1、牢固的基础是能力的前提！第 1 页 共 14 页初中数学代数知识大全一、有理数的运算1、 相反数： : :0:0aaa的 相 反 数 为 的 相 反 数 为 的 相 反 数 为2、 绝对值： 3、 倒数： ， 或 1ab.和 互 为 倒 数 1ab4、 有理数的加法： (|)()|)ab|(|)5、 有理数的减法： ()ab6、 有理数的乘法： |ab(0,)ab7、 有理数的除法： |8、 有理数的乘方： ()nan 个2()n2121na(0)二、整式的运算1、 整式的加减：（1） 非同类项的整式相加减： （不能合并！）abm（2） 同类项的整式相加减： （合并同类项，只把系数相加减）()
2、na2、 整式的乘除：（1） 幂的八种计算（a） 同底数幂相乘： mn（b） 同底数幂相除： (0)a（c） 零指数： 01()a（d） 负指数： 0p（e） 积的乘方： ()mb（ ）00 （ ）|（ ）牢固的基础是能力的前提！第 2 页 共 14 页（f） 幂的乘方： ()nma（g） 同指数的幂相乘： ()mb（h） 同指数的幂相除： 0m（2） 整式的乘法：（a） 单项式乘单项式： anb（b） 单项式乘多项式： ()cabmc（c） 多项式乘多项式： n（3） 乘法公式：（a） 平方差公式： 2()ab（b） 完全平方公式： ab（c） 三数和的完全平方公式： 22()bcac（d）
3、 立方和公式： 23()ab（e） 立方差公式： 2)a（f） 完全立方公式： 323(b（g） 三数和的完全立方公式： 3()bcac（4） 整式的除法：（a） 单项式除以单项式： ()manb（b） 多项式除以单项式： (cabmcab三、因式分解的运算1、 提取公因式法： ()mabcab2、 公式法： 2()222()3、 十字相乘法： ()nmn四、分式的运算1、 分式的通分： (0,)mba2、 分式的化简（约分）： (0,)bab牢固的基础是能力的前提！第 3 页 共 14 页3、 分式的加减：（1） 同分母的分式相加减： (0)mnaa（2） 异分母的分式相加减： ,bb4、
4、分式的乘除：（1） 分式的乘法： (0,)naab（2） 分式的除法： ,0)mbnn五、根式的运算1、 根式的加减： （同类根式才能相加减）()ana2、 根式的乘除： mb()0,)manbnb（同次根式才能相乘除）3、 根式的乘方： 2(0)a4、 分母有理化： 2(0)()ma2()bmabab六、方程的运算1、 一元一次方程步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，化未知数的系数为 1。注意：移项时，此项前的符号要变号；去括号时，括号前是“”时，括号内的每一项都要变号。2、 关于 的一元一次方程 的解的三种情况xaxb（1） ， ，方程无解0a（2） ， ，方程无数多个解（3） ，方程
5、只有一个解3、 二次一次方程（组）（1） 二元一次方程的正整数解（不定方程）（a） 不定方程的概念：一个方程，两个未知数。()2|a0a()牢固的基础是能力的前提！第 4 页 共 14 页（b） 不定方程的解：有无数组解，这些解有一定的规律。一般只讨论正整数解。（c） 不定方程的一般解法 （选学内容*）对于不定方程 来说：3490xy解法步骤为：（1）整理：用一个未知数表示另一个未知数。 9043yx（2）求解：令 ，求出 的整数解。1,23y x（3）设参数： ，且 为整数。40xy 显然是 3 的倍数。故 3(1,24)yk所以符合要求的解集为：（2） 二元一次方程组的解法（a）代入消元法
6、要点：用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数，代入方程求解。（b）加减消元法要点：通过加减消去一个未知数，求出另一个未知数，代入方程再求出消去的未知数。（3） 三元一次方程组的解法主要是加减消元法要点：先用式与式消成二元一次方程，再用式与式消成二元一次方程，然后组成新的二元一次方程组再求解。4、 分式方程（1） 步骤：方程两边同时乘最简公分母，去分母，化为整式方程求解，检验。（2） 要点：增根的检验很必要，不然方程中分母为 0，无意义！（3） 增根的检验：代入原方程的分母，看分母是否为 0。为 0 则是增根，不为 0 则是原方程的根（4） 拓展提高：已知增根，求分式方程中的参数的值。先公为整
7、式方程，代入增根的值，即可求出原方程中的参数的值。 （注意，不能先代入，否则分母为 0，无法计算。 ）5、 一元二次方程（1） 三种解法（a） 配方法步骤：一化（化二次项的系数为 1）二移（把常数项移到方程右边）三配（方程两边同时加上一次项系数一半的平方）四整理（写成完全平方式，两边开方）五写根（通过开方的两个答案，写出两个根）（b） 公式法步骤： 一、找系数304xky牢固的基础是能力的前提！第 5 页 共 14 页二、算 的值24acb三、代公式2x四、写出两根（c） 因式分解法步骤：一整理（方程整理成右边=0 的形式）二分解（把方程左边分解成两个整式之积）三求根（根据每一个整式为 0，求
8、出两根）（2） 求根公式的理解24bacx（a） 不能为 0。因为 ，分母=0。式子无意义（b） ， ，2cxaa1acx2ac两根互为相反数。（c） ，0224bcbbx， 10a2ax两根之中至少有一个根为 0。（3） 根的判别式 24c（a） 当 时，方程有两个不相等的实数根。0ab（b） 当 时，方程有两个相等的实数根。2c（c） 当 时，方程元实数根。4（d） 当 时，方程有两个实数根。20ac（e） 、 异号时，方程必有实数根。（4） 方程的特殊解与系数的关系（a） 当方程有一个根为 0 时， ，另一根为cba（b） 当方程有一个根为 1 时， ，另一根为0abc（c） 当方程有一
9、个根为 时， ，另一根为c（5） 根与系数的关系（韦达定理）牢固的基础是能力的前提！第 6 页 共 14 页的两个根为 和 ，则 和 满足以下关系：20abxc1x212x = ， =1212ca根据以上规律还可以得到以下关系：22222 12()()accabbxx 1212bac22 2211acx2 2212 121222| 4144|()()accacxxbba42111()xx的分析如下：32c 211)()0(bbaca即：232 21cbx32 2212()()1acbaaxx23 222333322332()()10cbbaaccbxx牢固的基础是能力的前提！第 7 页 共 1
10、4 页23321acbx七、不等式（组）的运算1、 不等式的三条性质（1） 若 ,abm则（不等式两边同时加减相同的代数式，不等号方向不变）（2） 若 ,0abm则 或（不等式两边同时乘或除以一个正数，不等号方向不变）（3） 若 ,abm则 或（不等式两边同时乘或除以一个负数，不等号方向改变）2、 不等式的解法步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，化未知数的系数为 1。注意：移项要变符号，两边同时乘或除以一个负数，不等号要改变。3、 不等式的解集在数轴上表示（1） “ ”，用空心圆圈和（2） “ ”，用实心圆圈和4、 求符合不等式解集的特殊解（1） 正整数解（2） 非负数解（3） 与一元二次
11、方程的判别式相结合的求解集。(分 )0,0（4） 知道特殊解的个数，反过来求不等式中的参数的取值范围。5、 不等式组的四种解集（1） 两个都是大于：大大取较大。解集为：,()xabxa（2） 两个都是小于：小小取较小。解集为：,()b（3） 大于小的，小于大的：大小小大中间找。解集为： （ 、 之间）,()xabaxb（4） 大于大的，小于小的：大大小小没法找。解集为：无解 ,()6、 用图像解不等式（1） 一次函数分 0 和0 图象在 轴之下的部分： 0xkx（2） 一次函数与反比例函数分 三种情况考虑kbxxbx如图：交点坐标很重要。每种情况都要分几个区域来考虑。直线在曲线之上：一次函数大
12、于反比例函数直线在曲线之下：一次函数小于反比例函数直线与曲线的交点：一次函数等于于反比例函数（3） 二次函数 20abxc从开口方向、图象与 轴交点坐标、图象在 轴之上、与在 轴之下几个因素来考虑xx 图象在 轴上方的部分： 20abc 图象在 轴下方的部分：x2x 图象与 轴的相交处： 20abc 无交点时，整个图象在上与在下两种。八、直角三角形边角关系（三角函数）的运算1、 四种三角函数的（直角三角形）定义（1） 正弦：（对边比斜边） sinaAc（2） 余弦：（邻边比斜边） bo（3） 正切：（对边比邻边） ta（4） 余切：（邻边比对边） cA2、 四种三角函数的（直角坐标）定义BC
13、AcabABABA牢固的基础是能力的前提！第 9 页 共 14 页（1） 正弦： sinyc（2） 余弦： xo（3） 正切： tay（4） 余切： cotx注意：（A）当角 是锐角时，四种三角函数都是正数；（B）当角 是钝角时，P 点转到第二象限， 的值为负x数，此时只有正弦为正数，其余的三种三角函数都是负数。（C）由对称可知：互补的两角的正弦相等，如： = ， = sin60i12sin30i15互补的两角的其他三种三角函数互为相反数，如： = ， = = cos120cta5tacotct43、 特殊角的三角函数值0 30 45 60 90sinA 0 122321cosA 1 3210
14、tanA 0 31 3cotA 1 0口诀：正弦，余弦分分母 2，分子根号 1，2，3；正切余切分母 3，分子根号 3 次方。4、 三角函数的关系（1） 倒数关系： （两切相乘积为 1）tancotA（2） 平方关系： （两弦平方和为 1）221si（3） 商数关系： （两弦相除得到切 ）tcstinAco（4） 互为余角的三角函数：sino(90)aaosi(0)aoxy(,)Pxycx牢固的基础是能力的前提！第 10 页 共 14 页tancot(90)acotan(90)（5） 互为补角的三角函数：si(18)sc(18)atant0aott05、 直角三角形的边角计算（1） 计算对边：
15、 sincAtanbcotbA（2） 计算斜边： iacos（3） 计算邻边： tnbts（4） 规律：不必死记硬背，只记定义变形。先写相关定义，再作乘除变形。如： 可以推出： 和 siaAcsinacAsinac6、 三角形中重要的三角函数公式（1） 三角形的面积公式： 11sinsinsin222ABCBCBCS三角形的面积=夹角的正弦与这两边乘积的一半。（2） 正弦定理：（ 为ABC 的外接圆的半径）2sinisinabcRABC三角形中任一边与这边的对角的正弦比值相等。AB Cbca牢固的基础是能力的前提！第 11 页 共 14 页（3）余弦定理： 22cosbAa22aB22cosb
16、Cc三角形中任一边的平方=另两边的平方和减去这两边与夹角的余弦的两倍。（4）规律与用途A、 用两边夹一角计算三角形的面积。不知道高时，使用这种方法可使计算简便。尤其适用夹角是特殊角时。在求夹角是 60、30、120、150等三角形的面积时，可以直接使用这种公式计算，不需要作高来分析。如： 1sin602aS2324aB、 已知两角及其中一个对边，求另一条对边。用正弦定理列出比例式计算。知道两角夹一边也可以转化为正弦定理解。1sin602abS34AB Cbca 150ab1sin502S3ab4ax siniax sinia牢固的基础是能力的前提！第 12 页 共 14 页当 和 是特殊角时计
17、算尤为简便。C、 已知两边夹一角计算第三边。用余弦定理计算。夹角一般要特殊角才好计算。当 是特殊角时，计算很简便。特别是 和 时可以直接使用6012（5）典型例题 非直角三角形求解如图：已知B=60，C=45，BC=6，求ABCS方法 1：作高 作高 AD，设 AD= ，x则 在 RtACD 中 DC= ；在 Rt ABD 中 BD= 3BC=6 即 解得 6x618933x 11(9)2722ABCDS方法 2：正弦定理由正弦定理得： 即 siniABC6sin75i4AB从而求出 AB 的值。再利用： 求出三角形 ABC 的面积。1sin2ABCBS（说明：只是此题中 75不是特殊角）AB
18、 CDabx 22cosab x牢固的基础是能力的前提！第 13 页 共 14 页 两仰角求高（分同侧与异侧）如图：已知A=60，CBD=45，AB=6，求 CD方法 1：分两 Rt分析 在 Rt ACD 中，tanA CD tanD在 Rt BCD 中，tan CBD B taCB 即： AD6tan30t45DC6cot30t4531D 3(1)C方法 2：直接用公式注意到上面的推导过程，可得以下公式：设 ，A= ，CBD= ，DhABs则有以下公式： （同侧）cots（异侧）th这个公式是利用两仰角测量物体的高的经典公式， 是第一个仰角， 是第二个仰角（ ） ； 表示向前走的一段距离。s
19、这种方法在实际生活中有着广泛的应用，特别适合不能直接到达物体底部的测量。比如测量河对岸的塔高（有河水阻隔，不能直接到达塔底）用这种方法非常简便。 特殊三角形如图：已知 AB=20，在CBD=60 ，CAE=30，求CD 和 BD分析：关注题中的ABC，通过角度的计算，知道（同侧）AB DCEA BCD（异侧）CDBA牢固的基础是能力的前提！第 14 页 共 14 页ABC=30，ACB=30得到ABC 是特殊的三角形，即 AB=AC，从而在 RtAEC 中求出 CE。CD 和 BD 就好计算了。可见分析出ABC 是等腰三角形是解决此题的关键！因此，对于一些特殊三角形的分析是解题的重要思考方向。
