1、密克定理是几何学中关于相交圆的定理。1838 年， 奥古斯特密克叙述并证明了数条相关定理。许多有用的定理可由其推出。1. 定理陈述三圆定理：设三个圆 , 交于一点 O，而21C3, 分别是 和 , 和 , 和 的另一交点。设 A 为 的点，直PNM1C23 1线 MA 交 于 B，直线 PA 交 于 C。那么 B, N,C 这三点共线。2逆定理：如果ABC 是三角形，M, N,P 三点分别在边 AB, BC,CA 上，那么三角形APM, BMN, CNP 的外接圆交于一点 O。完全四线形定理：如果 ABCDEF 是完全四线形，那么三角形EAD, EBC,FABFDC 的外接圆交于一点 O，称为
2、密克点。四圆定理：设 , 为四个圆， 和 是 和 的交点， 和 是21C431AB1C22AB和 的交点， 和 是 的交点， 和 是 和 的交点。那么 ,2C3AB,4 1, , 四点共圆当且仅当 , , , 四点共圆。A4123五圆定理：设 ABCDE 为任意五边形，五点, 分别是JIHGF,的交点，那么三角形ABF, ABDECEBDACE和，和和和和 ,BCG, CDH, DEI. EAJ 的外接圆的五个不在五边形上的交点共圆，而且穿过这些交点的圆也穿过五个外接圆的圆心。逆定理：设 , 五个圆的圆心都在圆上 ，相邻的圆交于 上，那21C435 CC么把它们不在 上的交点与比邻同样的点连起
3、来，所成的五条直线相交于这五个圆上。葛 尔 刚 点 ： ABC 的 内 切 圆 分 别 切 边 AB、 BC、 CA 于 F、 D、 E， 则AD、 BE、 CF 三 线 共 点 ， 此 点 即 为 葛 尔 刚 点Newtons Theorem 特 指 平 面 几 何 中 的 牛 顿 定 理 牛顿线：和完全四边形四边相切的有心 1圆锥曲线的心的轨迹是一条直线,是完全四边形三条对角线中点所共的线。 （涵盖了圆外切四边形的对角线中点连线过圆心的定理) 牛顿定理 1：完全四 边 形 两条对 边 的延长线的交 点 所连线 段 的中 点 和两条对 角 线 的中点，三 点 共 线 。这条直 线 叫做这个四
4、边形的牛顿线。 四 边 形 ABCD,ABCD=E,ADBC=F,BD 中 点 M,AC 中 点 L,EF 中 点 N 证 明 ： 取 BE 中 点 P,BC 中 点 R,PNCE=Q 牛 顿 定 理 1R,L,Q 共 线 QL/LR=EA/AB M,R,P 共 线 RM/MP=CD/DE N,P,Q 共 线 PN/NQ=BF/FC 三 式 相 乘 得 : QL/LR*RM/MP*PN/NQ=EA/AB*CD/DE*BF/FC 由 梅 涅 劳 斯 定 理 QL/LR*RM/MP*PN/NQ=1 由 梅 涅 劳 斯 定 理 的 逆 定 理 知 :L,M,N 三 点 共 证 毕 故牛顿定理 1 成
5、立 牛顿定理 2 圆外切四边形的两条对角线的中点，及该圆的圆 心 ，三点共线。 证 明 ： 设 四 边 形 ABCD 是 I 的 外 切 四 边 形 ， E 和 F 分 别 是 它 的 对 角 线 AC和 BD 的 中 点 ， 连 接 EI 只 需 证 它 过 点 F， 即 只 需 证 BEI 与 DEI 面 积 相 等 。 牛 顿 定 理 2 图显 然 ， S BEI=-S BIC+S CEI+S BCE， 而 S DEI=-S ADE+S AIE+S AID。 注 意 两 个 式 子 ， 由 ABCD 外 切 于 I， AB+CD=AD+BC， S BIC+S AID=1/2*S四 边 形
6、 ABCD， S ADE+S BCE=1/2*S ACD+1/2*S ABC=1/2*S 四 边 形 ABCD 即 S BIC+S AID=S ADE+S BCE， 移 项 得 S BIC-S BCE=S ADE-SAID， 由 E 是 AC 中 点 ， S CEI=S AEI， 故 S BIC-S CEI-S BCE=S ADE-SAIE-S AID， 即 S BEI= DEI， 而 F 是 BD 中 点 ， 由 共 边 比 例 定 理 EI 过 点 F 即 EF过 点 I， 故 结 论 成 立 。 证毕。 牛顿定理 3 圆的外切四边形的对角线的交点和以切点为顶点的四边形对角线交点重合。证
7、明 : 设 四 边 形 ABCD 的 边 AB,BC,CD,DA 与 内 切 圆 分 别 切 于 点 E,F,G,H. 首先 证 明 ,直 线 AC,EG,FH 交 于 一 点 .设 EG,FH 分 别 交 AC 于 点 I,I. 显 然 AHI= BFI 因 此 易 知 AI*HI/FI*CI=S(AIH)/S(CIF)=AH*HI/CF*FI 故 AI/CI=AH/CF. 同 样 可 证 :AI/CI=AE/CG 又 AE=AH,CF=CG. 故 AI/CI=AH/CF=AI/CI. 从 而 I,I重 合 .即 直 线 AC,EG,FH 交 于 一 点 . 同 理 可 证 :直 线 BD,
8、EG,FH 交 于 一 点 . 因 此 直 线 AC,BD,EG,FH 交 于 一 点 . 证 毕 。等 角 共 轭 点 ： 描 述 一 ： 三 角 形 内 一 点 P,过 A 做 直 线 L1 与 AP 关 于 角 A 的 角平 分 线 对 称 ,同 样 过 B,C 分 别 做 L2,L3.这 三 条 直 线 交 于 P1,则 P1 是 P 的 等角 共 轭 点 ； 描 述 二 ： 设 P、 Q 是 三 角 形 ABC 内 两 点 ， PAB= QAC, PBC= QBA, PCB= QCA,满 足 题 设 条 件 的 两 点 P、 Q 称 为 ABC 的 等 角 共 轭 点 。圆内接四边形
9、与外切四边形当四边形与其它的知识点综合在一起时，其内容丰富多彩。在本节，我们主要介绍圆内接四边形与外切四边形的内容。对于圆内接四边形与外切四边形，显然有以下的性质：1圆内接凸四边形的对角互补；圆内接接凹四边形的对角相等。2圆内接凸四边形的一个外角等于其不相邻的内对角。3圆外切四边形的对边之和相等。命题 1 如图，证明 。),(),(CDABO证明：根据交比的定义和圆的性质，得),(sinsiiiss),( CABODACBO4托勒密定理：圆内接四边形的对边之积的和等于对角线之积。证明一 在 BD 上选一点 E，使得BAC=EAD。在 ABC 和 AED 中， BAC=EAD ，BCA=EDA
10、ABCAED， ，即 。 （1）ADCEBACB在 ABE 和 ACD 中， BAE=CAD ，ABE=ACD ABEACD， ，即 。 （2）CDBE（1）+（2）得，BAD即 。AB证明二 如图，因为 X(BC, AD) + X(BA, CD)=1，即 OOAB CDCDB AXCDB AEEADBFMC1sinsisinsi AXCBDCXABD由正弦定理得1即 。A5圆内接凸四边形的密克点在一条对边交点的连线上。证明：如图，设 M 是密克点，连 CM、EM、FM ，那么CME =CBA =BCA =CDF = 180 0 CMF所以 E、M、F 共线。例 圆内接四边形对边交点连线的平方
11、等于由此二点向圆所作切线的平方和。证明：如图，作四边形 ABCD 的密克点，即 BCE 和 CDF 的外接圆的交点 M，则M 在 EF 上。从而有 22FHEGBCD例 1 如图, （CD，PQ ）= 1。 证明：根据命题 1 知 A(A B，C D) = B(A B，C D)，即 （PQ，CD ）=（QP，CD） 。所以 （PQ，CD ）= 1。本结论可叙述为：过圆外一点 P 任作割线 PCD，则 C、D、P 的第四调和点在一条定直线上。命题 2 如图， PC，PD 是切线， OP 是圆的直径，过 Q 任作一弦 AB，求证：PO 平分APB。证明：因为 PC，PD 是切线，所以 ，2OAB所
12、以 O、A、P、B 四点共圆，所以APO=ABO=BAO= BPO ，即 PO 平分APB。OPCDHQABP OCDQABPDBAQCECDBAGFHMlOP HABKOHBCAPK例 2 过圆内一点 P 任作直线交圆于 A、B 两点，则 A、B、P 的第四调和点 Q 在一条定直线上。证明：如图，过 H 作 HQ 垂直于 OP 交 AB 于 Q，那么根据命题 2 知 HO 平分AHB，但 HQHP，从而 HQ 也是AHB 的平分线。根据角平分线的性质知， （AB，PQ）= 1。所以 A、B、P 的第四调和点在一条定直线上。本结论可叙述为：过圆内一点 P 任作割线 PCD，则 C、D、P 的第
13、四调和点在一条定直线上。定义 过一点 P 作直线交圆于 A、B ，则 A、B 、P 的第四调和点称为 P（关于圆）的共轭点。根据例 1 和例 2 知，我们有定理 点 P 的共轭点的轨迹 l p 是一条直线。注：我们称 l p 是 P 的极线，而 P 称为 l p 的极点。当点 P 在圆上时，规定 P 的极线为过 P 的切线，而切线的极点就是切点。当点 P 在圆外时，P 的极线就是 P 的切点弦所在的直线。例 3 设O 与直线 l 相离，过 l 上的点 P 作O 的切线 PA、PB ，则切点 A、B 的连线过定点。证明：连 AB，过 O 作 OH l 于 H，且交 AB 于 K。 O、A、P、H
14、 共圆， OBK=OPA= OPB= OHB ， OHBOBK OB 2=OKOH，即 R2= OKOH（其中 R 是O 的半径） ，从而 K 是一个定点，即 AB 过一个定点。问题探索：（1）本命题可叙述为：共线点的极线共点。（2）当 l 与圆相切时，结论是否仍成立？（3）当 l 与相交时结论是否成立？（分析：过 O 作 l 的垂线，垂足为 H，则 O、H、B、P、A 共圆。如图， BHK= BPO= APO=ABO，故OHB=OBK，从而 OHBOBK。所以 ，即 OK 为常数。所以 P 的切点弦通过一个定点。 ）KBH（4）在（3）中，当 P 进入圆的内部时，情形会起什么变化？例 4 过
15、圆外一点 H 任作一条割线交圆于两点 A、B ，求证：A、B 处的切线的交点 P在一条定直线上。证明：任作一条割线 HAB，交O 于 A、B ，过 H 作切线 HC，C 是切点，作 CKOH 于 K，那么HKOH=HC2= HAHB O、K、B、A 共圆， O、A、P、B 共圆， O、K、B、A、P 共圆，lOPABHK OHKP。由此即得 P 在过 K 且垂直于 OH 的直线（即 H 的切点弦）上，所以所有的 P 共线。问题探索（1）本命题可叙述为：共点线的极点共线。（2）当 H 点在圆上时，结论是否成立？（3）当 H 在圆内时，结论是否成立？（分析：如图，过 H 作 OH 的垂线交圆于 C
16、，作 C 处的切线交 OH 的延长线于 K，则，BHAO2所以 O、A、K、B、P 共圆，故 PK 垂直于 OH。但 K 是固定点，所以 P 在一条定直线上。）（4）当 HAB 与圆相离时，情形会起什么变化？定理 共线点的极线共点，共点线的极点共线。定理 过圆的内接四边形一组对边的交点作圆的切线，则两个切点，另一组对边的交点，及对角线的交点，四点共线。证明：如图，根据完全四边形的调和性可知 P 的极线就是 QR，另一方面，P 的极线就是 P 的切点弦 XY。所以 Q、R 、X、Y 共线。定理 圆内接四边形一组对边的端点处切线的交点，对角线交点及另一组对边的交点，四点共线，且它们互相调和分割。证
17、明：如图，因为 Q 的极线是 PR，故 Q 与 R 是一对共轭点，同理 P 与 R 也是一对共轭点，故 R 的极线是 PQ，即 PQ 的极点是 R。因为 PAB 的极点为 T，PDC 的极点为S，PR 的极点为 Q，PQ 的极点为 R，而共点线的极点共线，所以 Q、T、R 、S 共线。同理有 P、U、R、 V 共线。设 AD 与 PR 的交点为 X，则（ AD，QX）= 1，从而在中心 U 的投影下有（TS，QR ）=（AD，QX）= 1。由此定理还可得， 麦克劳林定理 圆外切四边形的对角线，对边切点的连线，四线共点，且对角线调和分割对边切点的连线。例 练 习 A（切点弦专题）1 设O 与直线
18、 l 相离，过 l 上的点作O 的切线、，则切点、的连线过定点。2 设O 外有 n 个共线点 Pi(i=1, 2, ，n) ，过 Pi 作O 的切线，切点为OABPHKCPABDCQ RUSTVPABDCQ RX Y i，B i，则直线 iBi 共点。3 过圆外一点任作一条割线交圆于两点，则这两点处的切线的交点在一条定直线上。4 过圆外一点 P 作圆的切线 PA、PB ，切点为 A、B ，连 AB、OP 交于 K。过 K 任作一弦 CD，则 OH 平分CHD。5 设 P 为圆外一点，任作圆的直径 iBi，则 P iBi 的垂心在一条定直线上。6 设 H 为锐角 ABC 的垂心，由 A 向以 B
19、C 为直径的圆作切线 AP、AQ，切点为P、Q，求证： P、H、Q 三点共线。 （1996 年，CMO）7 直线 m（不过圆心）与O 相交，过 m 在圆外的点作圆的两条切线，切点为A、B ，则 AB 与 OK 交于定点（其中 OKm 于 K） 。8 过O 内任一点 K 作弦 iBi（直径除外） ，再过 Ai、B i 分别作圆的切线交于 Pi，则所有 Pi 共线。9 设 K 是 O 直径 MN 上异于 O 的一点，过 K 任作一弦 iBi，连 iM、B iN 交于Pi，则所有 Pi 共线。10 设 K 是圆内异于圆心的任一点，过 K 作两条不等的弦 iBi，C iDi，连AiCi、B iDi 交
20、于 Pi，则所有 Pi 共线。11设 AB 是圆 O 的直径，直线 m 过 K 且与 AB 垂直，Q i 为 m 上任一点，连AQi、BQ i 分别交圆于 Di、C i，则 CiDi 共点。12设 P 是圆外定点，过 P 任作两条不相等的割线 PDiAi、PC iBi。设 iBi、C iDi 交于Qi，则所有 Qi 共线。13四边形 ABCD 内接于圆，其边 AB 和 CD 的延长线交于点 P，AD 与 BC 的延长线交于点 Q，由 Q 作圆的两条切线 QE、QF ，切点为 E、F，求证 P、E、F 三点共线。14设 n 为过圆心的一条直线。过圆内异于圆心的任一点 K，在直线 n 的同侧作直线
21、AK、BK 分别交圆 O 于 A、B，使它们与直线 n 成等角，则 AB 与 n 交于定点 H。15过圆外一点 H 作割线 HBA（直径除外） ，试问 OH 上是否存在一点 K，使BKH=AKO。16如图，已知 A 为平面上两半径不等的 O 1 和O 2 的一个交点，两外公切线P1P2，Q1Q2 分别切两圆于 P1、P 2、 Q1、Q 2；M 1、M 2 分别为 P1Q1、P 2Q2 的中点，求证：O 1AO2=M 1AM2。17设 A、B、C、D 是一条直线上依次排列的四个不同点，分别以 AC、BD 为直径的两圆相交于 X 和 Y，直线 XY 交 BC 于 Z。若 P 为直线 XY 上异于
22、Z 的一点，直线 CP 与以 AC 为直径的圆相交于 C 及 M，直线 BP 与以 BD 为直径的圆相交于 B 及 N。证明：AM、DN、XY 三线共点。18如图，设 PA、PB 是O 的切线，A、B 是切点，割线 PEC 交 AB 于 D，若 PE=2，CD=1，求 DE 的长。19直线 AB 与圆相切于 B，弦 CD 经过 AB 的中点 M，直线 AC 交圆于 E，AD 交圆于 F，证明：EF/AB。20在直角 ABC 中 AB 为斜边，CH 为斜边上的高，以 AC 为半径作A。过 B 作A 的任一割线交A 于 D、 E，交 CH 于 F（D 在 B、F 之间） ，又作ABG= ABD，G
23、在A 上，G 与 D 在 AB 异侧，求证： E、H、G 共线。练 习 B1四边形的每双对边的中点连线及对角线中点连线互相平分。2若四边形的两对角线互相垂直，则一双对边的平方和等于另一双对边的和。3四边形对边中点连线的平方和，等于两对角线平方和的一半。4顺次连接简单四边形各边中点所成四边形的面积等于原四边形面积的一半。5在凸四边形 ABCD 中，设 E、F、G、H 各是四边 AB、BC、CD、DA 的中点，I、J 分别是对角线 AC、BD 的中点。作直线 IO/BD，JO/AC，求证：SOHAE=SOEBF=SOFCG=SOGDH。6凸多边形的内角不能有多于三个的锐角。7凸四边形中，若一双对边
24、的平分线或平行或重合，则他双对角相等；反之，若一双对角相等，则另一双对角的平分线平行或重合。8设四边形 ABCD 有内切圆，则 ABC 与 CDA 的内切圆相切，BCD 与DAB 的内切圆也相切。9在圆内接四边形 ABCD 中，若 AC 平分 CD，则 AB2+BC2+CD2+DA2=2AC2 。10设四边形 ABCD 有内切圆或旁切圆O，则AOB 与COD 、AOD 与BOC分别相切。11设四边形有一双对边相等，则它双对边的中点连线与该双对边所在直线的交角相等。12设一直线与圆内接四边形一双对边所在直线交成相等的同侧内角，则变与他双对边所在直线交成相等的同侧内角。13四点两两连成四个三角形，
25、求证它们的内切圆中任两圆的公切线等于它两圆的公切线，但这些公切线以落在各连线上面的为限。14既有内切圆又有外接圆的四边形其对边切点的连线必互相垂直。15设四边形无外接圆，两双对边的中垂线垂直相交，则这两交点的连线垂直于两对角线中点的连线。16以一简单四边形的每边向外作正方形，求证对边上二形的中心连线垂直并且相等。17高逡一圆内接四边形每双对边所在直线的交角的平分线，则所作四线交成一个矩形。18圆上四点两两连成四个三角形，它们的内心是一个矩形的顶点。19在四边形 ABCD 中，设 ADBC，内外分 AB 边于 E、F，又内外分 CD 边于G、H，使，BCADHGFBAE求证：EGFH。20设四边
26、形 ABCD 内接于一圆，作弦 AE 及 BF，若 AE/BD 且 BF/AC，则 EF/CD。21ABCD 是圆内接四边形，过 A、B 任作一圆交直线 AD、BC、AC、BD 于E、F、 G、H ，则 CD/EF/GH。22ABCD 是圆内接四边形，过 A、B 任作一圆交直线 AD、BC、AC、BD 于E、F、 G、H ，设 BE 与 AC， AF 与 BD，BG 与 AD，AH 与 BC 交于 E、F 、G 、H ，则CD/EF/GH。23设四边形有一角是直角且对角线相等，则对边的中垂线交点与该直角的顶点共线。24在圆内接四边形中，设每边两端所引邻接边的长线相交，则所得四交点与四边形的对角
27、线交点及外接圆心共线。24 ；圆上四点两两连成四个三角形，它们的内心、旁心合计十六点分配在八条直线上，每线上四点，而这八线是两组互相垂直的平行线，每组含四线。25设四边形 ABCD 内接于圆 O，且 ACBD，则 OAB、OBC、OCD、ODA 的垂心共线。26圆内接四边形的一双对边（所在直线）交角的平分线，与他双对边（所在直线）交角的平分线分别垂直，两垂足与两对角线的中点组成调和点列。27设自四边形的对角线的交点引直线平行于每边而与对边（所在直线）相交，则四交点共线。28在四边形 ABCD 中，A、C是 AC 上的两点，B、D是 BD 上的两点。若AB/AB，BC/BC，CD/CD，则 DA
28、/DA，且 AB与 CD，BC 与 DA，CD与AB，DA与 BC 的交点共线。29在四边形 ABCD 中，O 是 AC 与 BD 的交点，一直线交 AB、BC、CD、DA 于E、F、 G、H ，连 EO、FO、 GO、HO，设依次各交 CD、 DA、AB、BC 于E、F、G、H ，求证这四交点共线。30在四边形 ABCD 中，A、C是 AC 上的两点，B、D是 BD 上的两点。若 AB与AB、BC与 BC、CD与 CD 的交点共线，则 DA与 DA 的交点也在此线上，且 AB与CD，BC与 DA，CD与 AB，DA与 BC 的交点共线。31在一个四边形中，若有一双对角的平分线与另一对角线共点
29、，则它双对角的平分线也与另一对角线共点。32在二对角互相垂直的四边形中，过对角线交点向每边作长线，得四垂足，并设所作垂线又与对边相交，得四交点，则所得八点共圆。33若一个四边形有等角共轭点，那么这双等角共轭点在各边（所在直线）上的射影必共圆。34凸四边形各外角的平分线顺次相交，则所得四交点共圆。35P 是四边形 ABCD 的对角线交点，设PAB 与PCD 交于 Q，PAD 与PBC 交于R，则 P、Q、 R 三点与 AC、BD 的中点，五点共圆。36圆内接四边形两对角线的中点，在四边中点所连成的平行四边形各边（所在直线）上的射影八点共圆。37设圆内接四边形的两对角线互相垂直，则其交点在四边上的
30、射影与四边的中点，八点共圆。38在四边形 ABCD 中，ACBD，A、C是 AC 上的两点，B 、D是 BD 上的两点。若ABAB、BCBC 、CDCD，则 DADA，且四垂足及 AB与 CD，BC与DA，CD与 AB，DA与 BC 的交点，八点共圆。39平面上无三点共线的四点两两相连所的四个三角形，它们的九点圆共点。40一个完全四边形中包含三个四边形（凸的、凹的、折的各一个） ，每个四边形的对边都叫作完全四边形的对节。通过完全四边形每双对节的中点及它们所在边的交点作圆，证明所得六圆共点。41设 P、P 是四边形 ABCD 的等角共轭点，求证：（1）四圆PAB、PBC、PCD、PDA 会于一点
31、 Q；（2）四圆PAB、PBC、PCD 、PDA 会于一点 Q；（3）Q 与 Q也是四边形的等角共轭点。42设四边形 ABCD 内接于O，P 是 AC 与 BD 的交点，求证：（1）四圆OAB、PBC、OCD、PDA 共点；（2）四圆PAB、OBC 、 PCD、ODA 共点。43在一完全四角形中，依次除掉一双对边，然后通过余四边所成的完全四边形的密克点及所除两边之一的两端作圆，证明所得六圆共点。44在一完全四角形中，求证下列八圆共点：（1）通过共顶点三边的中点所作的圆，共四圆；（2）通过每双对边的中点及在这两边上的对角点所作的圆，共三圆；（3）通过每双对边的中垂线交点所作的圆。45在圆内接四边
32、形 ABCD 中，设每双对边的和各 m 和 n，两对角线的和为l，BCD、CDA、DAB、ABC 的内切圆直径分别为 d1、d 2、d 3、d 4。求证：(l-m)(l-n)=d1d3+d2d4。46设 ABCD 是圆内接四边形，则 。DACBAD47已知圆内接四边形的四边长为 a、b、c、d，试求两对角线的长。48设凸四边形 ABCD 内接于O（R ） ，而 AE 是O 中平行于 BD 的弦，则该四边形的面积为 。CEBAS449同时有外接圆和内切圆的四边形的面积告示于四边连乘积的平方根。50若凸四边形的对边乘积之和等于对角线之积，则此四边形必有外接圆。51完全四边形各边所成的四个三角形的垂心同在一条平行于西摩松线的直线（此直线称为完全四边形的垂心线）上。52完全四边形的牛顿线垂直于西摩松线及垂心线。53完全四边形的密克点至每双对顶点的距离之积彼此相等。
