1、立体几何单元测试卷一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分每小题中只有一项符合题目要求)1设 m,n 是两条不同的直线, 是两个不同的平面,则下列四个命题:若 ,m,则 m;若 m,n,则 mn;若 , m,则 m ;若 m,m,则 .其中为真命题的是( )A BC D2用与球心距离为 1 的平面去截球,所得的截面面积为 ,则球的体积为( )A. B.83 823C8 D.23233某个长方体被一个平面所截,得到几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为( )A4 B2 2C. D82034. 如图所示,正四棱锥 PABCD 的底面积为 3,体积为 ,E 为侧棱 PC2
2、2的中点,则 PA 与 BE 所成的角为( )A. B.6 4C. D.3 25直三棱柱 ABCA 1B1C1 的直观图及三视图如下图所示,D 为 AC 的中点,则下列命题是假命题的是( )AAB 1平面 BDC1BA 1C平面 BDC1C直三棱柱的体积 V4D直三棱柱的外接球的表面积为 4 3.6. 如图所示是一个直径等于 4 的半球,现过半球底面的中心作一个与底面成 80角的截面,则截面的面积为( )A. B2C2 Dsin807一个圆锥被过顶点的平面截去了较小的一部分,余下的几何体的三视图如图,则该几何体的表面积为( )A. 1 B2 3 15332 32 5 3 32C. D. 153
3、32 32 5 332 28二面角的棱上有 A、B 两点,直线 AC、BD 分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于 AB.已知 AB4,AC6,BD 8,CD2 ,则该二面17角的大小为( )A150 B45C60 D1209. 如图所示,已知ABC 为直角三角形,其中ACB90,M 为 AB 的中点,PM 垂直于 ABC 所在平面,那么 ( )APAPBPCBPAPBPCCPAPB PCDPAPBPC10正方体 ABCDA 1B1C1D1 中,E 是棱 BB1 中点,G 是 DD1 中点,F 是BC 上一点且 FB BC,则 GB 与 EF 所成的角为( )14A30 B120C60 D
4、9011已知正方体 ABCDA 1B1C1D1 棱长为 1,点 P 在线段 BD1 上,当APC 最大时,三棱锥 PABC 的体积为( )A. B.124 118C. D.19 11212. 已知正三棱锥 PABC 的高 PO 为 h,点 D 为侧棱 PC 的中点,PO 与BD 所成角的余弦值为 ,则正三棱锥 PABC 的体积为( )23A. h3 B. h3338 238C. h3 D. h338 334二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上)13已知四个命题:若直线 l平面 ,则直线 l 的垂线必平行于平面 ;若直线 l 与平面 相交,则有且只有
5、一个平面经过直线 l 与平面 垂直;若一个三棱锥每两个相邻侧面所成的角都相等,则这个三棱锥是正三棱锥;若四棱柱的任意两条对角线相交且互相平分,则这个四棱柱为平行六面体其中正确的命题是_14(2013江苏 ) 如图所示,在三棱柱 A1B1C1ABC 中,D,E,F 分别是AB,AC,AA 1 的中点,设三棱锥 FADE 的体积为 V1,三棱柱 A1B1C1ABC的体积为 V2,则 V1V 2 _.15(2012辽宁 )已知正三棱锥 PABC,点 P,A,B,C 都在半径为 的3球面上,若 PA,PB ,PC 两两相互垂直,则球心到截面 ABC 的距离为_16如图是一几何体的平面展开图,其中 AB
6、CD 为正方形, E、F、分别为PA、PD 的中点,在此几何体中,给出下面四个结论:直线 BE 与直线 CF 异面;直线 BE 与直线 AF 异面;直线 EF平面 PBC;平面 BCE平面 PAD.其中正确的有_个三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分 10 分) 如图所示,在四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,ADC45,ADAC1,O 为 AC 的中点,PO平面ABCD, PO 2,M 为 PD 的中点(1)证明:PB平面 ACM;(2)证明:AD平面 PAC;(3)求直线 AM 与平面 ABCD 所成角的正
7、切值18(本小题满分 12 分) 如图所示,在四棱锥 PABCD 中,PA 平面ABCD,四边形 ABCD 为正方形,AB4,PA 3, A 点在 PD 上的射影为 G 点,E 点在 AB 上,平面 PEC平面 PCD.(1)求证:AG平面 PEC;(2)求 AE 的长;(3)求二面角 EPCA 的正弦值19(本小题满分 12 分) 如图所示,在六面体 ABCDEFG 中,平面ABC 平面 DEFG,AD 平面 DEFG,EDDG, EFDG.且ABAD DEDG2, ACEF1.(1)求证:BF平面 ACGD;(2)求二面角 DCG F 的余弦值20(本小题满分 12 分) 如图所示,在三棱
8、柱 ABCA 1B1C1 中,ACBC,AB BB 1,AC BCBB 12,D 为 AB 的中点,且 CDDA 1.(1)求证:BB 1面 ABC;(2)求多面体 DBCA 1B1C1 的体积;(3)求二面角 CDA 1C 1 的余弦值21(本小题满分 12 分) 如图所示,在直三棱柱 ABCA 1B1C1 中,ACB 90, 2ACAA 1BC2.(1)若 D 为 AA1 的中点,求证:平面 B1CD平面 B1C1D;(2)若二面角 B1DCC 1 的大小为 60,求 AD 的长22(本小题满分 12 分) 如图所示,在四棱锥 P ABCD 中,侧面 PAD底面 ABCD,侧棱 PAPD
9、,PA PD,底面 ABCD 为直角梯形,其中2BCAD ,AB AD,AB BC1,O 为 AD 中点(1)求直线 PB 与平面 POC 所成角的余弦值;(2)求 B 点到平面 PCD 的距离;(3)线段 PD 上是否存在一点 Q,使得二面角 QACD 的余弦值为 ?若63存在,求出 的值;若不存在,请说明理由PQQD立体几何单元测试卷答案一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分每小题中只有一项符合题目要求)1 答案 C解析 为空间面面平行的性质,是真命题;m ,n 可能异面,故该命题为假命题;直线 m 与平面 也可以平行也可以相交不垂直故该命题是一个假命题;为真命题故
10、选 C.2答案 B解析 S 圆 r 21r 1,而截面圆圆心与球心的距离 d1, 球的半径为 R .r2 d2 2V R3 ,故选 B.43 8233答案 D解析 由三视图可知,该几何体如图所示,其底面为正方形,正方形的边长为 2.HD3,BF 1,将相同的两个几何体放在一起,构成一个高为 4 的长方体,所以该几何体的体积为 2248.124. 答案 C解析 连接 AC、BD 交于点 O,连接 OE,易得 OEPA.所求角为 BEO.由所给条件易得 OB ,OE PA ,BE .62 12 22 2cosOEB , OEB 60,选 C.125答案 D解析 由三视图可知,直三棱柱 ABCA 1
11、B1C1 的侧面 B1C1CB 是边长为 2的正方形,底面 ABC 是等腰直角三角形,ABBC ,ABBC 2.连接 B1C 交BC1 于点 O,连接 AB1,OD.在 CAB1 中,O,D 分别是 B1C,AC 的中点,ODAB1,AB 1平面 BDC1.故 A 正确直三棱柱 ABCA 1B1C1 中,AA 1平面 ABC,AA1BD.又 ABBC2,D 为 AC 的中点,BDAC, BD平面 AA1C1C.BDA1C.又 A1B1B1C1,A 1B1B1B,A1B1平面 B1C1CB, A1B1BC 1.BC1B1C,且 A1B1B 1CB 1, BC1平面 A1B1C.BC1A1C,A
12、1C平面 BDC1.故 B 正确 VS ABCC1C 2224,C 正确12此直三棱柱的外接球的半径为 ,其表面积为 12,D 错误故选 D.36. 答案 C解析 过半球底面的中心作一个与底面成 80的截面,截面是球的半个大圆,半径为 2,所以截面面积 S 222 ,故选 C.127答案 A解析 还原为直观图如图所示,圆锥的高为 2,底面半径为 ,圆锥的母2线长为 ,故该几何体的表面积为 S 2 2 ( )612 5 12 2 34 6 22 21 1.34 12 5 332 328答案 C解析 由条件,知 0, 0,CA AB AB BD .CD CA AB BD | |2| |2| |2|
13、 |22 2 2 6 24 28 22CD CA AB BD CA AB AB BD CA BD 68cos , (2 )2.cos , , , 120,二CA BD 17 CA BD 12 CA BD 面角的大小为 60,故选 C.9. 答案 C解析 M 为 AB 的中点,ACB 为直角三角形, BMAMCM,又 PM平面 ABC, RtPMBRtPMARtPMC,故 PAPBPC.10答案 D解析 方法一:连 D1E,D 1F,解三角形 D1EF 即可方法二:如图建立直角坐标系 Dxyz,设 DA 1,由已知条件,得G(0,0, ),B(1,1,0) ,E (1,1, ),F( ,1,0)
14、 , (1,1, ),12 12 34 GB 12( ,0, )EF 14 12cos , 0,则 . 故选 D.GB EF GB EF |GB |EF | GB EF 11答案 B解析 以 B 为坐标原点,BA 为 x 轴,BC 为 y 轴,BB 1 为 z 轴建立空间直角坐标系,设 ,可得 P(, ,),再由 cosAPC 可求得当BP BD1 AP CP |AP |CP | 时, APC 最大,故 VPABC 11 .13 13 12 13 11812. 答案 C解析 设底面边长为 a,连接 CO 并延长交 AB 于点 F,过点 D 作 DEPO交 CF 于点 E,连接 BE, 则BDE
15、 为 PO 与 BD 所成的角,cosBDE .PO平面 ABC,DE平面 ABC,即BED 是直角三角形,点23D 为侧棱 PC 的中点,DE , BE h.易知 EF a,则在 RtBEF 中,h2 144 33BE2EF 2FB 2,即 h2,a 2 h2, VPABC a ah a2h h3,故选 C.a23 a24 78 32 13 12 32 312 38二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上)13 答案 解析 正确,如右图,A 1C 与 B1D 互相平分,则四边形 A1B1CD 是平行四边形,同理四边形 ABC1D1 是平行四边形,则
16、A1B1 綊 AB 綊 CD,因此四边形ABCD 是平行四边形,进而可得这个四棱柱为平行六面体14答案 124解析 由题意可知点 F 到面 ABC 的距离与点 A1 到面 ABC 的距离之比为12,S ADESABC14.因此 V1V2 124.13AFSAED2AFSABC15答案 33解析 正三棱锥 PABC 可看作由正方体 PADCBEFG 截得,如图所示,PF 为三棱锥 PABC 的外接球的直径,且 PF平面 ABC.设正方体棱长为 a,则 3a212,a2,ABAC BC2 .2SABC 2 2 2 .12 2 2 32 3由 VPABC V BPAC ,得 hSABC 222,所以
17、 h ,因此球13 13 12 233心到平面 ABC 的距离为 .3316 答案 2解析 将几何体展开图拼成几何体(如图),因为 E、F 分别为 PA、PD 的中点,所以 EFADBC,即直线 BE 与 CF 共面, 错;因为 B平面 PAD ,E平面 PAD,EAF ,所以 BE 与 AF 是异面直线, 正确;因为EFADBC, EF平面 PBC,BC平面 PBC,所以 EF平面 PBC,正确;平面 PAD 与平面 BCE 不一定垂直, 错三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17 答案 (1)略 (2)略 (3)455解析 (1)连接 BD
18、,MO,在平行四边形 ABCD 中,因为 O 为 AC 的中点,所以 O 为 BD 的中点又 M 为 PD 的中点,所以 PBMO.因为 PB平面ACM, MO 平面 ACM,所以 PB平面 ACM.(2)因为ADC45 ,且ADAC1,所以DAC 90,即 ADAC.又 PO平面 ABCD,AD平面 ABCD,所以 POAD.而 ACPO O,所以 AD平面 PAC.(3)取 DO 中点 N,连接 MN,AN.因为 M 为 PD 的中点,所以 MNPO,且MN PO1. 由 PO平面 ABCD,得 MN平面 ABCD,所以MAN 是直线 AM12与平面 ABCD 所成的角在 RtDAO 中,
19、AD 1, AO ,所以 DO .从而12 52AN DO .在 RtANM 中,tanMAN ,即直线 AM 与平面12 54 MNAN 154 455ABCD 所成角的正切值为 .45518 答案 (1)略 (2) (3)3625 3210解析 (1)证明: PA平面 ABCD,PACD.又CDAD,PAADA,CD平面 PAD.CDAG.又 PDAG, AG平面 PCD.作 EFPC 于点 F,连接 GF,平面 PEC平面 PCD,EF平面 PCD.EFAG.又 AG平面 PEC,EF 平面 PEC,AG平面 PEC.(2)解:由(1)知 A、E 、F、G 四点共面,又 AECD,AE平
20、面 PCD,CD平面 PCD,AE平面 PCD.又平面 AEFG平面 PCDGF,AEGF .又由(1)知 EFAG,四边形 AEFG 为平行四边形,AEGF.PA3,AD4,PD 5,AG .125又 PA2PGPD, PG .95又 ,GF , AE .GPCD PGPD 9545 3625 3625(3)解:过 E 作 EOAC 于点 O,连接 OF,易知 EO平面 PAC,又EFPC, OFPC.EFO 即为二面角 EPC A 的平面角EOAEsin45 ,又 EFAG ,3625 22 18225 125sinEFO .EOEF 18225 512 321019 答案 (1)略 (2
21、)66解析 方法一:(1)设 DG 的中点为 M,连接 AM,FM.则由已知条件易证四边形 DEFM 是平行四边形MFDE,且 MFDE .平面 ABC平面 DEFG,ABDE.ABDE,MFAB,且 MFAB,四边形 ABFM 是平行四边形BFAM.又 BF平面 ACGD,AM 平面 ACGD,故 BF平面 ACGD.(2)由已知 AD平面 DEFG, DEAD.又 DEDG, 且 ADDG=D,DE平面 ADGC.MFDE,MF平面 ADGC.在平面 ADGC 中,过 M 作 MNGC,垂足为 N,连接 NF,则MNF 为所求二面角的平面角连接 CM.平面 ABC平面 DEFG,AC DM
22、.又 ACDM 1,所以四边形ACMD 为平行四边形, CMAD,且 CMAD 2.AD平面 DEFG,CM 平面 DEFG, CMDG.在 RtCMG 中,CM2,MG1,MN .CMMGCG 25 255在 RtCMG 中,MF2,MN ,255FN .4 45 2305cosMNF .MNFN2552305 66二面角 D CGF 的余弦值为 .66方法二:由题意可得,AD,DE,DG 两两垂直,故可建立如图所示的空间直角坐标系则 A(0,0,2),B(2,0,2),C (0,1,2),E(2,0,0),G(0,2,0),F(2,1,0)(1) (2,1,0)(2,0,2)(0,1,2)
23、, (0,2,0) (0,1,2)(0,1,2) ,BF CG .BFCG.BF CG 又 BF平面 ACGD,故 BF平面 ACGD.(2) (0,2,0) (2,1,0)(2,1,0)FG 设平面 BCGF 的法向量为 n1(x,y ,z ),则Error!令 y2,则 n1(1,2,1) 则平面 ADGC 的法向量 n2(1,0,0)cosn 1,n 2n1n2|n1|n2| .1112 22 1212 02 02 66由于所求的二面角为锐二面角,二面角 DCGF 的余弦值为 .6620 答案 (1)略 (2) (3)103 155解析 (1)证明: ACBC,D 为 AB 的中点,CD
24、AB.又 CDDA1,ABA 1DD,CD面 AA1B1B.CDBB1.又 BB1AB,AB CDD , BB1面 ABC.(2)解:V 多面体 DBCA 1B1C1V 棱柱 ABCA 1B1C1V 棱锥 A1ADCS ABC|AA1| SADC|AA1|S ABC|AA1| SABC|AA1| SABC|AA1| .13 13 12 56 103(3)解:以 C 为原点,分别以 , , 的方向为 x 轴,y 轴,z 轴的正向,CB CC1 CA 建立空间直角坐标系(如图所示),则C(0,0,0),B (2,0,0),A(0,0,2),C 1(0,2,0),A 1(0,2,2)D(1,0,1)
25、设 n1(x 1,y 1,z 1)是平面 DCA1 的一个法向量,则有Error!即Error!Error!故可取 n1(1,1, 1)同理设 n2(x 2,y 2,z 2)是平面 DC1A1 的一个法向量,且 (1,2,1),C1D (0,0,2) C1A1 则有Error!即Error!Error!故可取 n2(2,1,0)cosn 1,n 2 .n1n2|n1|n2| 335 155又二面角 CDA 1C 1 的平面角为锐角,所以其余弦值为 .15521 答案 (1)略 (2) 2解析 (1)方法一:证明: A1C1B1 ACB90 ,B1C1A1C1.又由直三棱柱的性质知 B1C1CC
26、1,B1C1平面 ACC1A1.B1C1CD.由 D 为 AA1 的中点,可知 DCDC 1 .2DC2DC CC ,即 CDDC1.21 21由可知 CD平面 B1C1D.又 CD平面 B1CD,故平面 B1CD平面 B1C1D.(2)解:由(1)可知 B1C1平面 ACC1A1,在平面 ACC1A1 内过 C1 作 C1ECD,交 CD 或其延长线于 E,连接 EB1,B1EC1 为二面角 B1DCC 1 的平面角B1EC160.由 B1C12 知,C 1E .2tan60 233设 AD x,则 DC .x2 1DC1C 的面积为 1, 1.12 x2 1233解得 x ,即 AD .2
27、 2方法二:(1)证明:如图所示,以 C 为坐标原点,CA、CB、CC 1 所在的直线分别为x,y,z 轴建立空间直角坐标系,则C(0,0,0),A (1,0,0),B 1(0,2,2),C 1(0,0,2),D(1,0,1),即 (0,2,0),C1B1 ( 1,0,1), (1,0,1)DC1 CD 由 (1,0,1)(0,2,0) 0,得 CDC1B1.CD C1B1 由 (1,0,1)(1,0,1)0,得 CDDC1.CD DC1 又 DC1C 1B1C 1, CD平面 B1C1D.又 CD平面 B1CD,平面 B1CD平面 B1C1D.(2)解:设 ADa,则 D 点坐标为 (1,0
28、,a), (1,0 ,a), (0,2,2)CD CB1 设平面 B1CD 的一个法向量为 m(x,y ,z)则Error!Error!令 z1.得 m( a,1,1) ,又平面 C1DC 的一个法向量为 n(0,1,0) ,则由 cos60 ,得 .mn|m|n| 1a2 2 12即 a ,故 AD .2 222 答案 (1) (2)63 33(3)存在点 Q,且 PQQD 12解析 (1)在PAD 中,PAPD,O 为 AD 中点,所以 POAD,又侧面PAD底面 ABCD,平面 PAD平面 ABCDAD, PO平面 PAD,所以 PO平面 ABCD.又在直角梯形 ABCD 中,连接 OC
29、,易得 OCAD,所以以 O 为坐标原点,OC 为 x 轴, OD 为 y 轴, OP 为 z 轴建立空间直角坐标系,则 P(0,0,1),A(0,1,0),B(1,1,0),C(1,0,0),D(0,1,0), (1,1,1),易证:OA平面 POC.PB (0,1,0)是平面 POC 的法向量,cos , .OA PB OA PB OA |PB |OA | 33直线 PB 与平面 POC 所成角的余弦值为 .63(2) (0,1,1), (1,0,1),PD CP 设平面 PDC 的一个法向量为 u(x,y,z),则Error!取 z1,得 u(1,1,1)B 点到平面 PCD 的距离为 d .|BP u|u| 33(3)假设存在一点 Q,则设 (01),PQ PD (0,1,1),PD (0, , ) .PQ OQ OP (0 ,1) ,Q (0,1) OQ 设平面 CAQ 的一个法向量为 m(x,y ,z),则Error!取 z1,得 m(1,1, 1)又平面 CAD 的一个法向量为 n(0,0,1),因为二面角 QACD 的余弦值为 ,63所以|cos m, n| .|mn|m|n| 63得 3210 30,解得 或 3(舍)13所以存在点 Q,且 .PQQD 12