B)计算方法：由于红绿灯有一个固定周期为(Tr+Tg)，现在假设汽车进入道路时红绿灯的相位 ， ，假设 的时刻为在汽车驶入城市道路的时候，离它最近的x0,1U0x第一个红灯刚好处于刚亮的状态，
12、则当 ，表示汽 车进入道路的瞬间，()1rgxT红灯亮，而若 ，表示汽 车进入道路的瞬 间，绿灯亮。()1rgxT则考虑到这样的周期性，可以有如下的划分：OS(Tr+Tg)V0(Tr+Tg)V0 (1-x)(Tr+Tg)V01 N图 1.3. x 相位时进入长为 l 的道路时，计算的划分其中假设道路的原长为 l0，则有 (1.8)000(1)()rgrglxTvsTOS0(Tr+Tg)V0SS图 1.4.最后一次红灯亮时汽车可能的位置假设当红灯刚好亮的时候距红灯距离为 S0 的范围内，所有的车辆会受到红绿灯波的影响。（将（1.5）代入）(1.9)21210()rrKwTtws如果有 SS0，则
13、汽车走完这 S 的路程所用的时间可表示为：(1.10)1223srsTKwv上式等式右边第一项表示等待红灯所需要的时间，第二项表示由于绿灯波的延迟所造成的时间差，而第三项表示从停车位置行驶到路口所花的时间。此时的总的时间为 (1.11)0()rslTxv而如果 S0 S(Tr+Tg)V0 时可以想象该车将不再受到红灯的影响，即它可以以它现在的匀速速度 V0 通过红绿灯路口。此 时 它通过该段路所用的时间为：(1.12)0()glTxv 001223(|)()()grrgrg rTlslTsKtApTxxwvv（1.13）(1.14)10(|)=(|)EtAtxpd同样的道理有 (1.15)10
14、(|)(|)tBtxpd将 p(x)=1 以及上面两个式子代入(1.7)即可求解出问题的最优解。需要指出的是，1.15 中的 即为 1.14 式中的 .gTrT1.4 模型的计算结果1.4.1 数值求解模型的优化变量为 、 ，根据不同 约束条件下的结果， 计算结果列于下表。gTr表 1.1 不同车流密度 k 取值下优化结果Tg/s Tr/sK11=120,K31=100;K12=100,K32=800 0K11=140,K31=120;K12=120,K32=1000 0K11=120,K31=100;K12=90,K32=750 0注：表中 K 下标第一位表示第几阶段的车流密度，第二位表示南
15、北向或东西向。上表的求解结果表明，对于本模型的优化目标函数，约束 1.5，1.6 均为松弛约束，或者说，模型的最优分配方案是红、绿灯周期尽可能地短。显然，这样的求解结果与实际情况完全不同。 导致问题的原因在 1.4.2 中讨论，下面 仅从一点修正模型，即假设为了让行人有足 够的时间通过马路，两个方向绿灯时间有下界，即将非 负约束加强为某一正值下界约束。求解结果列于下表。表 1.2 不同下界约束下的优化结果约束下界取值/s Tg/s Tr/s10 10 1020 20 2030 30 30可见该模型目标函数的结构将使得约束 1.5、1.6 保持满足，且模型的优化结果将趋向于使红绿灯周期尽可能地小
16、，这一点不应修正改变。1.4.2 模型的缺陷该模型成立的一个必要条件是车流是连续的均匀流，才有了车流波的概念，但实际上由于司机的主观意识的影响，车的运动极不规律，也就是说实际中的车流难以满足连续均匀流这样苛刻的条件。如果以车的实际运动或者简化的加速减速进行计算，必然牵扯到微 积分的计算，将使 计算的 难度将大大地提高。在遭遇红绿灯前后车的减速和加速不可能是一个瞬间的突变的过程，同时车流密度 K 不可能仅仅是 v 的函数，也是随着 v 而连续变化的，这样的话，模型的推导必须以微积分的知识为基础。车流波的形式将变得很复杂，不再简单地满足该模型。最为重要的一点是，根据 1.4.1 中的求解结果可以推测出，由于没有考虑到司机的反应时间，还有穿过马 路的行人对交通的影响导致求解的结果是 Tr 和 Tg越小得到的时间期望越低。但是在实际的运用中，如果 Tr 和 Tg 过小可能会导致出现绿灯期间没有车会通过马路或者没有行人能够通过人行道的情况。参考文献（1）杨树祺，道路交通常用数据手册，中国建筑工业出版社， 2002 年 11 月
