1、专题三 初等函数、函数的应用(见学生用书P 12)(见学生用书P 12)1对数的性质及恒等式、换底公式(1)恒等式：alog aNN；log aaNN(a0 且a1，N使式子有意义) (2)换底公式：log bN (a，b，N的值均使式子有意义)logaNlogab(3)logablogbclogcdlog ad2对数的运算性质如果a0且a 1，M 0，N 0，那么(1)loga(MN)log aMlog aN；(2)loga log aMlog aN；MN(3)logaMnnlog aM(nR)；(4)logamMn logaM；nm(5)logab ，即log ablogba1.1logb
2、a3指数函数与对数函数的图象与性质指数函数 对数函数函数式 y ax(a0，a1) ylog ax(a0，a1)定义域 R (0，)值域 (0，) R图象a1 01 00时，y1；当x1；当x0时，01 时，y0；当01时，y04.幂函数图象与性质函数特征性质yx yx 2 yx 3 yx 12 yx 1定义域 R R R x|x 0 x|xR且x0值域 R y|y 0 R y|y 0 y|yR且y0奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇单调性 增x 0，)时，增；x (，0减增 增x (0，)时，减；x (，0)减定点 (1，1)，(0，0) (1，1)，(0，0) (1，1)(0，0) (1，1
3、)(0，0) (1，1)5.函数与方程(1)函数有零点的几个等价关系方程f(x) 0有实根函数 yf(x)的图象与x 轴有交点函数yf(x)有零点(2)函数有零点的判定如果函数y f(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f( a)f(b)1)，ylog ax(a1)与yx a(a0)尽管都是增函数，但由于它们增长速度不同，而且不在同一个“档次上”，因此在(0，)上，随x的增大，总会存在一个x 0，当xx 0时，有a xxalogax(见学生用书P 13)考点一 基本初等函数的图象与性质考点精析1利用分数指数幂进行根式化简的顺序是：先把根式化成分数指数，再利用分数指数幂进行计算对
4、于对数的运算首先要利用换底公式转化为同底的对数，再利用对数运算性质进行化简2要准确把握指数函数、对数函数、幂函数的图象，再利用图象的形象直观理解和记忆这些函数的性质例 11(xx卷) 已知b0，log 5ba，lg bc ，5 d 10，则下列等式一定成立的是 ( )Adac BacdC c ad Ddac考点：指数式与对数式的互化分析：利用指数式与对数式的互化、对数的运算性质和换底公式即可得出解析：因为log 5ba，lg bc，所以5 ab， b10 c.又5 d10，所以5 ab10 c(5 d)c5 cd，所以 acd .答案：B点评：本题考查了指数式与对数式的互化、对数的运算性质和换
5、底公式，属于基础题例 12(x 天津卷 )已知定义在R上的函数f(x) 2|xm| 1( m为实数) 为偶函数，记af(log 0.53)，b f(log 25)，cf(2m)，则a，b，c的大小关系为( )Aalog230，所以f(log 25)f(log23)f(0)，即bac.故选B.答案：B点评：本题考查函数的奇偶性及对数的运算，考查运算求解能力和应用意识，试题难度中等例 13(xx 卷 )在同一直角坐标系中，函数f (x)x a(x0)，g(x) log ax的图象可能是( )考点：幂函数、对数函数的图象及性质分析：根据题目已知条件及选项特点，可用排除法判断求解解析：对A，没有幂函数
6、的图象；对B，f(x) x a(x0)中a1 ，g(x)log ax中00)中01，不符合题意；对D，f(x )x a(x0)中00，且a1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是( )A BC D解析：由题意可知图象过(3，1)，故有1log a3，解得a3，选项A ，ya x 3 x 单调递减，故错误；选项B，yx 3，由幂函(13)x 数的知识可知正确；选项C，y(x )3x 3，其图象应与B项关于x轴对称，故错误；选项D，ylog a(x )log 3(x )，当x 3时，y1，但图象明显当x 3时，y 1，故错误答案：B【12】 (x武汉调研) 已知指数函数yf(x)、对数函数 yg
7、(x) 和幂函数yh( x)的图象都经过点P ，如果f(x 1)g(x 2)h( x3)4，那么x 1x 2x 3(12，2)( )A. B.76 65C. D.54 32解析：设指数函数f(x)a x，对数函数g(x )log bx，幂函数h(x )xc，则f a 2，g log b log b22，h 2，(12) 12 a (12) 12 (12) (12)c 所以a4，b ，c 1，即f(x)4 x，g(x )log x，h(x )x 1 .因22 22此，令f( x1)4x 14得x 11；令g(x 2)log x24得 x2 ；22 14令h(x 3)x 4得x 3 ，故x 1x
8、2x 3 . 1314 32答案：D考点二 函数与方程考点精析1确定函数零点存在区间及个数的常用方法：(1)利用零点存在的判定定理(2)利用数形结合法，尤其是那些两端是不同的绝对值、分式、指数、对数以及三角函数等方程多用数形结合法求解2应用函数零点的情况求参数或取值范围的方法：(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解(2)分离参数后转化为求函数的值域( 最值)问题求解(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解注意：(1) 利用零点存在判定定理时要找准区间的端点，准确判断端点处函数值的正负(2)利用数形结合法时，函数图象的关键点及特征要判断准确例 21(xx 卷 )已知f
9、(x)是定义在R上且周期为3 的函数，当x 0，3) 时，f (x) .若函数 yf(x)a在区间 3，4上有10个零点(|x2 2x 12|互不相同)，则实数a的取值范围是_ 考点：函数的零点、函数图象的作法、函数的周期性分析：将函数的零点问题转化为两个函数图象的交点问题，通过图象解决问题解析：当x 0，3)时，f(x) ，|x2 2x 12| |（x 1）2 12|由f(x)是周期为3的函数，作出 f(x)在3，4上的图象，如图由题意知方程af(x)在 3，4上有10个不同的根，则由图可知a .(0，12)答案： (0，12)点评：本题考查了函数的零点问题，渗透了转化思想，数形结合的思想以
10、及简单的运算求解能力，是一道很好的小题例 22若定义在R上的偶函数f(x) 满足f(x2)f (x)，且当x0，1 时，f(x) x，则函数y f( x)log 3|x|的零点个数是 ( )A多于4个 B4个C 3个 D2个考点：对数函数的图象与性质，函数的周期性分析：根据定义在R上的偶函数f(x) 满足f(x 2)f (x)，且当x0，1 时， f(x)x ，我们易画出函数f(x) 的图象，然后根据函数y f (x)log 3|x|的零点个数，等价于对应方程的根的个数，即为函数y f (x)与函数ylog 3|x|的图象交点的个数，利用图象法得到答案解析：若函数f(x)满足 f(x2)f(x
11、 )，则函数是以2为周期的周期函数，又由函数是定义在R上的偶函数，结合当x0，1时，f (x)x ，我们可以在同一坐标系中画出函数yf(x )与函数ylog 3|x|的图象如下图所示：由图可知函数yf(x )与函数ylog 3|x|的图象共有 4个交点，即函数y f (x)log 3|x|的零点个数是 4个答案：B点评：将函数零点个数问题转化为两函数图象交点个数问题，是解答本题的关键规律总结函数零点问题是近几年新课标高考命题的热点问题，有一定难度，基本上处在选择、填空题的压轴位置因而是我们二轮复习重点突破对象变式训练【21】 设函数f( x) 若函数yf( x)k 存在两个零点，则实数kx，x
12、0，4x，x 0，)的取值范围是_解析：函数yf(x )k存在两个零点，函数 yf (x)与y k的图象有两个公共点，在同一个坐标系中作出它们的图象，由图象可知：实数k的取值范围是(0，1 答案：(0，1【22】 (x天津卷 )已知函数f(x) 函数g(x) 3f (2x)2 |x|， x 2，（x 2）2，x2，)，则函数y f(x)g(x) 的零点个数为( )A2 B3C 4 D5解析：由已知条件可得g(x) 3f(2x) |x 2| 1，x 0，3 x2， x0)，雨速沿E移动方向的分速度为c (cR) E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：()P或P 的平行面 (只有一个面淋雨) 的淋
13、雨量，假设其值与| vc| S成正比，比例系数为 ；() 其他面的110淋雨量之和，其值为 ，记y为E移动过程中的总淋雨量，当移动距离12d100，面积S 时32(1)写出 y的表达式；(2)设00，则x 22(1a)x2a0在1，1上恒成立令g(x )x 22(1a) x 2a，则 2（1 a）2 1，g（ 1） 0， )或4(1 a) 28a0， x22(1a)x 2a0在1，1上恒成立令g(x )x 22(1a) x 2a，则有 或4(1a) 28a0，x 22(1a)x2a0在1，1上恒成立，令h(x )x 22(1a) x 2a，则有 a .h（ 1） 0，h（1） 0 ) 1 0，
14、3 4a 0，) 34当a 时，f(x)在 1，1上是单调函数.34， )(见学生用书P 121)一、选择题1(x湖南卷) 某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )A. B.p q2 （p 1）（q 1） 12C. D. 1pq （p 1）（q 1）解析：设原来的生产总值为a，平均增长率为x，则a(1p)(1q)a(1x) 2，解得1x ，（p 1）（q 1）即x 1.（p 1）（q 1）答案：D2(x 陕西卷 )设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是( )Alog ablogcblog ca B log
15、ablogcalog cbC logabclog ablogac Dlog a(bc)log ab logac解析：对于A，log ablogcblog calog ab ，与换底公式矛logcalogcb盾，所以A不正确；对于B，log ablogcalog cblog ab ，符合换底公式，所以logcblogca正确；对于C，log abclog ablogac，不满足对数运算公式log a(xy)log axlog ay(x、y 0)，所以不正确；对于D，log a(bc)log ablog ac，不满足log a(xy)log axlog ay(x、y 0)，所以不正确答案：B3定义
16、在R上的函数f(x) 满足：f(x)f(x )恒成立，若x 1ex2f(x1)B ex1f(x2)0，f（x） f（x）ex函数g(x)单调递增x1ex2f(x1)答案：A4(x 湖北黄冈中学等八校第一次联考) 若幂函数f(x )mx 的图象经过点A ，则它在点A处的切线方程是( )(14，12)A2xy 0 B 2xy0C 4x4y10 D4x4y10解析：f(x)mx 的图象经过点A ，f (x)是幂函数，m1(14，12)， ，f( x) .f(x) ，则它在点A 处的切线方程为4x4y12 x 12x10，故选C.答案：C5(x 重庆卷 )已知函数f (x) 1x 1 3，x （ 1，
17、0，x，x （0，1， )且g(x )f (x)mxm在(1，1内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是( )A. ( 94， 2 (0，12B. ( 114， 2 (0，12C. ( 94， 2 (0，23D. ( 114， 2 (0，23解析：由g(x)f( x)mx m0，得f(x)m( x1) ，分别作出函数f(x)和yg(x) m(x1)的图象如图由图象可知f(1)1，g (x)表示过定点A(1，0)的直线当g(x )过(1 ，1)时，m ，此时两个函数有两个交点，此时满足12条件的m的取值范围是00) ， 3by(y0)，x yt(t 0)，则24 a2 a3b29 b2
18、a3 b1可化为2x2xy 2y 2xy1，即5x 25tx2t 2t 10，令f(x)5x 25tx2t 2t1，则f(0) 2t 2 t10，25t 220(2t 2t1) 0，解得10， )则a的取值范围为_解析：当x 0时，f(0)a，由题意得：ax ，1x又x 2 2，a2.1x x1x答案：(，210已知函数y 的图象与函数ykx的图象恰有两个交|x2 1|x 1点，则实数k 的取值范围是 _解析：函数y |x2 1|x 1 |x 1|x 1|x 1 x 1，x1， （x 1）， 1 x0， y2t 10为增函数800t 函数y 2t 10在 t20时取得最小值，此时 x5，因此f
19、 (x)的最800t小值为70. 隔热层修建5 cm厚时，总费用 f(x)达到最小，最小值为70 万元12已知f(x)x .1|x|(1)指出的 f(x)值域；(2)求函数 g(x)f(x) p(pR)的零点的个数(3)若函数 f(x)对任意x 2，1 ，不等式 f(mx)mf(x )0时，f(x)x 2；1x当x0时f(x)x 2.1x当x0，(x 1x) 1x2可得f(x) 在( ，0)上是增函数故当p2时，函数 g(x)f( x)p(pR)的零点的个数是 3.当p2时，函数g(x)f(x)p(pR) 的零点的个数是2，当p0m2 1mx时，mx 0 恒成立，即m 2 恒成立，12x2 1
20、而 在 2，1上的最大值为1，m 1.12x2 1当m0，可得2m 2x2 m211， 1 ，1 12 13 12 1732 12 2，则按此规律可猜想此类不等式的一般形式为：_13 115_.考点：归纳推理分析：观察各式左边为 的和的形式，项数分别为：3，7，15，1n故可猜想第n个式子的项数，不等式右侧式子分别写成 ， ， ，故22 32 42猜想第n个式子，由此可写出一般的式子解析：观察各式左边为 的和的形式，项数分别为：3，7，15，1n故可猜想第n个式子中应有2 n1 1项，不等式右侧分别写成 ， ， ，22 32 42故猜想第n个式子应为 ，n 12按此规律可猜想此类不等式的一般形
21、式为：1 (nN *)12 13 12n 1 1n 12答案：1 (nN *)12 13 12n 1 1n 12点评：本题考查归纳推理，考查观察、分析、解决问题的能力，关键是猜想第n个式子与n的关系规律总结尽管合情推理得到的结果不一定正确，但它是科学发现和创造的基础，因而是近几年高考重点考查对象高考对合情推理的考查，题型较为灵活，以填空题和选择题为主，难度中等，区分度较大，因而是我们二轮复习中需要重点突破的地方，其中归纳推理问题是热点问题变式训练【11】 (xx模拟)请阅读下列材料：若两个正实数a 1，a 2满足aa 1，那么a 1a 2 .证明：构造函数 f(x)(x a 1)2( xa 2
22、)221 2 22x 22(a 1a 2)x1，因为对一切实数x，恒有f (x)0，所以 0，从而得4(a 1a 2)28 0，所以a 1a 2 .根据上述证明方法，若n个2正实数满足a a a 1时，你能得到的结论为_21 2 2n_解析：构造函数f(x) (xa 1)2(x a 2)2(x a n)2nx 22(a1a 2a n)x1，由对一切实数x ，恒有f (x)0，所以 0，得a1a 2a n .n答案：a 1a 2a n n【12】 (x师大附中模拟 )已知 2 ， 3 ，2 23 23 3 38 384 ，若 6 (a，t均为正实数) ，则类比以上等4 415 415 6 at
23、at式，可推测a，t的值，at_解析：观察下列等式： 2 ， 3 ， 42 23 23 3 38 38 4 415， ，照此规律，第 5个等式中：a6， ta 2135，at 41415.答案：41考点二 反证法考点精析1反证法证明数学命题的一般步骤是：(1)反设：假设所要证明的结论不成立，而设结论的反面成立(2)归谬：由“反设”出发，通过正确的推理，导出矛盾(3)结论：因为推理正确，产生矛盾的原因在于“反设”的谬误，既然结论的反面不成立，从而肯定了结论的成立运用反证法的关键是导出矛盾2宜用反证法证明的题型：(1)一些基本命题、基本定理(2)易导出与已知矛盾的命题(3)“否定性”命题(4)“唯
24、一性”命题(5)“ 必然性 ”命题 (6)“至多”、“至少 ”类命题(7) 涉及“无限”结论的命题等等例 21(x 陕西卷 )设a n是公比为q的等比数列(1)推导 an的前n项和公式；(2)设q 1，证明数列a n1不是等比数列考点：等比数列的概念、通项公式及反证法分析：利用等比数列的概念及通项公式推导前n项和公式，利用反证法证明要证的结论解析：(1) 设 an的前n项和为S n，当q1时，S na 1a 1a 1na 1；当q1时，S na 1a 1qa 1q2a 1qn1 ，qSna 1qa 1q2a 1qn，得，(1q) Sna 1a 1qn，Sn ，a1（1 qn）1 qSn na1
25、， q 1a1（1 qn）1 q ，q 1.)(2)假设 an1是等比数列，则对任意的k N ，(ak1 1)2(a k1)( ak2 1)，a 2a k1 1a kak2 a ka k2 1，2k 1a q2k 2a1qka 1qk1 a1qk1 a 1qk1 a 1qk1 ，21a10，2q kq k1 qk1 .q0，q 22q10，q1，这与已知矛盾假设不成立，故 an1不是等比数列点评：本题考查了等比数列的概念，通项公式与反证法，考查了利用反证法证明有关命题的能力，一般对于唯一命题，否定性命题，存在性问题或直接证明比较困难等命题的证明，都可考虑用反证法证明规律总结反证法可应用于数学证
26、明的各个方面，只要是直接证明有困难的，且有可能从结论的否定推出矛盾的都可以尽管在高考中较少要求用反证法证明，但有时命题者为了考查反证法掌握的程度，有意设置成宜用反证法证明的问题因此，我们必须熟练掌握这一方法变式训练【21】 等差数列a n的前n项和为S n，a 11 ，S 393 .2 2(1)求数列 an的通项a n与前n项和S n；(2)设b n (nN *)，求证：数列b n中任意不同的三项都不可Snn能成为等比数列解析：(1) 由已知得 a1 2 1，3a1 3d 9 32，)d2，故a n2n1 ，S nn(n )2 2(2)证明：由(1) 得b n n .假设数列b n中存在三项b
27、 p，b qSnn 2，b r(p，q，r互不相等)成等比数列，则b b pbr，即(q )2(q )(r )，2q 2 2 2(q2pr ) (2qpr)0.2p，q，r N *， q2 pr 0，2q p r 0，) pr，则(pr )20，(p r2 )2 pr ，这与pr矛盾，所以数列b n中任意不同的三项都不可能成为等比数列(见学生用书P 62)例 已知a，b，c 是互不相等的非零实数求证：三个方程ax 22bxc0，bx 22cx a0，cx 22ax b0至少有一个方程有两个相异实根考场错解：假设三个方程都没有两个相异实根，则 14b 2 4ac0， 24c 24ab0 ， 34
28、a 24bc0，相加有a 22abb 2b 22bcc 2c 22aca 20，(*)即(a b)2 (bc) 2(ca) 20，此不等式不能成立，所以假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根专家把脉：上面解法的错误在于认为“方程没有两个相异实根就有 0”，事实上， “方程没有两个相异实根时 0”对症下药：假设三个方程都没有两个相异实根，则 14b 2 4ac0， 24c 2 4ab0， 34a 24bc0.相加有a 22abb 2b 22bcc 2c 22aca 20，即(a b)2 (bc) 2(ca) 20，(*)由题意a，b，c互不相等，所以 (*)式不能成立所以假设不成立
29、，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根专家会诊：用反证法证题要把握三点：(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能，要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不全面的(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法(3)反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以与已知矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾，但推导出的矛盾必须是明显的(见学生用书P 133)一、选择题1(xx 质检 )观察(x 2)2x ，(x 4) 4x 3，(cos x)sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f (x
30、)满足f (x )f(x )，记g(x)为f (x)的导函数，则g(x )( )Af(x) Bf( x)C g(x) Dg(x)解析：由所给等式知，偶函数的导数是奇函数f(x) f(x)，f(x)是偶函数，从而g(x)是奇函数 g(x)g(x )答案：D2(x 黄冈模拟 )面积为S的平面凸四边形的第i条边的边长记为a i(i1， 2， 3，4) ，此四边形内任一点 P到第 i条边的距离为h i(i1，2，3，4)，若 k，则h 12h 23h 34h 4 .根据以a11 a22 a33 a44 2Sk上性质，体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为 Si(i1，2，3，4) ，此三棱锥内任一点Q到
31、第i个面的距离记为H i(i1，2，3，4) ，若S11 k，则 H12H 23H 34H 4 ( )S22 S33 S44A. B.Vk 3VkC. D.4Vk 8V5解析：根据三棱锥的体积公式V Sh，13得： S1H1 S2H2 S3H3 S4H4V，13 13 13 13即kH 12kH 23kH 34kH 43V，H12H 2 3H34H 4 ，即 (iHi) .3Vk 4i 1 3Vk答案：B3(x 长沙模拟 )已知函数yf(x) 的定义域为D ，若对于任意的x 1，x 2D(x 1x 2)，都有 f ，则称yf(x)为D 上(x1 x22 ) f（x1） f（x2）2的凹函数由此
32、可得下列函数中为凹函数的是( )Aylog 2x By xC y x2 Dyx 3解析：结合函数图象，直观观测C满足事实上f ，(x1 x22 ) (x1 x22 )2 .f（x1） f（x2）22x1x2x x (x1x2)，21 2 ，(x1 x22 )2 因此f ，(x1 x22 ) f（x1） f（x2）2yf(x)x 2在D上为凹函数答案：C4(x 武汉质检 )给出下列三个类比结论：(ab) na nbn与(ab) n类比，则有(ab) na nb n；log a(xy)log axlog ay与sin()类比，则有sin( )sin sin ；(ab) 2 a22abb 2与(ab) 2类比，则有 (ab) 2a 22abb2.其中结论正确的个数是( )
