1、第 1 页 共 8 页1、相关知识点1理解并掌握一元二次方程的意义未知数个数为 1，未知数的最高次数为 2，整式方程，可化为一般形式；2正确识别一元二次方程中的各项及各项的系数（1）明确只有当二次项系数 时，整式方程 才是一元二次方程。0a02cbxa（2）各项的确定(包括各项的系数及各项的未知数 ).（3）熟练整理方程的过程3一元二次方程的解的定义与检验一元二次方程的解4列出实际问题的一元二次方程二解法1明确一元二次方程是以降次为目的，以配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法为手段，从而把一元二次方程转化为一元一次方程求解；2根据方程系数的特点，熟练地选用配方法、开平方法、公式法、因式分
2、解法等方法解一元二次方程；3体会不同解法的相互的联系；4值得注意的几个问题：(1)开平方法：对于形如 或 的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有nx2 )0()(2anb未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用开平方法求解.形如 的方程的解法：nx2当 时， ;0当 时， ;021x当 时，方程无实数根。n（2）配方法：通过配方的方法把一元二次方程转化为 的方程，再运用开平方法求解。nmx2)(配方法的一般步骤：移项：把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边；“系数化 1”：根据等式的性质把二次项的系数化为 1；配方：将方程两边分别加上一次项系数一半的平方
3、，把方程变形为 的形式；nx2)(求解：若 时，方程的解为 ，若 时，方程无实数解。0nnmx0（3）公式法：一元二次方程 的根)(2acbaacbx24当 时，方程有两个实数根,且这两个实数根不相等；042acb当 时，方程有两个实数根,且这两个实数根相等，写为 ； abx21第 2 页 共 8 页当 时，方程无实数根.042acb公式法的一般步骤：把一元二次方程化为一般式；确定 的值；代入 中计算其值，cba, acb42判断方程是否有实数根；若 代入求根公式求值，否则，原方程无实数根。042acb（因为这样可以减少计算量。另外，求根公式对于任何一个一元二次方程都适用，其中也包括不完全的一
4、元二次方程。 ）（4）因式分解法：因式分解法解一元二次方程的依据：如果两个因式的积等于 0，那么这两个因式至少有一个为 0，即：若 ，则 ；0ab0b或因式分解法的一般步骤：若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零；把方程的左边分解因式；令每一个因式都为零，得到两个一元一次方程；解出这两个一元一次方程的解可得到原方程的两个解。（5）选用适当方法解一元二次方程对于无理系数的一元二次方程，可选用因式分解法，较之别的方法可能要简便的多，只不过应注意二次根式的化简问题。方程若含有未知数的因式，选用因式分解较简便，若整理为一般式再解就较为麻烦。（6）解含有字母系数的方程（1）含有字母系数的方程，注
5、意讨论含未知数最高项系数，以确定方程的类型；（2）对于字母系数的一元二次方程一般用因式分解法解，不能用因式分解的可选用别的方法，此时一定不要忘记对字母的取值进行讨论。三、根的判别式1了解一元二次方程根的判别式概念，能用判别式判定根的情况，并会用判别式求一元二次方程中符合题意的参数取值范围。（1） =acb42（2）根的判别式定理及其逆定理：对于一元二次方程 （ ）02cbxaa当 方程有实数根；时0（当 方程有两个不相等的实数根；当 方程有两个相等的实数根；）时a 时0a当 方程无实数根； 时0从左到右为根的判别式定理；从右到左为根的判别式逆定理。2常见的问题类型（1）利用根的判别式定理，不解
6、方程，判别一元二次方程根的情况（2）已知方程中根的情况，如何由根的判别式的逆定理确定参数的取值范围（3）应用判别式，证明一元二次方程根的情况先计算出判别式（关键步骤） ；第 3 页 共 8 页用配方法将判别式恒等变形；判断判别式的符号；总结出结论.（4）分类讨论思想的应用：如果方程给出的时未指明是二次方程，后面也未指明两个根，那一定要对方程进行分类讨论，如果二次系数为 0，方程有可能是一元一次方程；如果二次项系数不为 0，一元二次方程可能会有两个实数根或无实数根。（5）一元二次方程根的判别式常结合三角形、四边形、不等式（组）等知识综合命题，解答时要在全面分析的前提下，注意合理运用代数式的变形技
7、巧（6）一元二次方程根的判别式与整数解的综合（7）判别一次函数与反比例函数图象的交点问题四、一元二次方程的应用1.数字问题：解答这类问题要能正确地用代数式表示出多位数，奇偶数，连续整数等形式。2.几何问题：这类问题要结合几何图形的性质、特征、定理或法则来寻找等量关系，构建方程，对结果要结合几何知识检验。3.增长率问题（下降率）：在此类问题中，一般有变化前的基数（ ） ，增长率（ ） ，变化的次数（ ） ，axn变化后的基数（ ）,这四者之间的关系可以用公式 表示。b bxan)1(4.其它实际问题（都要注意检验解的实际意义，若不符合实际意义，则舍去） 。五实际应用（1）有 100 米长的篱笆材
8、料，想围成一矩形仓库，要求面积不小于 600 平方米，在场地的北面有一堵 50米的旧墙，有人用这个篱笆围成一个长 40 米、宽 10 米的仓库，但面积只有 400 平方米，不合要求，问应如何设计矩形的长与宽才能符合要求呢？（2）读诗词解题（列出方程，并估算出周瑜去世时的年龄）：大江东去浪淘尽，千古风流数人物，而立之年督东吴，英年早逝两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符，哪位学子算得准，多少年华属周瑜？（36 岁）(3)已知： 分别是 的三边长，当 时，关于 的一元二次方程cba,ABC0mx有两个相等的实数根，求证： 是直角三角形。2)()(22 axmxxc ABC第 4 页 共 8 页（
9、4）已知： 分别是 的三边长，求证：方程 没有实数根。cba,ABC 0)(222 cxacbx（5）当 是什么整数时，关于 的一元二次方程 与 的mx042xm05422 mx根都是整数？（ ）1（6）已知关于 的方程 ，其中 为实数， （1）当 为何值时，方程没有实x0212mx m数根？（2）当 为何值时，方程恰有三个互不相等的实数根？求出这三个实数根。m答案：（1） （2） .,（二）一元二次方程的解法1开平方法解下列方程：（1） （ ） （2） （ ）052x5,21x 289)3(169x132,561x（3） （原方程无实根） （4） （ ）62y 0)(2m0212配方法解方程
10、：（1） （ ） （2） （ ）05x61x 015y215x3公式法解下列方程：（1） （ ） （2 ） （ ）262x3p32321第 5 页 共 8 页4因式分解法解下列方程：（1） （ ） （ 2） （ ）092x6x 045y5,921y（3） （ ） （ 4） （ ）03182x23,41x 0217x3,21x5解法的灵活运用（用适当方法解下列方程）：（1） （ ） （2） （ ）128)72(x7x 22)(1mm66解含有字母系数的方程（解关于 x 的方程）：（1） ( ) 022nmx nmx21,（2） （ ）12432axx 1,321ax（三）一元二次方程的根的判别式
11、1不解方程判别方程根的情况：（1）4 （有两个不等的实数根） （2） （无实数根）xx732 x4)(322 为何值时，关于 x 的二次方程k 0962xk（1）有两个不等的实数根 （ ）1k且（2）有两个相等的实数根 （ ）（3）无实数根 （ ）第 6 页 共 8 页3已知关于的方程 有两个相等的实数根求的值和这个方程的根 mxx1)2(42( 或 )21,1x23,01xm4若方程 有实数根，求：正整数 a. （ ）054)1(22axax 3,21a5对任意实数 m，求证：关于 x 的方程 无实数根.042)1(22 mx6 为何值时，方程 有实数根.k 0)3()2()1( kxxk7
12、设 为整数，且 时，方程 有两个相异整数根，求m40 0814)32(2mxx的值及方程的根。 （当 =12 时，方程的根为 ；当 =24 时，方程的根为6,12）52,381x第 7 页 共 8 页3某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可以售出 20 件，每件盈利 40 元，为了扩大销售增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价 1 元，商场每天可多售 出 2件，若商场平均每天要盈利 1200 元，每件衬衫应降价多少元？ （20 元）4已知甲乙两人分别从正方形广场 ABCD 的顶点 B、C 同时出发，甲由 C 向 D 运动，乙由 B 向 C 运动，甲的速度为
13、每分钟 1 千米，乙的速度每分钟 2 千米，若正方形广场周长为 40 千米，问几分钟后，两人相距 千米？ (2 分钟后) 027某科技公司研制一种新产品，决定向银行贷款 200 万元资金，用于生产这种产品，签订的合同上约定两年到期时一次性还本付息,利息为本金的 8%,该产品投放市场后由于产销对路,使公司在两年到期时除还清贷款的本金和利息外,还盈余 72 万元,若该公司在生产期间每年比上一年资金增长的百分数相同,试求这个百分数. (20%)8如图，东西和南北向两条街道交于 O 点，甲沿东西道由西向东走，速度是每秒 4 米，乙沿南北道由南向北走，速度是每秒 3 米，当乙通过 O 点又继续前进 50 米时，甲刚好通过 O 点，求这两人在相距 85 米时，每个人的位置。 （甲离 O84 米，乙离 O13 米）9已知关于 x 的方程 有两个相等的实数根.01)(2mxn(1)求证：关于 y 的方程 必有两个相等的实数根。32ny 东东B ABA O第 8 页 共 8 页(2)若方程的一根的相反数恰好是方程的一个根，求代数式 的值。 （14）nm12
