1、第二十六章 二次函数本章知识要点1 探索具体问题中的数量关系和变化规律2 结合具体情境体会二次函数作为一种数学模型的意义，并了解二次函数的有关概念3 会用描点法画出二次函数的图象，能通过图象和关系式认识二次函数的性质4 会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴5 会利用二次函数的图象求一元二次方程（组）的近似解6 会通过对现实情境的分析，确定二次函数的表达式，并能运用二次函数及其性质解决简单的实际问题绿色圃中小学教育网 http:/www.L 绿色圃中学资源网 http:/cz.L261 二次函数本课知识要点通过具体问题引入二次函数的概念，在解决问题的过程中体会二次函数的意义MM
2、及创新思维（1）正方形边长为 a（cm ），它的面积 s（cm 2）是多少？（2）矩形的长是 4 厘米，宽是 3 厘米，如果将其长与宽都增加 x 厘米，则面积增加 y 平方厘米，试写出 y 与 x 的关系式请观察上面列出的两个式子，它们是不是函数？为什么？如果是函数，请你结合学习一次函数概念的经验，给它下个定义实践与探索例 1 m 取哪些值时，函数 )1()(2mxmy是以 x 为自变量的二次函数？分析 若函数 )()(2是二次函数，须满足的条件是：02解 若函数 )1()(2mxmy是二次函数，则0解得 ，且 因此，当 0，且 1时，函数 )1()(2mxy是二次函数回顾与反思 形如 cbx
3、ay2的函数只有在 0a的条件下才是二次函数九年级下册数学教案探索 若函数 )1()(2mxmy是以 x 为自变量的一次函数，则 m 取哪些值？例 2写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数（1）写出正方体的表面积 S（cm 2）与正方体棱长 a（cm）之间的函数关系；（2）写出圆的面积 y（cm 2）与它的周长 x（cm）之间的函数关系；（3）某种储蓄的年利率是 1.98%，存入 10000 元本金，若不计利息，求本息和 y（元）与所存年数 x 之间的函数关系；（4）菱形的两条对角线的和为 26cm，求菱形的面积 S（cm 2）与一对角线长 x（cm）之间的函数关系解 （1）由题意，得
4、 )0(62aS，其中 S 是 a 的二次函数；（2）由题意，得 4xy，其中 y 是 x 的二次函数；绿色圃中小学教育网 http:/www.L 绿色圃中学资源网 http:/cz.L绿色圃中小学教育网 http:/www.L 绿色圃中学资源网 http:/cz.L（3）由题意，得 10%98.10xy（x0 且是正整数），其中 y 是 x 的一次函数；（4）由题意，得 )26(32)6(2S ，其中 S 是 x 的二次函数例 3正方形铁片边长为 15cm，在四个角上各剪去一个边长为 x（cm）的小正方形，用余下的部分做成一个无盖的盒子(1)求盒子的表面积 S（cm 2）与小正方形边长 x（
5、cm）之间的函数关系式；(2)当小正方形边长为 3cm 时，求盒子的表面积解 （1） )2150(4552x；（2）当 x=3cm 时， 893S（cm 2）当堂课内练习1下列函数中，哪些是二次函数？（1） 02xy（2） 2)1()(2xxy（3） 1 （4） 32当 k 为何值时，函数 1)(2kxy为二次函数？3已知正方形的面积为 cm，周长为 x（cm）(1)请写出 y 与 x 的函数关系式；(2)判断 y 是否为 x 的二次函数本课课外作业A 组已知函数 72)3(m是二次函数，求 m 的值绿色圃中小学教育网 http:/www.L 绿色圃中学资源网 http:/cz.L绿色圃中小学
6、教育网 http:/www.L 绿色圃中学资源网 http:/cz.L12 已知二次函数 2axy，当 x=3 时，y= -5 ，当 x= -5 时，求 y 的值3 已知一个圆柱的高为 27，底面半径为 x，求圆柱的体积 y 与 x 的函数关系式若圆柱的底面半径 x 为 3，求此时的 y4 用一根长为 40 cm 的铁丝围成一个半径为 r 的扇形，求扇形的面积 y 与它的半径 x 之间的函数关系式这个函数是二次函数吗？请写出半径 r 的取值范围B 组5对于任意实数 m，下列函数一定是二次函数的是 （ ）A 2)1(xy B 2)1(xy C 2)1(xmy D26下列函数关系中，可以看作二次函
7、数 cbxay2（ 0a）模型的是 （ ）A 在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系B 我国人口年自然增长率为 1%，这样我国人口总数随年份的变化关系C 竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）D 圆的周长与圆的半径之间的关系本课学习体会26.2 用函数观点看一元二次方程（第一课时）教学目标(一)知识与技能1经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系2理解二次函数与 x 轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根3理解一元二次方程的根就是二次函数与 y=h(h 是
8、实数)交点的横坐标(二)过程与方法1经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，培养学生的探索能力和创新精神2通过观察二次函数图象与 x 轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步培养学生的数形结合思想3通过学生共同观察和讨论培养大家的合作交流意识(三)情感态度与价值观1经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体验数学活动充满着探索与创造感受数学的严谨性以及数学结论的确定性，2具有初步的创新精神和实践能力教学重点1体会方程与函数之间的联系2理解何时方程有两个不等的实根，两个相等的实数和没有实根3.理解一元二次方程的根就是二次函数与 y=h(h 是实数)交点的横坐标教学难点1探索方程与
9、函数之间的联系的过程2理解二次函数与 x 轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系教学过程.创设问题情境，引入新课1.我们学习了一元一次方程 kx+b=0(k0)和一次函数 ykx+b(k0)后，讨论了它们之间的关系当一次函数中的函数值 y=0 时，一次函数 y=kx+b 就转化成了一元一次方程 kx+b=0，且一次函数)y=kx+b(k0)的图象与 x 轴交点的横坐标即为一元一次方程kx+b0 的解现在我们学习了一元二次方程 ax2+bx+c0(a0)和二次函数 yax 2+bx+c(a0)，它们之间是否也存在一定的关系呢?2.选教材提出的问题，直接引入新课合作交流 解读探究1.二次函
10、数与一元二次方程之间的关系探究：教材问题师生同步完成.观察：教材 22 页，学生小组交流.归纳：先由学生完成，然后师生评价，最后教师归纳.应用迁移 巩固提高1 .根据二次函数图像看一元二次方程的根同期声2 .抛物线与 x 轴的交点情况求待定系数的范围.3 .根据一元二次方程根的情况来判断抛物线与 x 轴的交点情况总结反思 拓展升华本节课学了如下内容：1经历了探索二次函数与一元：二次方程的关系的过程，体会了方程与函数之间的联系2理解了二次函数与 x 轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解了何时方程有两个不等的实根,两个相等的实根和没有实根.3.数学方法:分类讨论和数形结合.反思：在
11、判断抛物线与 x 轴的交点情况时，和抛物线中的二次项系数的正负有无关系？拓展：教案课后作业 P231.3.5二次函数的图象与性质（1）绿色圃中小学教育网 http:/www.L 绿色圃中学资源网 http:/cz.L绿色圃中小学教育网 http:/www.L 绿色圃中学资源网 http:/cz.L262本课知识要点会用描点法画出二次函数 2axy的图象，概括出图象的特点及函数的性质MM 及创新思维我们已经知道，一次函数 1，反比例函数 xy3的图象分别是 、，那么二次函数 2xy的图象是什么呢？（1）描点法画函数 2的图象前，想一想，列表时如何合理选值？以什么数为中心？当 x 取互为相反数的值
12、时，y 的值如何？（2）观察函数 2的图象，你能得出什么结论？实践与探索例 1在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并指出它们有何共同点？有何不同点？（1） 2xy（2） 2xy解 列表x -3 -2 -1 0 1 2 3 2y 18 8 2 0 2 8 18 x -18 -8 -2 0 -2 -8 -18 分别描点、连线，画出这两个函数的图象，这两个函数的图象都是抛物线，如图2621共同点：都以 y 轴为对称轴，顶点都在坐标原点不同点： 2x的图象开口向上，顶点是抛物线的最低点，在对称轴的左边，曲线自左向右下降；在对称轴的右边，曲线自左向右上升 2y的图象开口向下，顶点是抛物线的最高点，在
13、对称轴的左边，曲线自左向右上升；在对称轴的右边，曲线自左向右下降回顾与反思 在列表、描点时，要注意合理灵活地取值以及图形的对称性，因为图象是抛物线，因此，要用平滑曲线按自变量从小到大或从大到小的顺序连接例 2已知 42)(kxy是二次函数，且当 0x时， y 随 x 的增大而增大（1）求 k 的值；（2）求顶点坐标和对称轴解 （1）由题意，得 024k， 解得 k=2（2）二次函数为 xy，则顶点坐标为（0，0），对称轴为 y 轴例 3已知正方形周长为 Ccm，面积为 S cm2（1）求 S 和 C 之间的函数关系式，并画出图象；（2）根据图象，求出 S=1 cm2 时，正方形的周长；（3）根
14、据图象，求出 C 取何值时， S4 cm 2 分析 此题是二次函数实际应用问题，解这类问题时要注意自变量的取值范围；画图象时，自变量 C 的取值应在取值范围内解 （1）由题意，得 )0(162列表：C 2 4 6 8 16S194 描点、连线，图象如图 2622（2）根据图象得 S=1 cm2 时，正方形的周长是 4cm（3）根据图象得，当 C8cm 时，S 4 cm 2回顾与反思 （1）此图象原点处为空心点（2）横轴、纵轴字母应为题中的字母 C、S，不要习惯地写成 x、y（3）在自变量取值范围内，图象为抛物线的一部分当堂课内练习1在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并分别写出它们的开口方
15、向、对称轴和顶点坐标（1） 23xy （2） 23xy （3） 21xy2（1）函数 的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ；（2）函数 241xy的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 3已知等边三角形的边长为 2x，请将此三角形的面积 S 表示成 x 的函数，并画出图象的草图本课课外作业A 组1在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象（1） 24xy （2） 241xy2填空：（1）抛物线 25，当 x= 时，y 有最 值，是 （2）当 m= 时，抛物线 mx2)1(开口向下（3）已知函数 22)(kxky是二次函数，它的图象开口 ，当 x 时，y 随 x 的增大而增大3已知抛物线 102k中，当 时
16、，y 随 x 的增大而增大（1）求 k 的值； （2）作出函数的图象（草图）4已知抛物线 2axy经过点（1，3），求当 y=9 时，x 的值B 组5底面是边长为 x 的正方形，高为 05cm 的长方体的体积为 ycm3（1）求 y 与 x 之间的函数关系式；（2）画出函数的图象；（3）根据图象，求出 y=8 cm3 时底面边长 x 的值；（4）根据图象，求出 x 取何值时，y45 cm 36二次函数 2ay与直线 交于点 P（1，b）（1）求 a、b 的值；（2）写出二次函数的关系式，并指出 x 取何值时，该函数的 y 随 x 的增大而减小7 一个函数的图象是以原点为顶点，y 轴为对称轴的抛
17、物线，且过 M（-2，2）（1）求出这个函数的关系式并画出函数图象；（2）写出抛物线上与点 M 关于 y 轴对称的点 N 的坐标，并求出MON 的面积本课学习体会262 二次函数的图象与性质（2）本课知识要点会画出 kaxy2这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质MM 及创新思维同学们还记得一次函数 xy2与 1的图象的关系吗？ ，你能由此推测二次函数 2y与 2x的图象之间的关系吗？ ，那么 与 的图象之间又有何关系？ 实践与探索例 1在同一直角坐标系中，画出函数 2xy与 2的图象解 列表描点、连线，画出这两个函数的图象，如图2623 所x -3 -2 -1 0 1 2 3 2y 1
18、8 8 2 0 2 8 18 x 20 10 4 2 4 10 20 示回顾与反思 当自变量 x 取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系？反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系？探索 观察这两个函数，它们的开口方向、对称轴和顶点坐标有那些是相同的？又有哪些不同？你能由此说出函数 2y与 2x的图象之间的关系吗？例 2在同一直角坐标系中，画出函数 1与 12xy的图象，并说明，通过怎样的平移，可以由抛物线 2xy得到抛物线 解 列表描点、连线，画出这两个函数的图象，如图2624 所示x -3 -2 -1 0 1 2 3 12y -8 -3 0 1 0 -3 -8 x -10 -
19、5 -2 -1 -2 -5 -10 可以看出，抛物线 12xy是由抛物线 12xy向下平移两个单位得到的回顾与反思 抛物线 和抛物线 分别是由抛物线 2xy向上、向下平移一个单位得到的探索 如果要得到抛物线 42xy，应将抛物线 12xy作怎样的平移？例 3一条抛物线的开口方向、对称轴与 21相同，顶点纵坐标是-2 ，且抛物线经过点（1，1），求这条抛物线的函数关系式解 由题意可得，所求函数开口向上，对称轴是 y 轴，顶点坐标为（0，-2），因此所求函数关系式可看作 )(2axy， 又抛物线经过点（1，1），所以， 21a， 解得 3故所求函数关系式为 2xy回顾与反思 k（a、k 是常数，a
20、 0）的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标归纳如下：开口方向 对称轴 顶点坐标0kaxy2a当堂课内练习1 在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象： 2xy， 21xy， 21xy观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向及对称轴、顶点的位置你能说出抛物线 k2的开口方向及对称轴、顶点的位置吗？2抛物线 941xy的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，它可以看作是由抛物线 2向 平移 个单位得到的3函数 32xy，当 x 时，函数值 y 随 x 的增大而减小当 x 时，函数取得最 值，最 值 y= 本课课外作业A 组1已知函数 231xy， 32xy， 21xy（1）分别画出它们的图象
21、；（2）说出各个图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；（3）试说出函数 52xy的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标2 不画图象，说出函数 3412的开口方向、对称轴和顶点坐标，并说明它是由函数 241xy通过怎样的平移得到的3若二次函数 a的图象经过点（-2，10），求 a 的值这个函数有最大还是最小值？是多少？B 组4在同一直角坐标系中 bxy2与 )0,(bxy的图象的大致位置是( ) 5已知二次函数 7)1(82kxy，当 k 为何值时，此二次函数以 y 轴为对称轴？写出其函数关系式本课学习体会262 二次函数的图象与性质（3）本课知识要点会画出 2)(hxay这类函数的图象，通过比较，了解
22、这类函数的性质MM 及创新思维我们已经了解到，函数 kaxy2的图象，可以由函数 2axy的图象上下平移所得，那么函数 2)(1xy的图象，是否也可以由函数 21xy平移而得呢？画图试一试，你能从中发现什么规律吗？实践与探索例 1在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象 2xy， 2)(x ， 2)(1xy，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标解 列表描点、连线，画出这三个函数的图象，如图 2625所示它们的开口方向都向上；对称轴分别是 y 轴、直线 x= -2 和直线 x=2；顶点坐标分别是（0，0），（-2，0），（2，0）回顾与反思 对于抛物线 2)(1xy，当 x 时，函数值 y 随
23、x 的增大而减小；当 x 时，函数值 y 随 x 的增大而增大；当 x 时，函数取得最 值，最 值 y= 探索 抛物线 2)(1和抛物线 2)(1y分别是由抛物线 2向左、向右x -3 -2 -1 0 1 2 3 21y92 0 29)(x10 2 58 2y58 92 10 2平移两个单位得到的如果要得到抛物线 2)4(1xy，应将抛物线 21xy作怎样的平移？例 2不画出图象，你能说明抛物线 23与 2)(之间的关系吗?解 抛物线 23xy的顶点坐标为（0，0）；抛物线 3xy的顶点坐标为（-2，0）因此，抛物线 2与 2)(x形状相同，开口方向都向下，对称轴分别是 y轴和直线 x抛物线
24、3y是由 23xy向左平移 2 个单位而得的回顾与反思 2)(ha（a、h 是常数，a 0）的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标归纳如下：开口方向 对称轴 顶点坐标02)(hxaya当堂课内练习1画图填空：抛物线 2)1(xy的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，它可以看作是由抛物线 向 平移 个单位得到的2在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象 2xy， 2)3(xy ， 2)3(xy，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标本课课外作业A 组1已知函数 21xy， 2)1(xy， 2)1(xy（1）在同一直角坐标系中画出它们的图象；（2）分别说出各个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；（3）分
25、别讨论各个函数的性质2根据上题的结果，试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线 21xy得到抛物线 2)1(xy和 2)1(xy？3函数 3，当 x 时，函数值 y 随 x 的增大而减小当 x 时，函数取得最 值，最 值 y= 4不画出图象，请你说明抛物线 25y与 2)4(之间的关系B 组5将抛物线 2axy向左平移后所得新抛物线的顶点横坐标为 -2，且新抛物线经过点（1，3），求 的值本课学习体会262 二次函数的图象与性质（4）本课知识要点1掌握把抛物线 2axy平移至 2)(hxay+k 的规律；2会画出 )(h+k 这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质MM 及创新思维由前面的
26、知识，我们知道，函数 2xy的图象，向上平移 2 个单位，可以得到函数2xy的图象；函数 2的图象，向右平移 3 个单位，可以得到函数)3(的图象，那么函数 xy的图象，如何平移，才能得到函数2xy的图象呢？实践与探索例 1在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象 2xy， 2)1(x， 2)1(xy，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标解 列表x -3 -2 -1 0 1 2 3 描点、连线，画出这三个函数的图象，如图 2626 所示它们的开口方向都 向 ，对称轴分别为 、 、 ，顶点坐标分别为 、 、 请同学们完成填空，并观察 三个图象之间的关系回顾与反思 二次函数的图象的上下平移，只影响
27、二次函数 2)(hxay+k 中 k 的值；左右平移，只影响 h 的值，抛物线的形状不变，所以平移时，可根据顶点坐标的改变，确定平移前、后的函数关系式及平移的路径此外，图象的平移与平移的顺序无关探索 你能说出函数 2)(hxay+k（a、h、k 是常数，a0）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？试填写下表开口方向 对称轴 顶点坐标02)(hxay+k a例 2把抛物线 cbxy2向上平移 2 个单位，再向左平移 4 个单位，得到抛物线xy，求 b、c 的值分析 抛物线 2xy的顶点为（0，0），只要求出抛物线 cbxy2的顶点，根据顶点坐标的改变，确定平移后的函数关系式，从而求出 b、c 的
28、值21xy 92 10 22 9)( 8 2 01221xy 650 3-2 0 解 cbxy2 cbx422 4)(22bcx向上平移 2 个单位，得到 )(22y，再向左平移 4 个单位，得到 4)(22bcx，其顶点坐标是 )4,2(2bc，而抛物线 2xy的顶点为（0，0），则024bc解得 18探索 把抛物线 cbxy2向上平移 2 个单位，再向左平移 4 个单位，得到抛物线2xy，也就意味着把抛物线 y向下平移 2 个单位，再向右平移 4 个单位，得到抛物线 c那么，本题还可以用更简洁的方法来解，请你试一试当堂课内练习1将抛物线 1)4(22xy如何平移可得到抛物线 2xy （ ）
29、A向左平移 4 个单位，再向上平移 1 个单位B向左平移 4 个单位，再向下平移 1 个单位C向右平移 4 个单位，再向上平移 1 个单位D向右平移 4 个单位，再向下平移 1 个单位2把抛物线 23xy向左平移 3 个单位，再向下平移 4 个单位，所得的抛物线的函数关系式为 3抛物线 21xy可由抛物线 21xy向 平移 个单位，再向 平移 个单位而得到本课课外作业A 组1在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象 23xy， 2)(xy， 1)2(3xy，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标2将抛物线 52先向下平移 1 个单位，再向左平移 4 个单位，求平移后的抛物线的函数关系式 3将抛物
30、线 312xy如何平移，可得到抛物线 321xy？B 组4把抛物线 cb2向右平移 3 个单位，再向下平移 2 个单位，得到抛物线532xy，则有 （ ）Ab =3，c=7 Bb= -9，c= -15 Cb=3，c=3 Db= -9 ，c=215抛物线 cbxy2是由抛物线 132bxy向上平移 3 个单位，再向左平移 2 个单位得到的，求 b、c 的值6将抛物线 )0(2a向左平移 h个单位，再向上平移 k个单位，其中h0，k0，求所得的抛物线的函数关系式本课学习体会262 二次函数的图象与性质（5）本课知识要点1能通过配方把二次函数 cbxay2化成 2)(hxay+k 的形式，从而确定开
31、口方向、对称轴和顶点坐标；2会利用对称性画出二次函数的图象MM 及创新思维我们已经发现，二次函数 1)3(22xy的图象，可以由函数 2xy的图象先向 平移 个单位，再向 平移 个单位得到，因此，可以直接得出：函数1)3(22xy的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 那么，对于任意一个二次函数，如 232xy，你能很容易地说出它的开口方向、对称轴和顶点坐标，并画出图象吗？实践与探索例 1通过配方，确定抛物线 642xy的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点画图解 642xy8)1(26)(2x因此，抛物线开口向下，对称轴是直线 x=1，顶点坐标为（1，8）由对称性列表：x -2 -1 0 1 2 3
32、 4 642y -10 0 6 8 6 0 -10 描点、连线，如图 2627 所示回顾与反思 （1）列表时选值，应以对称轴 x=1 为中心，函数值可由对称性得到，（2）描点画图时，要根据已知抛物线的特点，一般先找出顶点，并用虚线画对称轴，然后再对称描点，最后用平滑曲线顺次连结各点探索 对于二次函数 cbxay2，你能用配方法求出它的对称轴和顶点坐标吗？请你完成填空：对称轴 ，顶点坐标 例 2已知抛物线 9)(2的顶点在坐标轴上，求 a的值分析 顶点在坐标轴上有两种可能：（1）顶点在 x 轴上，则顶点的纵坐标等于 0；（2）顶点在 y 轴上，则顶点的横坐标等于 0解 9)2(2xa4)2(9)
33、2(aa，则抛物线的顶点坐标是 ,当顶点在 x 轴上时，有 02a，解得 当顶点在 y 轴上时，有 4)(9，解得 a或 8所以，当抛物线 )2(2x的顶点在坐标轴上时， a有三个值，分别是 2，4，8当堂课内练习1（1）二次函数 xy2的对称轴是 （2）二次函数 1的图象的顶点是 ，当 x 时，y 随 x 的增大而减小（3）抛物线 642xay的顶点横坐标是-2，则 a= 2抛物线 c的顶点是 )1,3(，则 、c 的值是多少？本课课外作业A 组1已知抛物线 2512xy，求出它的对称轴和顶点坐标，并画出函数的图象2利用配方法，把下列函数写成 2)(hay+k 的形式，并写出它们的图象的开口
34、方向、对称轴和顶点坐标（1） 162xy（2） 432x（3） n （4） qpy3已知 62)(kxy是二次函数，且当 0x时， y 随 x 的增大而增大（1）求 k 的值；（2）求开口方向、顶点坐标和对称轴 B 组4当 0a时，求抛物线 221axy的顶点所在的象限5. 已知抛物线 hx42的顶点 A 在直线 14xy上，求抛物线的顶点坐标本课学习体会262 二次函数的图象与性质（6）本课知识要点1会通过配方求出二次函数 )0(2acbxy的最大或最小值；2在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实际问题中的最大或最小值MM 及创新思维在实际生活中，我们常常会
35、碰到一些带有“最”字的问题，如问题：某商店将每件进价为 80 元的某种商品按每件 100 元出售，一天可销出约 100件该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润经过市场调查，发现这种商品单价每降低 1 元，其销售量可增加约 10 件将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大？在这个问题中，设每件商品降价 x 元，该商品每天的利润为 y 元，则可得函数关系式为二次函数 2002xy那么，此问题可归结为：自变量 x 为何值时函数 y取得最大值？你能解决吗? 实践与探索例 1求下列函数的最大值或最小值（1） 532xy； （2） 432xy分析 由于函数 2和 的自变量 x 的取值范围是全体
36、实数，所以只要确定它们的图象有最高点或最低点，就可以确定函数有最大值或最小值解 （1）二次函数 532xy中的二次项系数 20，因此抛物线 x有最低点，即函数有最小值因为 532xy= 849)3(22，所以当 4时，函数 5xy有最小值是 849（2）二次函数 42x中的二次项系数-10，因此抛物线 3y有最高点，即函数有最大值因为 2x= 425)(，所以当 时，函数 xy有最大值是 425回顾与反思 最大值或最小值的求法，第一步确定 a 的符号，a0 有最小值，a0 有最大值；第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值探索 试一试，当 25x35 时，求二次函数 32xy的最
37、大值或最小值例 2某产品每件成本是 120 元，试销阶段每件产品的销售价 x（元）与产品的日销售量y（件）之间关系如下表：x（元） 130 150 165y（件） 70 50 35若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数，要获得最大销售利润，每件产品的销售价定为多少元？此时每日销售利润是多少？分析 日销售利润=日销售量每件产品的利润，因此主要是正确表示出这两个量解 由表可知 x+y=200，因此，所求的一次函数的关系式为 20xy设每日销售利润为 s 元，则有 16)()120(2xy因为 ,20x，所以 0x所以，当每件产品的销售价定为 160 元时，销售利润最大，最大销售利润为 1600
38、元回顾与反思 解决实际问题时，应先分析问题中的数量关系，列出函数关系式，再研究所得的函数，得出结果例 3如图 2628，在 RtABC 中，C=90，BC=4，AC=8，点 D 在斜边 AB 上，分别作 DEAC，DFBC，垂足分别为E、F，得四边形 DECF，设 DE=x，DF=y （1）用含 y 的代数式表示 AE；（2）求 y 与 x 之间的函数关系式，并求出 x 的取值范围；（3）设四边形 DECF 的面积为 S，求 S 与 x 之间的函数关系，并求出 S 的最大值解 （1）由题意可知，四边形 DECF 为矩形，因此yDFACE8（2）由 B，得 ACE，即 84yx，所以， xy2，
39、x 的取值范围是 0（3） )2(2)8( xxS ，所以，当 x=2 时，S 有最大值 8当堂课内练习1对于二次函数 mxy2，当 x= 时，y 有最小值2已知二次函数 ba)1(有最小值 1，则 a 与 b 之间的大小关系是 （ ）Aab Ba=b Cab D不能确定3某商场销售一批衬衫，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 件，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经过市场调查发现，如果每件衬衫每降价 1 元，商场平均每天可多售出 2 件（1）若商场平均每天要盈利 1200 元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？本课课
40、外作业A 组1求下列函数的最大值或最小值（1） xy2； （2） 12xy2已知二次函数 m6的最小值为 1，求 m 的值，3心理学家发现，学生对概念的接受能力 y 与提出概念所用的时间 x（单位：分）之间满足函数关系： )30(4.21.0xxyy 值越大，表示接受能力越强（1）x 在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x 在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？（2）第 10 分时，学生的接受能力是多少？（3）第几分时，学生的接受能力最强？B 组4不论自变量 x 取什么数，二次函数 mxy62的函数值总是正值，求 m 的取值范围5如图，有长为 24m 的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度 a
41、 为 10m），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃设花圃的宽 AB 为 x m，面积为 S m2（1）求 S 与 x 的函数关系式；（2）如果要围成面积为 45 m2 的花圃，AB 的长是多少米？（3）能围成面积比 45 m2 更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由6如图，矩形 ABCD 中，AB=3，BC=4 ，线段 EF 在对角线AC 上，EGAD，FHBC ，垂足分别是 G、H，且EG+FH=EF（1）求线段 EF 的长；（2）设 EG=x，AGE 与 CFH 的面积和为 S，写出 S 关于 x 的函数关系式及自变量 x 的取值范围，并求出 S 的最小值本课
42、学习体会26 . 2 二次函数的图象与性质（7）本课知识要点会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的函数关系式MM 及创新思维一般地，函数关系式中有几个独立的系数，那么就需要有相同个数的独立条件才能求出函数关系式例如：我们在确定一次函数 )0(kbxy的关系式时，通常需要两个独立的条件：确定反比例函数 )0(k的关系式时，通常只需要一个条件：如果要确定二次函数 2acbxy的关系式，又需要几个条件呢？实践与探索例 1某涵洞是抛物线形，它的截面如图 2629 所示，现测得水面宽 16m，涵洞顶点 O 到水面的距离为 24m ，在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？分析 如图
43、，以 AB 的垂直平分线为 y 轴，以过点 O 的 y 轴的垂线为 x 轴，建立了直角坐标系这时，涵洞所在的抛物线的顶点在原点，对称轴是 y 轴，开口向下，所以可设它的函数关系式是 )0(2axy此时只需抛物线上的一个点就能求出抛物线的函数关系式解 由题意，得点 B 的坐标为（ 08，-24），又因为点 B 在抛物线上，将它的坐标代入 )0(2axy，得 2a所以 415因此，函数关系式是 2xy例 2根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式（1）已知二次函数的图象经过点 A（0，-1 ）、B （1，0）、C（-1，2）；（2）已知抛物线的顶点为（1，-3），且与 y 轴交于点（0，1）；
44、（3）已知抛物线与 x 轴交于点 M（-3，0）、（5，0），且与 y 轴交于点（0，-3 ）；（4）已知抛物线的顶点为（3，-2），且与 x 轴两交点间的距离为 4分析 （1）根据二次函数的图象经过三个已知点，可设函数关系式为cbaxy2的形式；（2）根据已知抛物线的顶点坐标，可设函数关系式为3)1(，再根据抛物线与 y 轴的交点可求出 a 的值；（3）根据抛物线与 x 轴的两个交点的坐标，可设函数关系式为 )5(x，再根据抛物线与 y 轴的交点可求出 a 的值；（4）根据已知抛物线的顶点坐标（3，-2），可设函数关系式为 2)(xy，同时可知抛物线的对称轴为 x=3，再由与 x 轴两交点间的距离为 4，可得抛物线与 x 轴的两个交点为（1，0）和（5，0），任选一个代入 2)3(xay，即可求出 a 的值解 （1）设二次函数关系式为 cbxay2，由已知，这个函数的图象过（0，-1），可以得到 c= -1又由于其图象过点（ 1，0）、（-1 ，2）两点，可以得到3解这个方程组，得a=2，b= -1所以，所求二次函数的关系式是 12xy（2）因为抛物线的顶点为（1，-3），所以设二此函数的关系式为 3)1(2xay，又由于抛物线与 y 轴交于点（0，1），可以得到 3)10(2a解得 4所以，所求二次函数的关系式是 18)(22xxy（3）因为抛物线与
