1、阿基米德折弦定理的四种常见证法Justin 深圳平面几何内容在整个初中数学知识中占有很重要第位，无论是中考还是平时阶段检测，往往会在几何题目的设置上体现选拔性。更有人说：“初中数学学得好不好，关键看几何好不好” 。这些虽然仅仅是一些说法而已，但也不无它的道理。平面几何的确是考察学生的一个很重要的方面，几何学习的关键主要是掌握作辅助线的技巧。而这些技巧也并非一朝一夕就能掌握的，需要长时间的积累，总结，并应用才能较好掌握。在整个初中范围内，圆作为一个独立的章节更显现它的重要，并以综合难度大，辅助线的作法较多著称。下面就以“阿基米德折弦定理”的证明为例来浅谈本人对圆的学习心得。问题：已知 M 为 的
2、中点，B 为 上任意一点，且 于 .BCMD求证： DCAB证法一：(补短法)如图：延长 DB 至 F，使 BF=BA M 为 的中点 AM=MC,MAC=MC A- 又 , MC=MA MBC= MAC-又MBC+MBF=180- 由 M,B,A,C 四点共圆 MCA+MBA=18 0- 由可得：MBA=MBF在MBF 与MBA 中：MBF MBA(SAS) MF=MA, 又MC=MA MF=MCMBFA又MDCF DF=DC FB+BD=DC 又BF=BA AB+BD=DC （证毕）证法二：（截长法）如图：在 CD 上截取 DB=DG MD BG MB=MG MBG=MGB-又 ，MBG=
3、MAC 又MAC= MCA (已证)，MBG=MC A- 由 可得MGB=MCA=BCA+MCG而MGB=GMC+MCG GMC=BCA 又 ,BMA=BCA BMA=GMC, 在MBA 与MGC 中 BMA GMC (SAS)MCAGBAB=GC, AB+BD=GC+BD=GC+DG=DC( 证毕)证法三：（翻折）如图：连接 MB,MC,MA,AC, 将BAM 沿 BM 翻折，使点 A 落至点 E，连接 ME,BEMBA 与MBE 关于 BM 对称，所以MBEMBA MA=ME, MBA=MBE-又MA=MC, ME=MC , 又M, B, A, C 四点共圆，MBA+MCA=180- 又M
4、A=MC(已证) MAC=MCA 又 ，MBC=MAC MBC=MCA- -由得:MBC+MBE=180 E,B,C 三点共线。 又ME=MC,MDCEDE=DC ,EB+BD=DC ,又MBEMBA AB=EB AB+BD=DC(证毕)证法四：如图，连接 MB,MA,MC,AC, 延长 AB,过点 M 作 MHAB 于点 H,M 为 的中点 AM=MC, 又 ,HAM=DCM又MHA= MDC=90 在MHA 与MDC 中 MACDHMHAMDC (AAS) CD=AH- MD=MH 在 RTMHB 与 RTMDB中MDBMHB (HL) BD=BH 又 AH=AB+BH, AH=AB+BD-MBDH由可得 DC=AB+BD (证毕)反思：在平时数学教学活动中，尤其是几何学的教学，它可以让觉得数学课枯燥无味的学生顿时感兴趣，更是师生互动的一个很好的媒体。老师与学生一起想办法，也是一种数学情感的体现。在圆这一章节，很多学生反映难学，难在辅助线多，方法多，同一个问题灵活多变，不同的出发点会得到不同的解题方法。本题就是一个很好的例子。对于一个著名的平面几何定理，我们的证明也仅仅是使用了非常常见的“截长补短” ， “对称变换”等方法。在以后的几何教学过程中多总结出一些通用，常见的解题方法这会让学生受益匪浅的，万变不离其宗，才是数学的特点。
