1、1一、参考例题例 1如下图，ABC 中，点 O 是 AC 边上的一个动点，过点 O 作直线 MNBC，设 MN 交BCA 的平分线于点 E，交BCA 的外角平分线于点 F.(1)求证：EO=FO(2)当点 O 运动到何处时，四边形 AECF 是矩形？并说明你的结论 .分析：(1)要证明 OE=OF，可借助第三条线段 OC，即证：OE=OC，OF= OC，这两对线段又分别在两个三角形中，所以只需证 OEC、OCF 是等腰三角形，由已知条件即可证明.(2)假设四边形 AECF 是矩形，则对角线互相平分且相等，四个角都是直角.由已知可得到：ECF=90，由(1) 可证得 OE=OF，所以要使四边形A
2、ECF 是矩形 ,只需 OA=OC.证明：(1)CE 、CF 分别是ACB、ACD 的平分线.ACE= BCE，ACF=DCFMNBC OEC= ECB，OFC= FCDACE= OEC，ACF=OFCOE=OC，OF=OC OE=OF(2)当点 O 运动到 AC 的中点时，即 OA=OC又由(1)证得 OE=OF四边形 AECF 是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)由(1)知：ECA+ ACF = ACB+ ACD= (ACB+ACD)=90 2121即ECF=90四边形 AECF 是矩形.因此：当点 O 运动到 AC 的中点时，四边形 AECF 是矩形.2例 2如下图，已知矩
3、形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于 O，OFAD于 F， OF=3 cm，AEBD 于 E，且 BEED=13，求 AC 的长.分析：本题主要利用矩形的有关性质，进行计算.即：由矩形的对角线互相平分且相等；可导出 BE=OE，进而得出 AB=AO，即得出 BE=OF=3 cm，求出BD 的长，即 AC 的长.解：四边形 ABCD 是矩形. AC=BD ,OB=OD=OA=OC又BEED=1 3 BEBO=12 BE =EO又AEBOABE ADE AB=OA 即 AB=AO=OBBAE = EAO=30， FAO =30 ABEAOFBE=OF =3 cm,BD=12 cm AC=BD
4、 =12 cm二、参考练习1.如图，有一矩形纸片 ABCD，AB=6 cm,BC=8 cm，将纸片沿 EF 折叠，使点 B 与 D 重合，求折痕 EF 的长.解：连结 BD、BE 、DF 由折叠的意义可知：EF BD，EF 平分 BD.BE=ED ,BF=FD四边形 ABCD 为矩形 AB= CD，AD=BC，C=90，ADBCEDO =FBO点 B 和 D 重合 BO =DO，BOF=DOEBOF DOE ED=BF，ED= BF=FD=BE3四边形 BFDE 是菱形 S 菱形 = BDEF=BFCD21BF=DF ， 可设 BF=DF=x 则 FC=8x在 Rt FCD 中，根据勾股定理得
5、： x2=(8x) 2+62x= EF=7.54256456812EF因此，折痕 EF 的长为 7.5 cm.2.当平行四边形 ABCD 满足条件_时，它成为矩形 (填上你认为正确的一个条件即可).答案：BAC=90或 AC=BD 或 OA=OB 或ABC +ADC=180或BAD+ BCD= 180等条件中的任一个即可.典型例题例 1 如图，在菱形 ABCD 中， E 是 AB 的中点，且 ，求：（1） 的度数；（2）对角线 AC 的长；（3）菱形 ABCD 的面积分析 （1）由 E 为 AB 的中点， ，可知 DE 是 AB 的垂直平分线，从而 ，且 ，则 是等边三角形，从而菱形中各角都可
6、以求出（2）而 ，利用勾股定理可以求出 AC（3）由菱形的对角线互相垂直，可知 解 （1）连结 BD，四边形 ABCD 是菱形， 是 AB 的中点，且 ， 是等边三角形， 也是等边三角形 （2）四边形 ABCD 是菱形， AC 与 BD 互相垂直平分，4 ， （3）菱形 ABCD 的面积 说明：本题中的菱形有一个内角是 60的特殊的菱形，这个菱形有许多特点，通过解题应该逐步认识这些特点例 2 已知：如图，在菱形 ABCD 中， 于 于 F求证： 分析 要证明 ，可以先证明 ，而根据菱形的有关性质不难证明 ，从而可以证得本题的结论证明 四边形 ABCD 是菱形， ，且， ， ， ， 例 3 已知
7、：如图，菱形 ABCD 中， E， F 分别是 BC， CD 上的一点， ，求 的度数. 解答：连结 AC. 四边形 ABCD 为菱形， ， . 与 为等边三角形. 5 ， ， 为等边三角形. ， 说明 本题综合考查菱形和等边三角形的 性质，解题关键是连 AC，证. 例 4 如图，已知四边形 和四边形 都是矩形，且 求证： 垂直平分 分析 由已知条件可证明四边形 是菱形，再根据菱形的对角线平分对角以及等腰三角形的“三线合一”可证明 垂直平分 证明：四边形 、 都是矩形 ， ， ， 四边形 是平行四边形 ， 在 和 中 ， 四边形 是平行四边形 四边形 是菱形 平分 平分 6 垂直平分 例 5
8、如图， 中， ， 、 在直线 上，且求证： 分析 要证 ，关键是要证明四边形 是菱形，然后利用菱形的性质证明结论证明 四边形 是平行四边形 ， ， ， ， 在 和 中 同理： 四边形 是平行四边形 四边形 是菱形 典型例题例 1 一个平行四边形的一个内角是它邻角的 3 倍，那么这个平行四边形的四个内角各是多少度？分析 根据平行四边形的对角相等，邻角互补可以求出四个内角的度数解 设平行四边形的一个内角的度数为 x，则它的邻角的度数为 3x，根据题意，得 ，解得 ， 这个平行四边形的四个内角的度数分别为 45，135，45，1357例 2 已知：如图， 的周长为 60cm，对角线 AC、 BD 相
9、交于点 O，的周长比 的周长多 8cm，求这个平行四边形各边的长分析 由平行四边形对边相等，可知 平行四边形周长的一半30cm，又由 的周长比 的周长多 8cm，可知 cm，由此两式，可求得各边的长解 四边形 为平行四边形， ， ， 答：这个平行四边形各边长分别为 19cm，11cm，19cm，11cm说明：学习本题可以得出两个结论：（1）平行四边形两邻边之和等于平行四边形周长的一半（2）平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形周长之差等于邻边之差例 3 已知：如图，在 中， 交于点 O，过 O 点作 EF 交AB、 CD 于 E、 F，那么 OE、 OF 是否相等，说明理由分析 观
10、察图形， ，从而可说明 证明 在 中， 交于 O， ， ， ， 例 4 已知：如图，点 E 在矩形 ABCD 的边 BC 上，且 ，垂足为 F。求证： 8分析 观察图形， 与 都是直角三角形，且锐角，斜边 ，因此这两个直角三角形全等。在这个图形中，若连结 AE，则 与 全等，因此可以确定图中许多有用的相等关系。证明 四边形 ABCD 是矩形， ， ， ，又 ， 。 例 5 O 是 ABCD 对角线的交点， 的周长为59， ， ，则 _，若 与 的周长之差为15，则 _， ABCD 的周长=_. 解答： ABCD 中， ， . 的周长 . 在 ABCD 中， . 的周长 的周长 ABCD 的周长 说明：本题考查平行四边形的性质，解题关键是将 与 的周长的差转化为两条线段的差. 例 6 已知：如图， ABCD 的周长是 ，由钝角顶点 D 向 AB， BC 引两条高 DE， DF，且 ， . 求这个平行四边形的面积 . 9解答：设 . 四边形 ABCD 为平行四边形， . 又四边形 ABCD 的周长为 36， ， 解由，组成的方程组，得 . . 说明：本题考查平行四边形的性质及面积公式，解题关键是把几何问题转化为方程组的问题.
