1、1BAOBBA AO第十讲 弧、弦、圆心角、圆周角知识点一弧、弦、圆心角的关系【定义】 、如图所示，AOB 的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做 【探究】如图所示的O 中，分别作相等的圆心角AOB和AOB将圆心角AOB 绕圆心 O 旋转到AOB的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？相等的弦： ；相等的弧： 【探究】在等圆中，相等的圆心角是否也有所对的弧相等，所对的弦相等呢？ 如图 1，在O 和O中，分别作相等的圆心角AOB 和AOB得到如图 2，滚动一个圆，使 O 与O重合，固定圆心，将其中的一个圆旋转一个角度，使得 OA 与 OA重合O(O)OOB ABBO(O)OOB AAA你能发现哪些
2、等量关系？说一说你的理由？因此，我们可以得到下面的定理：【归纳】在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧 ，所对的弦 。几何语言： 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的 相等，所对的 也相等几何语言： 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的 相等，所对的 也相等几何语言： 【辨析】定理“在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？你能举出反例吗？【拓展】如图，在O 中，AB、CD 是两条弦（1） 如果 AB=CD，那么_,_（2） 如果弧 AB=弧 CD，那么_,_（3） 如果AOB=COD，那么_,_（4） 如果 AB
3、=CD, OEAB，OFCD,OE 与 OF 相等吗？（5）如果 OE=OF，那么 AB与 CD的大小有什么关系？AB 与 CD 的大小有什么关系？为什么？AOB 与COD 呢？【归纳】:在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也 。OBA CE DF2【应用】例、如图，在O 中，AB=AC ACB =60 ，求证AOB=BOC=AOC. 方法小结：圆中证明圆心角相等，可通过证明_例、如图，AB 是O 的直径， = = ，COD=35 ，求AOE 的度数。ABCDE方法小结：同圆中，弧相等的关系可转化为_例、已知：如图，A、B 、C、D 在O
4、 上，AB= CD求证：AOC=DOB方法小结：同圆中，由弦相等可得_,弧之间可进行加或 _【自我检测】1如果两个圆心角相等，那么（ ） A这两个圆心角所对的弦相等 B这两个圆心角所对的弧相等 C这两个圆心角所对的弦的弦心距相等 D以上说法都不对 2在同圆中，圆心角AOB=2COD，则两条弧 AB 与 CD 的关系是（ ）两条弦 AB 和CD 的关系是（ ） A. AB=2CD BAB2CD CAB2CD D不能确定 3、一条弦长恰好为半径长，则此弦所对的弧是半圆的_4、如图，AB 和 DE 是O 的直径，弦 ACDE，若弦 BE=3，则弦CE=_5、如图所示，平行四边形 ABCD 中，以 A
5、 为圆心，AB 为半径的圆分别交 AD、BC 于 E、F，延长 BA 交圆于 G。求证： AEF=思路导航：证弧 EF 和弧 GE 相等，可通过证明两条弧所对的 _相等，因此，可作辅助线_6、已知：如图，P 是AOB 的角平分线 OC 上的一点，P 与 OA 相交于 E，F 点，与 OB 相交于 G，H 点，试确定线段 EF 与 GH 之间的大小关系，并证明你的结论思路导航：由角平线线可联想_,因此可添加辅且线_由同圆中_相等，可得出弦 EF 和 GH 相等。OB CAOA BE D C3知识点二、圆周角定理【探究】：同学甲站在圆心 O 的位置，同学乙站在正对着玻璃窗的 靠墙的位置 C，他们的
6、视角（AOB 和ACB ）有什么关系。【探究】：如果同学丙、丁分别站在其他靠墙的位置 D 和 E，他们的视角ADB 和AEB相同吗？ACB, ADB 和AEB 的共同特征是，顶点在_，并且两边_的角叫做圆周角。【辨析】识别图形：判断下列各图中的角是否是圆周角？【探究】如图，AB 为O 的直径，BOC、BAC 分别是 BC 所对的圆心角、圆周角，求出图（） 、 （） 、 （）中BAC 的度数通过计算发现：BACBOC试证明这个结论【探究】如图，B C 所对的圆心角有多少个？B C 所对的圆周角有多少个？在画出的无数个圆周角中，这些圆周角与圆心 O 有几种位置关系？你能证明刚才的结论吗？圆周角定理
7、：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半推论:半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径辨析：在半径不等的圆中，相等的两个圆周角所对的弧相等吗？【小结】：圆周角定理的前提条件是：_【应用】例 1、 图中分别相等的圆周角有_例 2、 如图，点 A、B、C 在O 上，AOBC，OAC=20，则AOB 的度数是 _.OCBA4方法小结：求圆中的圆周角可利用_所对_实现转化。例 3、 如图， OA、OB、OC 都是圆 O 的半径,AOB=2BOC求证:ACB=2BAC方法小结：已知两个圆心角的关系，可通过_所对的_与_的关系联系已知与未知。例 4、
8、如图，AB 是O 的直径，BD 是O 的弦，延长 BD 到 C，使 AC=AB，BD 与 CD 的大小有什么关系？为什么？方法小结：直径所对的圆周角是_，垂直可结合等腰三角形_的性质。例 5、如图，AB 为圆 O 的直径，CD 为圆 O 的弦，ACD=42 度，则BAD=_方法小结：圆中出现直径，求圆周角时，可构造直径所对_解题。【自我检测】1、 如图，ABD 的三个顶点在O 上，AB 是直径，点 C 在O 上，且 ABD=52，则BCD=_2、 如图，在O 中，弧 AB=弧 AC，AOB=50，则ADC 的度数=_3、 如图，BD 是O 的直径，CBD=30，则A 的度数为_4、 如图 4，
9、A、B 是O 的直径，C、D、E 都是圆上的点，则1+2=_【经典例题】例、如图，四边形 ABCD 的四个顶点在圆 O 上，且对角线 ACBD,OEBC 于点 E，求证：OE= AD125思路导航：由倍分关系，联系_，由 OE 和 BC 的位置关系，由垂径定可知点 E 是 BC 的_,又由圆的性质知点 O 为直径的中点，故可作辅助线_本题知识点：_,_,_知识点三、圆内接四边形的性质【定义】如果四边形的各顶点在一个圆上，这个四边形叫做这个圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。例如，图 1 中，四边形 ABCD 是O 的内接四边形； O 是四边形 ABCD 的外接圆。圆内接四边形有以下性质：
10、性质定理 圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的相邻内角的对角。应用例 1、如图，四边形 ABCD 内接于O，BOD=100，则BCD=_度例 2、如图 A，B，C 是O 上的三个点，若 AOC=100，则ABC 等于例 3、如图，ABC 内接于O，OBC=40，则A 的度数为方法小结：圆中求角的问题可利用圆内接四边形_的性质解题，未出现基本图形时，可构造圆内接边形解题。例 4、如图，AB 是半圆的直径，点 D 是弧 AC 的中点，ABC=50，则DAB 等于（ ）例 5、如图，已知 AB=AC=AD， ，BAC=44，则BDC 的度数为（ ）方法小结：弧中点的条件可转化为_,见
11、直径应想到_，例 5 中出现到定点 A 的距离相等的线段，可构造辅助圆。经典例题 如图，ABC 内接于O，且 ABACBAC 的外角平分线交O 于 E，EFAB，垂足为 F（1）求证：EB=EC；（2）分别求式子 和 的 值ABCF+A-（3）若 EF=AC=3，AB=5，求AEF 的面积6妙题巧解如图，在四边形 ABCD 中，ABC=ADC=90，DAB=60，BD=6cm，求对角线 AC 的长【自我检测】1、 如图 12，四边形 ABCD 内接于圆，DCE=70，则BOD=_ 2、如图，A、B、 C 在O 上，OAB=22.5，则ACB=_3、如图，O 是ABC 的外接圆，已知B=62，则CAO=_4、已知 A，B，C 是O 上不同的三个点，AOB=60 ，则ACB=_5、如图 OA=OB=OC 且ACB=30，则AOB 的=_ 第 1 题 第 2 题 第 3 题 第 5 题6、 如图，等腰ABC 中，AC=BC，O 为ABC 的外接圆，D 为弧 BC 上一点，CEAD 于 E，求证：AE=BD+DE7、 如图，C 经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点 A 与点 B，点 A 的坐标为（0，4） ，M 是圆上一点，BMO=120（1）求证：AB 为C 直径（2）求C 的半径及圆心 C 的坐标7
