1、1数学必修 2 第一章一、学习目标：1. 认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构。2. 能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图与直观图，能识别上述三视图与直观图所表示的立体模型。二、重点、难点：重点：空间几何体中的棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征；空间几何体的三视图与直观图的画法。难点：柱、锥、台、球结构特征的概括；识别三视图所表示的空间几何体;几何体的侧面展开图，计算组合体的表面积和体积。三、考点分析：三视图是新课程改革中出现的内容，是新课程高考的热点之一，几乎每年都考，同学们要予以足够的重视。
2、在高考中经常以选择、填空题的形式出现，属于基础或中档题，但也要关注三视图以提供信息为目的，出现在解答题中。这部分知识主要考查学生的空间想象能力与计算求解能力。1. 多面体棱柱、棱锥、棱台2. 旋转体圆柱、圆锥、圆台、球3. 三视图（1）正视图、侧视图、俯视图（2）三种视图间的关系4. 直观图水平放置的平面图形的直观图的斜二测画法24. 多面体的面积和体积公式名称 侧面积（S 侧 ） 全面积（S 全 ） 体 积（V）棱柱 直截面周长l S 底 h=S 直截面 h棱柱 直棱柱 chS 侧 +2S 底S 底 h棱锥 各侧面面积之和棱锥 正棱锥 ch21S 侧 +S 底 S 底 h31棱台 各侧面面积
3、之和棱台 正棱台 (c+c)h21S 侧 +S 上底 +S 下底h(S 上底 +S 下底 +)上上S表中 S 表示面积，c、c 分别表示上、下底面的周长，h 表示高度，h表示斜高，l 表示侧棱长。5. 旋转体的面积和体积公式名称 圆柱 圆锥 圆台 球S 侧 2rl rl (r1+r2)lS 全 2r(l+r) r(l+r) (r1+r2)l+(r21+r22) 4R2V r2h（即 r2l） r2h31h(r21+r1r2+r22)3R34表中 l、h 分别表示母线长、高， r 表示圆柱、圆锥与球冠的底面 半径，r 1、r 2 分别表示圆台上、下底面的半径，R 表示半径。知识点一 柱、锥、台、
4、球的结构特征例 1. 下列叙述正确的是（ ）有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱。两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台。有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台。3直角三角形绕其一条边旋转得到的旋转体是圆锥。直角梯形以它的一条垂直于两底边的腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面围成的旋转体叫圆台。用一个平面去截圆锥，底面和截面之间的部分是圆台。通过圆锥侧面上一点，有无数条母线。以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成球体。A. B. C. D. 思路分析：遇到概念判断问题，一定要在理解透彻相关概念的基础上，仔细分析，如果判断它是正确的，必须
5、能紧扣定义，而不是模棱两可地去作判断；如果判断它是错误的，只需找到一个反例即可。解答过程：如图所示，由图（1）可知是错误的；由图（2）可知是错误的；由图（3）可知是错误的；由图（4）可知是错误的。因为通过圆锥侧面上一点和圆锥的顶点只能连一条射线，所以“通过圆锥侧面上一点，有无数条母线。 ”是错误的，即是不正确的。以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的应该是球面，半圆面旋转一周形成的才是球体。所以是错误的。所以只有是正确的。故应选 D。解题后的思考：在作判断的时候没有严格的根据定义进行多角度分析，而是只抓住定义中的某一点就作出判断，容易导致错误。知识点二 组合体例 2. 如图，下列组合
6、体是由哪几种简单几何体组成的？4解答过程：（1）由一个三棱锥和一个四棱锥组成，为左右结构（2）由两个三棱锥组成，为上下结构（3）由圆锥和圆台组成，为上下结构知识点三 柱、锥的侧面展开图例 3. 小明在一个正方体盒子的每个面都写有一个字母，分别是： A、B 、C、D、E、F，其平面展开图如图所示，那么在该正方体盒子中，和“A ”相对的面所写的字母是哪一个？思路分析：在每个格子中标明你所想象的面的位置，如将 A 格标明“上” ，将 B 格标明“前”等等。解答过程：为字母“E”解题后的思考：本题突出考查了学生将正方体各面展开图复原为正方体的空间想象能力。例 4. 如图所示，为一个封闭的立方体，在它的
7、六个面上标出 A，B ，C，D，E，F 这六个字母，现放成下面三种不同的位置，所看见的表面上的字母已标明，则字母 A，B，C对面的字母分别是（ ）5A. D，E，F B. F，D，E C. E，F，D D. E，D，F思路分析：本题处理方法比较灵活，要将几个图结合起来一起分析。解答过程：由（1） （2）两个图知，A 与 B，C，D 相邻，结合第（3）个图知，B，C与 F 共顶点，所以 A 的对面为 F，同理 B，C 的对面分别为 D，E，故选择 B。解题后的思考：本题考查推理能力以及空间想象能力。也可先结合图（1） （3）进行判断。例 5. 用长和宽分别是 和 的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，求圆柱
8、的底面半径？3思路分析：要注意哪条边是圆柱的母线，哪条边是圆柱底面的圆周。解答过程：设圆柱底面圆的半径为 ，由题意可知矩形长为底面圆的周长时，r，解得 。矩形宽为底面圆的周长时， ，解得 。故圆柱的底r2323r221面半径为 或 。1解题后的思考：本题学生经常会丢解，即主观认为只有图中所示的情况，即以 作3为底面周长，而忽视了它也可作为母线这种情况。知识点四 旋转体中的有关计算例 6. 一个圆台的母线长 ，两底面面积分别为 和 ，求：cm1224cm25（1）圆台的高；（2）截得此圆台的圆锥的母线长。思路分析：通过作截得此圆台的圆锥的轴截面，构造直角三角形与相似三角形求解。6解答过程：（1）
9、作 OAH1242rr52R3A15312（2） 与 相似OVAA1120解题后的思考：通过构造旋转体的轴截面，将立体问题转化为平面问题。例 7. 已知球的两个平行截面的面积分别为 和 ，且距离为 3，求这个球的半径。58思路分析：两截面的相互位置可能出现两种情况，一种是在球心 O 的同侧，另一种是在球心 O 的异侧。解答过程：（1）当两截面在球心 O 的同侧时，如图所示，设这两个截面的半径分别为 ，球心 O 到截面的距离分别为 ，球21,r 21,d的半径为 R。7。8,5,8,521221 rrr又 ，21dR，3221rd即 。)(1又 ，2解得,1321d.1,2又 这种情况不成立。0
10、（2）当两截面在球心 O 的异侧时， ，321d由上述解法可知 ，)(2121d解得,321d.,2。3451rR综上所述，这个球的半径为 3。解题后的思考：同学们要注意不要只对同侧的情况进行讨论，而忽略对另一种位置关系的讨论。知识点五 画几何体的三视图例 8. 画出如图所示的三棱柱的三视图。8思路分析：在正视图中，中间的竖线看不到，应画成虚线；侧视图是从左侧看三棱柱投射到竖直的正对着的平面上的正投影，所以不是三棱柱的一个侧面，而应该是过底面正三角形的一条高线的矩形。解答过程：解题后的思考：画三视图的时候要做到“长对正、宽相等、高平齐” ，还要注意实线与虚线的区别。知识点六 三视图中的推测问题
11、例 9. 根据下列三视图，说出各立体图形的形状。9思路分析：三视图是从三个不同的方向看同一物体得到的三个视图。正视图反映物体的主要形状特征，主要体现物体的长和高，不反映物体的宽。而俯视图和正视图共同反映物体的长相等。侧视图和俯视图共同反映物体的宽相等。据此就不难得出该几何体的形状。解答过程：（1）圆台；（2）正四棱锥；（3）螺帽。解题后的思考：三视图的画法里要注意“长对正” ， “高平齐” ， “宽相等” ，另外，还要熟悉基本空间几何体的三视图。七、直观图的还原与计算问题例 10. 已知 ABC是水平放置的边长为 的正三角形 ABC 的斜二测水平直观图，那么aABC的面积为 _。思路分析：先根
12、据题意，画出直观图，然后根据ABC直观图的边长及夹角求解。解答过程：如图甲、乙所示的实际图与直观图。10。在图乙中作 CDAB于 D，则aOCaAB4321,。所以 。故填DC862 2BA a168a21DS。16a解题后的思考：该题求直观图的面积，因此应在直观图中求解，需先求出直观图的底和高，然后用三角形面积公式求解。本题旨在考查同学们对直观图画法的掌握情况。例 11. 如图所示，正方形 OABC的边长为 ，它是水平放置的一个平面图形的直观cm1图，则原图形的周长是_。思路分析：先根据题意，由直观图画出原图形解答过程：逆用斜二测画法的规则画出原图如下图所示，由 BC/OA 且 BC=OA，
13、易知OABC 为平行四边形。在上图中，易求 OB= ，所以 OB= 。22又 OA=1，所以在 RtBOA 中， 。31)(AB故原图形的周长是 ，应填 。)cm813(2c解题后的思考：该题考查的是直观图与原图形之间的关系，及逆用斜二测画法的规则。例 12：已知正三棱台（上、下底是正三角形，上底面的中心在下底面的投影是下面底中心）的上、下底面边长分别是 2cm 与 4cm，侧棱长是 cm，试求该三棱台的体积。611思路分析：利用棱台的体积计算公式，求出棱台的高，上、下底面的面积，代入公式即可。解答过程：如图所示， 、 是上、下底面的中心，连结 、 、 ，在平O OB面 内作 于 。BOE是边
14、长为 2 的等边三角形， 是中心，CA，33同理 ，则 。4OB32BOE在 中， ， ，Rt6，即棱台高为 cm。342EB342所以三棱台的体积为（cm 3） 。147431643164321 上V解题后的思考：将求体积的立体问题转化为平面问题求解，是立体几何中的常用方法。例 13：一个球内有相距 9cm 的两个平行截面，它们的面积分别为 49 cm2 和 400 cm2，求球的表面积和体积。思路分析：求球的表面积和体积关键是求出球的半径，可考虑球的轴截面。解答过程：（1）当截面在球心的同侧时，如图所示为球的轴截面。由球的截面性质，知 ，且 、 分别为两截面圆的圆心，则 ， 。2/BOA1
15、2 1AO2B12设球的半径为 。R， 。492BO72B同理， ， 。01A01AO设 ，则 。x2x在 中， ，Rt12在 中， ，BO2279，解得 。70xx15x， 。225RR（cm 2） ， （cm 3） ，4S上 62034V上球的表面积为 2500 cm2，体积为 cm3。5（2）当截面位于球心 的两侧时，如图所示为球的轴截面。由球的截面性质，知O，且 、 分别为两截面圆的圆心，则 ， 。设球的BAO1/12 1AOB2半径为 。R， 。492BO72B同理， ， 。01A01AO13设 ，则 。xO1x92在 中， 。ARt40在 中， ，B222，解得 ，不合题意，舍去。
16、940xx 15x综上所述，球的表面积为 2500 cm2，体积为 cm3。60解题后的思考：解题时要注意，球的截面可能位于球心的同侧，也可能位于球心的两侧。例 14：求半径为 的球内接正方体的表面积。R思路分析：正方体内接球时，球与正方体关系如图（1） ，过不相邻的两条棱的平面截球，所得截面如图（2） ，只有深刻理解其相互关系，才能画出正确的截面图进行解题。解答过程：如图（1）所示，设正方体棱长为 ， 为正方体的对角线，那么xDB1， ，223RxRx3。2826S上即正方体的表面积为 。2R解题后的思考：组合体问题，尤其是球与其他几何体的组合问题，一直是高考中的热点，所以同学们在平时的解题
17、中应注意观察，有关球的组合体中各图形的位置关系。14（答题时间：60 分钟）一、选择题：1. 下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ ）A. B. C. D. 2. 将正三棱柱（底面为正三角形，侧面为矩形的棱柱）截去三个角（如图甲所示，A、B、 C 分别是 GHI 三边的中点）得到几何体如图乙所示，则该几何体按如图所示方向的侧视图为（ ）3. 如果用 表示一个立方体，用 表示两个立方体叠加，用 表示三个立方体叠加，那么下图中由 7 个正方体叠加而成的几何体的正视图是（ ）154. 下列说法正确的是（ ）A. 互相垂直的两条直线的直观图一定是互相垂直的两条直线B. 梯形的直观图可能
18、是平行四边形C. 矩形的直观图可能是梯形D. 正方形的直观图可能是平行四边形5. 已知正三棱锥 VABC 的正视图、俯视图如图所示，其中 VA=4，AC= ，则该三32棱锥得到侧视图的面积为（ ）A. 9 B. 6 C. D. 13296. 若正方体的八个顶点中有四个恰好是正四面体的顶点，则正方体的表面积与正四面体的表面积之比是（ ）A. B. C. D. 323223二、填空题：6. 一个三角形用斜二测画法画出来是一个边长为 1 的正三角形，则此三角形的面积是_7. 圆台的两底面半径分别为 2,5，母线长是 ，则其轴截面面积是 0316三、解答题：8. 画出下列几何体的三视图：9. 如下图所
19、示，梯形 是一平面图形 的直观图。若 ，1ABCDABCD1/ADOy， ， 。请画出原来的平面几何图形的形状，并11/ABCD123O求原图形的面积.17一、选择题：1. D解析：正方体的三视图都相同，而三棱台的三视图各不相同，正确答案为 D。2. A3. B4. D解析：梯形的上、下底互相平行，但其在直观图中的长度不相等。5. C解析：由三视图与原几何体之间的关系可知此几何体的侧视图不是一个等腰三角形，且此三角形的底边长等于正三角形 ABC 的高线 CF 的长，其高的长度等于原几何体的高。由所给数据易解得原几何体的高为 ，CF=3，所以侧视图的面积为13，故选 C。2312S6. A 解析
20、：如图所示，正方体的 、 、 、 的四个顶点可构成一个正四面体，设ACDB正方体边长为 ，则正四面体边长为 。aa2正方体表面积 ，216aS正四面体表面积为 ，222 343a18。3261aS二、填空题：6. 267. 63解析：圆台的高= ，故其轴截面面积=639)25()103(2三、解答题：8. 解：这两个几何体的三视图如下图所示. 9. 解：如图，建立平面直角坐标系 xOy，在 x 轴上截取 ； 。1OD12CO在过点 D 的 y 轴的平行线上截取 。12DA在过点 A 的 x 轴的平行线上截取 。B连接 BC，即可得到原图形。由作法可知，原四边形 ABCD 是直角梯形，上、下底的长度分别为 ，2,3ABCD直角腰的长度为 ，2AD19所以面积为 。235S
