1、专题二十 数学填空题解题突破 【典题导引】（一）直接求解法直接从题设条件出发，利用定义、性质、定理、公式等，经过变形、推理、计算、判断得到结论的，称之为直接求解法它是解填空题的常用基本方法使用直接法解填空题，要善于透过现象抓本质，自觉地、有意识地采取灵活、简捷的解法例 1.（1）过双曲线 的左顶点 作斜率为 的直线 ，若 与双曲线2:1(0)yMxbA1l的两条渐近线分别相交于 ，且 ，则双曲线的离心率是 ,BC（2）已知 是奇函数，且 ，若 ，则 2()yfx()1f()2gxf(1)g（3）已知向量 ，则 的最大值与最小值之和为 cos,in)3,abrr|abr（4）已知函数 在定义域内
2、不是单调函数，则实数 的取值范围2()lfxmxm是 解：（1）由题设 ， 直线 的方程为 ，双曲线 的两条渐近线方程为1,0A1yxM，ybx由 得 ， ， ， ，即BxbCxABC2ACBx， ， 双曲线的离心率 12()b3210eb（2） 函数 为奇函数， ，2yfx2=fxfx即 ，又 ， ，=f(1)3f13=g（3）法（一）代数方法：(利用向量模的坐标计算公式) ，22|(cos)(sin)54sin(),R3ab r， ， 的最大值与最小值之和为 max|3mi|1br|abr 4法（二）借助模的运算性质：(不等式) ， ， ，cos,in)(,)rQ2r， ，|rr|4左右等
3、号成立的条件分别是向量 、 同向和反向，arb， ， 的最大值与最小值之和为 max|3brmin|1b| 4法（三）几何角度：（圆）不妨设 ，(cos,in)(3,1)OAOBbuur则 ，其中 在圆 上， ，|AB21xy3由圆的性质可得： ， ， 的最大值与最小值之和为 a|3rmin|br|ar 4（4）法一：转化为 在定义域 上有正有负.() xfx(0,)即 在 上有正有负. 当 时，满足；2()1gm(0,)当 时，对称轴 ，所以只需 ， ；04812m当 时，开口向下的抛物线且经过点 ，满足0m(0,1)综上所述， 12法二：先求“当函数 在定义域 内是单调函数，实数 m 的2
4、()lnfxmx(,)取值范围”即转化为问题的对立事件函数 在定义域 内是单调函数2()lfx(0,)，或10,()2fx1(,)(20xfx，或 ，(x1(,)m令 ，则 ，21),0hx31(),0xhx()()Z， 时， ，max1()()2h0x()hx函数 在定义域 内是单调函数 ，lnf,12m在定义域内不是单调函数时， ()x 12m（二）特殊化法 当填空题的结论唯一或其值为定值时，我们只须把题中的参变量用特殊值(或特殊函数、特殊角、特殊数列、图形特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等)代替之，即可得到结论一般性存在于特殊性之中，只要是求一般性的问题，绝大多数可以用特殊化法来解决
5、例 2. （1）已知函数 为奇函数，则函数 上任一点处的2,0()xfab 3()agxb切线与直线 和直线 所围成的三角形面积为 0y（2）在 中，点 是 的中点，过点 的直线分别交直线 于不同的两ABCOBO,ABC点 ，若 ， ，则 的值为_,MNmACnNmn（3）设 ，若 时，均有 ，则 aR0x2110axaxa（4）如图，在平行四边形 中 ， ，垂足为 ，且 ，则 =DPBP3PA.（5）观察下列等式： ；2coss1 ；428co ；6423s8cos1 ；642ss503cos1 10 642co csmnp可以推测， np（6）已知二次函数 有零点 与 ，设 ，2()fxa
6、bc1x2091012x， ，则常数 的值为 2010qx011rxarbqACD例 2（4）图（7）椭圆 的焦点为 、 ，点 为其上的动点，当 为钝角时，2194xy1F2P12FP点 横坐标的取值范围是 P解：（1） 为奇函数可求得： ， ，()f ,ab3()gx题设暗示：所围成的三角形面积为定值，故可用“特殊点”探求定值可就 图象上点 求得切线方程为 ，从而求得直线 46yx与ygx(1,2)46y直线 和直线 所围成的三角形面积为 0y（2）题设暗示： 为定值，故可用“特例”探求定值易知 1mn满足题设，mnn（3） x时均有 2110axax， 应用特殊元素法，取 2x，得2210
7、3a， 30a（4）题设暗示： 为定值，故可用“特殊图形”探求定值平行四边形 是APC ABCD特殊的平行四边形菱形时，则 AP与 C共线， 2AP，22318（5）首先，由 ,8，联想等比数列，得 1845m；其次，由 ,8132，分别除 并去负号后，得 ,496，这是一个正整数的平方序列，250p最后，对，令 0，则 20150n，于是4n，故 2mnp（6） （特殊函数）令 1,abc，则两零点分别为 ，1， ， q， r，0arbc（7）设 P(x，y) ，则当 1290FP时，点 的轨迹方程为 25xy，由此可得点 的PP横坐标 35，由此可得点 P 横坐标的取值范围是 3（三）数形
8、结合法借助图形的直观性，通过数与形的关系，迅速作出判断的方法称为数形结合法文氏图、三角函数线、函数的图像及方程的曲线等，都是常用的图形例 3.（1）已知函数 ()2xf， 2()logx， 3()hx的零点依次为 ,abc，则 ,abc由小到大的顺序是_（2）满足条件 ,ABC的三角形 ABC的面积的最大值为 （3）若方程 lg()l(1)kx仅有一个实根，那么 k的取值范围是_解：（1）零点依次为 ,c分别为函数 2xy， 2logx， 3y与直线 yx的交点横坐标，在同一直角坐标系 Oy中作出他们的图象，易得 acb（2） 2Q（定长） ，可以以 所在的直线为 轴， 的中垂线为 轴建立直角
9、坐标系，则 (1,0),AB，设 (,)Cx，由 2ABC可得221xyy，化简得 (3)8xy，即点 在以 (3,0)为圆心，为半径的圆上运动，又 ABCCS， max2ABCS（3） 201lg()2l(1) 2,(1)kxkxkx且 0x，题设有直线 yk与函数 12,yx且 0x的图象有一个公共点，作出函数且 的图象后易知 4k或 0（四）构造模型法例 4.（1） 已知函数 的最大值为 M，最小值为e2cos3in() (R)xxf xm，则 M （2）在四面体 ABCD中， 13， 5ACBD， 25ABC，则该四面体的体积 V （3）已知定义在 R上的可导函数 ()yfx的导函数为
10、 ()fx，满足 ()fxf且(1)yfx为偶函数， 2f，则不等式 的解集为 e解：（1）函数式 f(x)不熟悉，形式较为陌生，那先变形，后再作定夺= ，其中e2cos3in4()fe3sin2()cox gx， 因为 ()g为奇函数，而奇函数的图象关于原点对称， isxgRx所以 ()的最大值 N与最小值 n的代数和为 0，即 0Nn注意到 2MN，2mn，故 (2)()4Mm（2）构造如图所示的长方体，并且满足 13ABCD， 5ACBD， 5ABC现设 Pp，Qq， Rr， 则 22q，220rp， 2qr将以上三式分别相加得 9，于是,34r故 122348CAQBV长 方 体（3）
11、着眼于题中的条件 ()fxf，构造函数 求解. 令 ，则()exfg()exfg， 在 上是减函数 为偶函数，()0exfg ()gR1)yf，令 ，则 ， ，R,1f1x(0)2f(0()()xfg【归类总结】所谓填空题，就是不要求写出计算或推理过程，只需将结论直接写出的“求解题”填空题的结构，往往是在一个正确的命题或断言中，抽去其中的一些内容(既可以是条件，也可以是结论)，留下空位，让考生独立填上，考查方法较为灵活一般地，根据所填内容的形式，常将填空题分为两类：一是定量型，要求考生填写数值、数集或数量关系，如方程的解集、函数的最值、几何体的体积、两点间的距离、取胜的概率等；二是定性型，要求填写的是具有某种性质的对象或者给定的数学对象的某种性质，如曲线的形状、所给一组公式中的正或误的判断等填空题不需要中间过程，因而解答时可以心算、估算、速算，也可以省略、跳步、猜测，甚至还可以凭印象、靠直觉解答的基本策略是：快反应快，不要小题大做；稳变形稳，不可操之过急；全答案全，力避残缺不齐；活过程少，不要生搬硬DQCHBPRA套；细审题细，答案表述要慎解题的基本方法一般有：直接求解法、图象法、特殊化法等
