1、1 椭圆的定义在解题中的妙用椭圆定义反映了椭圆的本质特征，揭示了曲线存在的几何性质有些问题，如果恰当运用定义来解决，可以起到事半功倍的效果，下面通过几个例子进行说明1求最值例 1 线段|AB|4，| PA|PB| 6，M 是 AB 的中点，当 P 点在同一平面内运动时，PM 的长度的最小值是( )A2 B. C. D52 5解析 由于|PA| PB|64 |AB|，故由椭圆定义知 P 点的轨迹是以 M 为原点，A、B 为焦点的椭圆，且 a3，c2，b .于是 PM 的长度的最小值是 b .a2 c2 5 5答案 C2求动点坐标例 2 椭圆 1 上到两个焦点 F1，F 2 距离之积最大的点的坐标
2、是_x29 y225解析 设椭圆上的动点为 P，由椭圆的定义可知|PF1|PF 2|2 a10，所以|PF 1|PF2| 2 225，(|PF1| |PF2|2 ) (102)当且仅当|PF 1| PF2|时取等号由Error! 解得|PF 1|PF 2|5a，此时点 P 恰好是椭圆短轴的两端点，即所求点的坐标为(3,0)答案 (3,0)点评 由椭圆的定义可得“|PF 1|PF 2|10” ，即两个正数|PF 1|，|PF 2|的和为定值，结合均值不等式可求|PF 1|，| PF2|积的最大值，结合图形可得所求点 P 的坐标3求焦点三角形面积例 3 如图所示，已知椭圆的方程为 1，若点 P 在
3、第二象限，且PF 1F2120 ，求x24 y23PF 1F2 的面积解 由已知得 a2，b ，3所以 c 1，|F 1F2|2c2.a2 b2在PF 1F2 中，由余弦定理得|PF2|2 |PF1|2 |F1F2|22|PF 1|F1F2|cos 120，即|PF 2|2| PF1|242|PF 1|， 由椭圆定义，得|PF 1| PF2|4，即|PF 2| 4| PF1|. 将代入，得|PF 1| .65所以 SPF 1F2 |PF1|F1F2|sin 12012 2 ，即PF 1F2 的面积是 .12 65 32 353 353点评 在PF 1F2 中，由椭圆的定义及余弦定理可得关于|P
4、F 1|，| PF2|的方程组，消去|PF 2|可求|PF 1|.从以上问题，我们不难发现，凡涉及椭圆上的点及椭圆焦点的问题，我们应首先考虑利用椭圆的定义求解2 如何求椭圆的离心率1由椭圆的定义求离心率例 1 以椭圆的焦距为直径并过两焦点的圆，交椭圆于 4 个不同的点，顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为_解析 如图所示，设椭圆的方程为 1 (a b0)，半焦距为 c，由题x2a2 y2b2意知F 1AF2 90，AF 2F160.|AF 2| c，|AF1|2 csin 60 c.3|AF 1| |AF2|2a( 1)c.3e 1.ca 23 1 3答案 1
5、3点评 本题利用了圆及正六边形的几何性质，并结合椭圆的定义，化难为易，使问题简单解决2解方程(组)求离心率例 2 椭圆 1 (ab0)的左焦点为 F1(c, 0)，A(a，0) 、B(0，b)是两个顶点，如果x2a2 y2b2F1 到直线 AB 的距离为 ，则椭圆的离心率 e_.b7解析 如图所示，直线 AB 的方程为 1，x a yb即 bxayab0.点 F1(c,0)到直线 AB 的距离为 ， ，b7 b7 | bc ab|a2 b2 |ac| ，7 a2 b2即 7a214ac7c 2a 2b 2.又b 2a 2c 2，整理，得 5a214ac8c 20.两边同除以 a2 并由 e 知
6、，8e 214e 50，ca解得 e 或 e (舍去)12 54答案 123利用数形结合求离心率例 3 在平面直角坐标系中，椭圆 1(a b0)的焦距为 2，圆 O 的半径为 a，过点 Px2a2 y2b2作圆 O 的两条切线，且这两条切线互相垂直，则离心率 e_.(a2c，0)解析 如图所示，切线 PA、PB 互相垂直，PA PB.又 OAPA，OBPB，OAOB，则四边形 OAPB 是正方形，故 OP OA，2即 a，e .a2c 2 ca 22答案 224综合类例 4 设 M 为椭圆 1 上一点，F 1、F 2 为椭圆的左、右焦点，如果MF 1F275，x2a2 y2b2MF 2F115
7、，求椭圆的离心率解 由正弦定理得 2csin 90 |MF1|sin 15 |MF2|sin 75 ，|MF1| |MF2|sin 15 sin 75 2asin 15 sin 75e .ca 1sin 15 cos 15 12sin 60 63点评 此题可推广为若MF 1F2，MF 2F1，则椭圆的离心率 e .cos 2cos 23 活用双曲线定义妙解题在解双曲线中的有关求离心率、最值等问题时，若能灵活应用双曲线的定义，能把大题化为小题，起到事半功倍的作用下面举例说明1求焦点三角形的周长例 1 过双曲线 1 左焦点 F1 的直线与左支交于 A、B 两点，且弦 AB 长为 6，则x216 y
8、29ABF2(F2 为右焦点)的周长是_解析 由双曲线的定义知|AF 2|AF 1|8，|BF2|BF 1|8 ，两式相加得|AF 2| BF2|(|AF 1|BF 1|)|AF 2| |BF2| |AB|16，从而有|AF 2|BF 2|16622，所以ABF 2 的周长为|AF2|BF 2|AB|22628.答案 28点评 与焦点有关的三角形周长问题，常借助双曲线的定义解决，注意解决问题时的拼凑技巧2最值问题例 2 已知 F 是双曲线 y 21 的右焦点，P 是双曲线右支上一动点，定点 M(4,2)，求x23|PM|PF|的最小值解 设双曲线的左焦点为 F，则 F(2,0) ，由双曲线的定
9、义知：|PF|PF| 2a2 ，所以|PF | |PF|2 ，3 3所以|PM| |PF| |PM |PF|2 ，要使|PM| |PF| 取得最小值，只需| PM|PF|取得最小3值，由图可知，当 P、F、M 三点共线时，|PM| |PF |最小，此时|MF|2 ，10故|PM |PF|的最小值为 2 2 .10 3点评 本题利用双曲线的定义对 F 的位置进行转换，然后再根据共线易求得最小值另外同学们不妨思考一下：若将 M 坐标改为 M(1,1)，其他条件不变，如何求解呢？若 P 是双曲线左支上一动点，如何求解呢？3求离心率范围例 3 已知双曲线 1(a0 ，b0)的左、右焦点分别为 F1、F
10、 2，点 P 在双曲线的右支上，x2a2 y2b2且|PF 1| 4|PF2|，试求双曲线离心率的取值范围解 因为|PF 1|4| PF2|，点 P 在双曲线的右支上，所以设|PF 2|m ，则| PF1|4m ，由双曲线的定义，得|PF 1| PF2|4mm 2a，所以 m a.23又|PF 1| |PF2| |F1F2|，即 4mm2c ，所以 m c，25即 a c，所以 e .23 25 ca 53又 e1，所以双曲线离心率的取值范围为 1b0)，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，AB 的中点为 N(x0，y 0)，x2a2 y2b2Error!得 0，x1 x2x1 x2a
11、2 y1 y2y1 y2b2即 ，y1 y2x1 x2 b2x1 x2a2y1 y2 b2x0a2y0又k AB 1，y 0 x0.y1 y2x1 x2 b2a2直线 ON 的方向向量为 ，ON (1， b2a2) a， .ON 13 b2a2a 23b 2，椭圆方程为 x23y 23b 2，又直线方程为 yx c .联立Error! 得 4x26cx3c 23b 20.x 1x 2 c， x1x2 c2.32 3c2 3b24 38又设 M(x，y)，则由 ，OM OA OB 得Error! 代入椭圆方程整理得2(x 3y ) 2(x 3y )2 (x1x23y 1y2)3b 2.21 21
12、 2 2又x 3y 3b 2，x 3y 3b 2，21 21 2 2x1x23y 1y24x 1x23c (x1x 2)3c 2 c2 c23c 20，32 92 2 21，故 2 2 为定值例 2 已知抛物线 y22px (p0)上有两个动点 A、B 及一个定点 M(x0，y 0)，F 是抛物线的焦点，且|AF|、| MF|、|BF |成等差数列求证：线段 AB 的垂直平分线经过定点(x 0p,0)证明 设 A(x1，y 1)、B(x 2，y 2)，由抛物线定义，知|AF|x 1 ，|BF|x 2 ，|MF|x 0 .p2 p2 p2因为|AF|、| MF|、|BF |成等差数列，所以 2|
13、MF|AF| |BF |，即 x0 .x1 x22设 AB 的中点为( x0，t)，t .y1 y22则 kAB .y1 y2x1 x2 y1 y2y212p y22p 2py1 y2 pt所以线段 AB 的垂直平分线方程为 yt (xx 0)，tp即 tx (x0p)py0.所以线段 AB 的垂直平分线过定点(x 0p,0)2最值问题解决圆锥曲线中的最值问题，一般有两种方法：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解非常巧妙；二是代数法，将圆锥曲线中的最值问题转化为函数问题(即根据条件列出所求的目标函数)，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角有界法、函数单调法
14、及基本不等式法等，求解最大或最小值例 3 已知 F 是双曲线 1 的左焦点，A(1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则 |PF|PA|x24 y212的最小值为_解析 设右焦点为 F，由题意可知 F坐标为(4,0)，根据双曲线的定义，|PF| PF| 4，|PF|PA|4| PF| PA|，要使 |PF|PA| 最小，只需|PF| PA|最小即可，|PF| PA|最小需 P、F、A 三点共线，最小值即4|F A|4 45 9.9 16答案 9点评 “化曲为直”法求与距离有关的最值是平面几何中一种巧妙的方法，特别是涉及圆锥曲线上动点与定点和焦点距离之和的最值问题常用此法例 4 已知平面内一动点
15、P 到点 F(1,0)的距离与点 P 到 y 轴的距离的差等于 1.(1)求动点 P 的轨迹 C 的方程；(2)过点 F 作两条斜率存在且互相垂直的直线 l1，l 2，设 l1 与轨迹 C 相交于点 A，B，l 2 与轨迹C 相交于点 D，E，求 的最小值AD EB 解 (1)设动点 P 的坐标为(x ，y)，由题意有 |x|1.化简得 y22x2|x|.x 12 y2当 x0 时，y 24x ；当 x0)，则圆的方程可设为(xp) 2(yp) 28，由于 O(0,0)在圆上， p 2p 28，解得 p2，圆 C 的方程为(x2) 2(y 2) 28.(2)椭圆 1 与圆 C 的一个交点到椭圆
16、两焦点的距离之和为 10，由椭圆的定义知x2a2 y292a10，a5，椭圆右焦点为 F(4,0)假设存在异于原点的点 Q(m，n) 使| QF|OF |，则有Error! 且 m2n 20，解得Error!故圆 C 上存在满足条件的点 Q .(45，125)3直线存在型问题例 3 试问是否能找到一条斜率为 k (k0)的直线 l 与椭圆 y 21 交于两个不同的点x23M，N，且使 M，N 到点 A(0，1) 的距离相等，若存在，试求出 k 的取值范围；若不存在，请说明理由分析 假设满足条件的直线 l 存在，由平面解析几何的相关知识求解解 设直线 l：y kxm 为满足条件的直线，再设 P
17、为 MN 的中点，欲满足条件，只要APMN 即可由Error! 得(1 3k 2)x26mkx 3m230.设 M(x1，y 1)， N(x2，y 2)，则 xP ，y Pkx Pm ，x1 x22 3mk1 3k2 m1 3k2k AP .AP MN ，3k2 m 13mk (k0)，故 m .3k2 m 13mk 1k 3k2 12由 36 m2k24(13k 2)(3m23)9(13k 2)(1k 2)0，得1|F1F2|，亦即 2a2c.而本题中| MF1| MF2|F 1F2|，所以点 M 的轨迹不是椭圆，而是线段 F1F2.正解 因为点 M 到两定点 F1，F 2 的距离之和为|F
18、 1F2|，所以点 M 的轨迹是线段 F1F2.答案 D3忽视标准方程的特征而致误例 3 设抛物线 ymx 2 (m0)的准线与直线 y1 的距离为 3，求抛物线的标准方程错解 抛物线 ymx 2 (m0)的准线方程为 y .m4又与直线 y1 的距离为 3 的直线为 y2 或 y4.故 2 或 4.m8 或 m16.m4 m4所以抛物线的标准方程为 y8x 2 或 y16x 2.错因分析 错解忽视了抛物线标准方程中的系数，应位于一次项前这个特征，故本题应先化为 x2 y 的形式，再求解.1m正解 由于 ymx 2 (m0)可化为 x2 y，1m其准线方程为 y .14m由题意知 2 或 4，
19、14m 14m解得 m 或 m .18 116则所求抛物线的标准方程为 x28y 或 x216y.4涉及弦长问题时，忽视判别式 0 这一隐含条件而致误例 4 正方形 ABCD 的 A，B 两点在抛物线 yx 2 上，另两点 C，D 在直线 yx 4 上，求正方形的边长错解 AB 与直线 yx 4 平行，设 AB 的直线方程为 yxb，A(x 1，x )，B(x 2，x )，21 2则由Error! x 2x b0，|AB|2(1k 2)(x1x 2)24x 1x22(14b) AB 与直线 yx 4 间的距离为 d ，|b 4|22(14b) ，b 422即 b28b120，解得 b2 或 b
20、6，|AB| 3 或 |AB|5 .2 2错因分析 在考虑直线 AB 与抛物线相交时，必须有方程 x2xb0 的判别式 0，以此来限制 b 的取舍.正解 AB 与直线 yx 4 平行，设 AB 的直线方程为 yxb，A(x 1，x )，B(x 2，x )，21 2则由Error! x 2x b0，|AB|2(1k 2)(x1x 2)24x 1x22(14b) AB 与直线 yx 4 间的距离为 d ，|b 4|22(14b) ，即 b28b120，b 422解得 b2 或 b6，14b0 ，b .14b2 或 b6 都满足 0， b2 或 b6.|AB| 3 或 |AB|5 .2 27 圆锥曲
21、线中的数学思想方法的应用1方程思想方程思想就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或解方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决本章中，方程思想的应用最为广泛例 1 已知直线 y x2 和椭圆 1 (ab0)相交于 A，B 两点，且 a2b，若12 x2a2 y2b2|AB|2 ，求椭圆的方程5解 由Error!消去 y 并整理得 x24x 8 2b20.设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则由根与系数的关系得x1x 24，x 1x282b 2.|AB| 2 ，5 2 ，1 14 x1 x22 4x1x2 5即 2 ，52 16
22、48 2b2 5解得 b24，故 a24b 216.所求椭圆的方程为 1.x216 y242函数思想很多与圆锥曲线有关的问题中的各个数量在运动变化时，都是相互联系、相互制约的，它们之间构成函数关系这类问题若用函数思想来分析、寻找解题思路，会有很好的效果一些最值问题常用函数思想，运用根与系数的关系求弦的中点和弦长问题，是经常使用的方法例 2 若点(x，y)在 1 (b0) 上运动，求 x22y 的最大值x24 y2b2解 1 ( b0)，x24 y2b2x 24 0，(1 y2b2)即byb.x 22y4 2y(1 y2b2) 2y4 24 .4y2b2 4b2(y b24) b24当 b，即
23、0b，即b24 b24 b24 b24b4 时，若 yb，则 x22y 取得最大值，其最大值为 2b.综上所述，x 22y 的最大值为Error!3转化和化归思想在解决圆锥曲线的综合问题时，经常利用转化和化归思想转化题中的已知条件和所求，真正化归为直线和圆锥曲线的基本问题这里的转化和化归非常关键，没有转化和化归，就很难找到解决问题的途径和方法例 3 如图所示，已知椭圆 1，直线 l：x 12，P 是 l 上任意一点，射线 OP 交椭圆x224 y216于点 R，又点 Q 在线段 OP 上，且满足| OQ|OP|OR| 2，当点 P 在 l 上运动时，求点 Q 的轨迹方程解 设 P(12， yP
24、)，R( xR，y R)，Q(x，y)，POx.|OR |2|OQ|OP|， 2 .(|OR|cos ) |OQ|cos |OP|cos 由题意知 xR0，x 0，x x 12. 2R又O，Q，R 三点共线，k OQk OR，即 . yx yRxR由得 y . 2R12y2x点 R(xR，y R)在椭圆 1 上，x224 y216 1. x2R24 y2R16由得 2(x1) 23y 22 ( x0)，点 Q 的轨迹方程是 2(x1) 23y 22 (x0)4分类讨论思想本章中，涉及的字母参数较多，同时圆锥曲线的焦点可能在 x 轴上，也可能在 y 轴上，所以必须要注意分类讨论例 4 求与双曲线
25、 y 21 有共同的渐近线且焦距为 10 的双曲线的方程x24分析 由题意可设所求双曲线的方程为 y 2 (0) ，将 分为 0，0 时，c 2 45 25，即 5，所求双曲线的方程为 1.x220 y25当 0 时，c 2 (4 )( )5 25，即 5，所求双曲线的方程为 1.y25 x220综上所述，所求双曲线的方程为 1 或 1.x220 y25 y25 x2205数形结合思想利用数形结合思想，可以解决某些最值、轨迹、参数范围等问题例 5 在ABC 中，BC 边固定，顶点 A 在移动，设|BC| m，当三个角满足条件|sin Csin B| |sin A|时，求顶点 A 的轨迹方程12解 以 BC 所在直线为 x 轴，线段 BC 的中垂线为 y 轴，建立直角坐标系，如图所示：则 B ， C .( m2，0) (m2，0)设点 A 坐标( x，y) ，由题设，得|sin C sin B| |sin A|.12根据正弦定理，得|AB |AC| m.12可知点 A 在以 B、C 为焦点的双曲线上这里 2a m，a .又 c m，12 m4 12b 2c 2a 2 m2.m24 m216 316故所求点 A 的轨迹方程为 1( y0)16x2m2 16y23m2
