1、【高考地位】在高考中数列部分的考查既是重点又是难点，不论是选择题或填空题中对基础知识的考查，还是压轴题中与其他章节知识的综合，抓住数列的通项公式通常是解题的关键和解决数列难题的瓶颈。求通项公式也是学习数列时的一个难点。由于求通项公式时渗透多种数学思想方法，因此求解过程中往往显得方法多、灵活度大、技巧性强。【方法点评】方法一 数学归纳法解题模板：第一步 求出数列的前几项，并猜想出数列的通项；第二步 使用数学归纳法证明通项公式是成立的.例 1 若数列 的前 n 项和为 ，且方程 有一个根为 1，n=1,2,3ans20nxans(1) 求 ；（2）猜想数列 的通项公式，并用数学归纳法证明, S试题
2、解析：解：（1） 12,6a（2）由 知2()()0nnnS210nnSaS代入1na21a（）0n()【变式演练 1】已知数列 na满足 1 1228()8139nnaa， ，求数列 na的通项公式。由此可知，当 1nk时等式也成立。根据（1） ， （2）可知，等式对任何 *nN都成立。【变式演练 2】把数列 （ ）依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号四个数，第五个括号一个数，第六个括号两个数， 进行摆放，即（3） ， （5，7） ， （9，11，13） ， （15，17，19，21） ， （23） ， （25，27） ， （29，31，33） ，（35，3
3、7，39，41） ， （43） ， （45，47） ，则第 104 个括号内各数之和为（ ）A2072 B2060 C2048 D2036【答案】A 【解析】试题分析：该摆放具有周期性，周期为 4，即一个周期内有 4 个括号，而第 104 个括号位于第 26 个周期内， 又第一个周期中最后一个数为 21，第二个周期最后一个数为 41，第三个周期最后一个数为 81，易知每个周期的最后一个数依次构成以 21 为首项，公差为 20 的等差数列，由此可得第 104 个括号内的最后一个数为 521，由此得第 104 个括号内的四个数为515、517、519、521.考点：归纳推理的应用。方法二 法nS使
4、用情景：已知 ()()nnSfaf或解题模板：第一步 利用 满足条件 ，写出当 时， 的表达式；p21n第二步 利用 ，求出 或者转化为 的递推公式的形式；1()nnSana第三步 根据 求出 ，并代入 的通项公式进行验证，若成立，则合1an并；若不成立，则写出分段形式或根据 和 的递推公式求出 .1 n例 2 已知数列 的前项和为 ，若 ， ，则 （ ）nnS=24naNaA B C D1n-12-【答案】A【解析】考点：递推关系式的应用【方法点晴】本题主要考查了数列的递推关系、等比数列的性质等知识的应用，本题的解答中利用递推关系式，两式相减可得 ，即 ，所以得到数列 是首12nna12na
5、na项为，公比是的等比数列是解答问题的关键，着重考查了学生的推理与运算能力，以及分析问题和解答问题的能力，属于中档试题【变式演练 3】已知数列 的前项和为 ，若 ，则 （ ）nanS=2-4naN， =naA. B. C. D. 12nn-12-2【答案】 A.【解析】试题分析： ，再令 ，11124()2nnnnaSaa1n ，数列 是以 4 为首项，2 为公比是等比数列，124S ，故选 A.1n考点：本题主要考查数列的通项公式.【变式演练 4】在数列 中， ，na1 )(21.32Nnana（1）求数列 的通项 ；n（2）若存在 ，使得 成立，求实数 的最小值.*N()n【答案】 （1）
6、 ；(2)21,3nna13方法三 累加法使用情景：型如 或1()naf1()naf解题模板：第一步 将递推公式写成 ；第二步 依次写出 ，并将它们累加起来；121,n第三步 得到 的值，解出 ；ana第四步 检验 是否满足所求通项公式，若成立，则合并；若不成立，则写出分1段形式.例 3 数列 na满足 1，对任意的 *nN都有 nan1，则201621aa（ ）A、 5 B、 437 C、 403217 D、 20167【答案】B【解析】试题分析： ， ，即 ， ，11nan 11nan 21a323，an1等式两边同时相加得 ，nan4321即 ，则1234na 12，1nn ，故选：B.
7、 123201611230627aa 403考点：数列求和.【思路点晴】本题主要考查数列求和的应用，根据数列的递推关系，利用累加法求出数列的通项公式以及，利用裂项法进行求和是解决本题的关键在求数列前项和之前，必须先求出其通项公式，根据通项公式的特征决定采用何种方法，根据数列的递推公式 ，nfan1可利用累加法求出数列的通项公式，根据 结合裂项法进行求和121nan即可【变式演练 5】在数列 na中， 1=1， 1n (n=2、3、4) ，求 na的通项公式。【答案】2na【变式演练 6】已知数列a n满足 a1 ，a n1 a n ，求 an.12 1n2 n【答案】 312na方法四 累乘法
8、使用情景：型如 或1()naf1()naf解题模板：第一步 将递推公式写成 ；1()nf第二步 依次写出 ，并将它们累加起来；21,na第三步 得到 的值，解出 ；1nn第四步 检验 是否满足所求通项公式，若成立，则合并；若不成立，则写出分a段形式.例 4 已知数列 n满足 nna求,1,321【答案】 a32【变式演练 7】已知数列 na中， 1=1， （n )N，则数列 na的通项公式na21为（ ） A B12na na2C D)(n n【答案】C【解析】试题分析： ,123113241 12nn nnaaa 即 故 C 正确1 11231222nnnn考点：1 累乘法求通项公式；2 等
9、差数列的前项和方法五 构造法一使用情景：型如 （其中 为常数，且 ）1nnapq,p(1)0,pq解题模板：第一步 假设将递推公式改写为 an1 tp(a nt)；第二步 由待定系数法，解得 ；第三步 写出数列 的通项公式；1nqap第四步 写出数列 通项公式.n例 5 已知数列 na满足 1=1， 1a=2n ( N)，求数列 na的通项公式。【答案】 n=2 【变式演练 8】如题图，已知点 为 的边 上一点， ， 为DABC3BDC()nEN边 上的列点，满足 ，其中实数列 中 ，AC1(32)4nnnEaEa10,则 的通项公式为（ ）naA B C D132n 21n32n13n【答案
10、】D【解析】试题分析：因为 ，所以 设 ，则由3DC143nnnEBEnmEA ，得 ， ，所以14nnEAaB(2)n 1ma(32)a，所以 ()1()na因为 ，所以数列 是以 2 为首项，3 为公比的等比数列，所以12n，所以 ，故选 D13nna 1考点：1、向量的加减运算；2、等比数列的定义及通项公式【变式演练 10】已知数列a n中，a 11，a n1 2a n 3，求 an.【答案】a n2 n1 3.方法六 构造法二使用情景：型如 （其中 为常数，且 ）1nnapqr,pq(1)0,pq解题模板：第一步 假设将递推公式改写为 ；1()nnaxyaxy第二步 由待定系数法，求出
11、 的值；,y第三步 写出数列 的通项公式；naxy第四步 写出数列 通项公式.例 6 已知数列 n满足 21 1345nna， ，求数列 na的通项公式。【答案】 42308na21301832a为首项，以 2 为公比的等比数列，因此1nn ，则 43108na。例 7 已知数列 中的 分别为直线 在轴、 轴上的截距，且n12,+2xy-=y，则数列 的通项公式为 21na+-=na【答案】 .()34n-【解析】试题分析：由已知得： ，已知条件可化为 ，设12,a213nnaa，可化为： ，则 ，解得：211nnaxyx 21nnnayxy2x，即 ，所以数列 是以为首项，为公比的等比数3y
12、2113nna1na列，则 两边同时除以 转化为：1n 1n，即数列 是以 为首项， 为公1133434nnnnaaa134na213比的等比数列，所以 1 1224nn nn a考点：1.等比数列的通项公式；2.构造等比数列【方法点晴】本题主要考察的是等比数列的通项公式和根据递推数列构造等比数列，属于难题本题两次构造等比数列，首先设 ，再根据已知条件211nnaxyax确定 的值，构造数列 为等比数列；第二，根据213nnaa,xyn，两边同时除以 得数列 为等比数列，从而得解因为两次构造1n 13n4n等比数列，做题过程中要注意认真计算，否则容易出现错误【变式演练 11】 设数列a n满足
13、 a14，a n3a n1 2n1(n2)，求 an.【答案】a n23 nn1.【变式演练 12】已知数列 中 ，函数 na122()1xf（1）若正项数列 满足 ，试求出 ， ， ，由此归纳出通项 ，并加n()nf2a34na以证明；（2）若正项数列 满足 （nN *） ，数列 的前项和为 Tn，且 ，na1()nnfnb21nb求证： 1nT【答案】 （1） ， ；（2）证明见解析2348,59aa1n【解析】， ，也可把 变形为324()35aff348()59aff1()nnaf，由累乘法得： ，从而得 ，即 ，最终有1na112nna12nn12n12nnab，这样 可用裂项相消法
14、求出（放缩后） ，证得结论1(2)n12nnnT试题解析：（1）依题意， ， ，3212a24351a，由此归纳得出： ；34428519a 12n证明如下： ， ，12nna1122nnna ，1()nn数列 是以 1 为首项、 为公比的等比数列，na2 ， ；12nn112nnn（2） （nN *） ，1()nnnaaf ，1()nn ，12na累乘得： ，112nna ，即 ，12nna12nna ，1nn ，11122()2nnn nnab 01212n nnT 12n考点：归纳法，等比数列的公式，累乘法，放缩法证明不等式方法七 构造法三使用情景：型如 （其中 为常数，且 ）1nnap
15、q,p(1)0,pq解题模板：第一步 在递推公式两边同除以 ，得 ；1n1nna第二步 利用方法五，求数列 的通项公式；nq第三步 写出数列 通项公式.na例 7 已知数列 n满足 112356na， ，求数列 na的通项公式。【答案】例 8 已知数列 na满足 123nna， 12，求数列 na的通项公式。【答案】 3()2【变式演练 13】 已知数列a n中，a 1 ，a n1 an n1 ，求 an.56 13 (12)【答案】b n32 n，a n 3 n2 n.(23) bn2n (12) (13)【解析】法一：在 an1 an n1 两边乘以 2n1 ，得 2n1 an1 (2na
16、n)1.13 (12) 23令 bn2 nan，则 bn1 bn 1，23方法八 构造法四使用情景：型如 （其中 为常数，且 ）11nnapqa,pq0,2pqn解题模板：第一步 假设将递推公式改写成 ；11()nsats第二步 利用待定系数法，求出 的值；,t第三步 求数列 的通项公式；1nas第四步 根据数列 的通项公式，求出数列 通项公式.n na例 9 数列 na中， na12213, ，求数列 的通项公式。【答案】 )(437n【变式演练 14】已知数列 na满足 *1221,4,3().nnaaN（1）求 34,a的值；（2）证明：数列 n是等比数列；（3）求数列 na的通项公式；
17、【答案】见解析方法九 构造五使用情景：型如 （其中 为常数）1nnpaqr,qr解题模板：第一步 将递推公式两边取倒数得 ；1nnqap第二步 利用方法五，求出数列 的通项公式；n第三步 求出数列 通项公式.na例 10 已知数列 n满足 ,131n求数列 na的通项公式。【答案】 132na【变式演练 15】已知数列a n的首项 a1 ，a n1 ，n1,2,3，求a n的通项公35 3an2an 1式【答案】a n .3n3n 2【解析】a n1 ， ，3an2an 1 1an 1 23 13an 1 .1an 1 13(1an 1)又 1 ，1a1 23 是以 为首项， 为公比的等比数列
18、，1an 1 23 13 1 ，1an 23 13n 1 23na n . 3n3n 2方法十 构造六使用情景：型如 1(2,0)rnpa解题模板：第一步 对递推公式两边取对数转化为 ；1nbpq第二步 利用方法五，求出数列 的通项公式；第三步 求出数列 通项公式.na例 11 若数列 na中， 1=3 且 21（n 是正整数） ，求它的通项公式是 na。【变式演练 16】已知数列a n中，a 11，a n1 a (a0)，求数列a n的通项公式1a 2n【答案】 12n所以 bnc nlg 2 n1 lg lg1a 1a 1alg lga ，a(1a)2n 1即 lg anlga ，所以 .
19、12n【高考再现】1.【2016 高考新课标文数】已知各项都为正数的数列 na满足 1，211()20nnaa.（I）求 3,；（II）求 n的通项公式.【答案】 （） 41,23a；（） 12na【解析】试题解析：（）由题意得 41,23a. .5 分（）由 0)12(1nna得 )1()(1nna.因为 na的各项都为正数，所以 21na，故 n是首项为，公比为 的等比数列，因此 1n. 12 分考点：1、数列的递推公式；2、等比数列的通项公式【方法总结】等比数列的证明通常有两种方法：（1）定义法，即证明 1naq（常数） ；（2）中项法，即证明 212nna根据数列的递推关系求通项常常要
20、将递推关系变形，转化为等比数列或等差数列来求解2. 【2016 高考浙江理数】设数列a n的前 n 项和为 Sn.若 S2=4，a n+1=2Sn+1，nN *，则 a1= ，S 5= .【答案】 12【解析】试题分析： 121124, ,3aaa，再由 1,() 3(2)nnnnnS a，又 213a，所以51533(),12.a考点：1、等比数列的定义；2、等比数列的前项和【易错点睛】由 1nS转化为 13na的过程中，一定要检验当 1n时是否满足13na，否则很容易出现错误3.【2016 高考山东理数】 （本小题满分 12 分）已知数列 n 的前 n 项和 Sn=3n2+8n， nb是等
21、差数列，且 1.nnab （）求数列 nb的通项公式；【答案】 （） 13.考点：1.等差数列的通项公式；2.等差数列、等比数列的求和；3.“错位相减法”.【名师点睛】本题主要考查等差数列的通项公式及求和公式、等比数列的求和、数列求和的“错位相减法”.此类题目是数列问题中的常见题型.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高.解答本题，布列方程组，确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数.本题能较好的考查考生的逻辑思维能力及基本计算能力等.4. 【2016 高考新课标 3 理数】已知数列 na的前 n 项和 1nnSa，其中 0（I）证明 na是等比数
22、列，并求其通项公式；（II）若 5132S ，求 【答案】 （） 1)(nna；（） 1【解析】试题分析：（）首先利用公式 12nnSa，得到数列 na的递推公式，然后通过变换结合等比数列的定义可证；（）利用（）前项和 nS化为 的表达式，结合 5S的值，建立方程可求得 的值（）由（）得 nnS)1(，由 3215S得 321)(5，即 5)(321，解得 1考点：1、数列通项 na与前项和为 n关系；2、等比数列的定义与通项及前项和为 nS【方法总结】等比数列的证明通常有两种方法：（1）定义法，即证明 1naq（常数） ；（2）中项法，即证明 212nna根据数列的递推关系求通项常常要将递推
23、关系变形，转化为等比数列或等差数列来求解5.【2015 高考新课标 1，文 7】已知 是公差为 1 的等差数列， 为 的前项和，若nanSa，则 （ ）84S0a（A） （B） （C） （D）729202【答案】B【考点定位】等差数列通项公式及前 n 项和公式【名师点睛】解等差数列问题关键在于熟记等差数列定义、性质、通项公式、前 n 项和公式，利用方程思想和公式列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，利用等差数列性质可以简化计算.6.【2015 高考福建，文 17】等差数列 中， ， na24715a（）求数列 的通项公式；na（）设 ，求 的值2nab12310bb【答案】 （） ；（）
24、n【考点定位】1、等差数列通项公式；2、分组求和法【名师点睛】确定等差数列的基本量是 所以确定等差数列需要两个独立条件，求数列1,ad前 n 项和常用的方法有四种：（1）裂项相消法（通过将通项公式裂成两项的差或和，在前n 项相加的过程中相互抵消） ；（2）错位相减法（适合于等差数列乘以等比数列型） ；（3）分组求和法(根据数列通项公式的特点，将其分解为等差数列求和以及等比数列求和)；（4）奇偶项分析法（适合于整个数列特征不明显，但是奇数项之间以及偶数项之间有明显的等差数列特征或等比数列特征） 7.【2015 高考山东，理 18】设数列 的前 n 项和为 .已知 .anS23n（I）求 的通项公
25、式；na（II）若数列 满足 ，求 的前 n 项和 .b3lognnbT【答案】 （I） ; （II） .13,na16324nnT【考点定位】1、数列前项和 与通项 的关系；2、特殊数列的求和问题.nSna【名师点睛】本题考查了数列的基本概念与运算，意在考查学生的逻辑思维能力与运算求解能力，思维的严密性和运算的准确性，在利用 与通项 的关系求 的过程中，一定要注nSnan意 的情况，错位相减不法虽然思路成熟但也对学生的运算能力提出了较高的要求. 1n8. 【2015 高考安徽，文 18】已知数列 是递增的等比数列，且na14239,8.a（）求数列 的通项公式；na（）设 为数列 的前 n
26、项和， ，求数列 的前 n 项和 .nS1nbSbT【答案】 （） （） 12na12n【考点定位】本题主要考查等比数列的通项公式、性质，等比数列的前 n 项和，以及利用裂项相消法求和.【名师点睛】本题利用“若 ，则 ”，是解决本题的关键，同时考qpnmqpnma生发现 是解决本题求和的关键,本题考查了考生的基础运111nnnaSbS算能力.9.【2015 高考广东，文 19】 （本小题满分 14 分）设数列 的前项和为 ， 已知nanS， ， ，且当1a2354a2n时， 148nnSS（1）求 的值；（2）证明： 为等比数列；12nna（3）求数列 的通项公式n【答案】 （1） ；（2）证
27、明见解析；（3） 7812nna考点：1、等比数列的定义；2、等比数列的通项公式；3、等差数列的通项公式. 【名师点晴】本题主要考查的是等比数列的定义、等比数列的通项公式和等差数列的通项公式，属于难题本题通过将 的递推关系式转化为 的递推关系式，利用等比数列的定义进行证明，进而nSna可得通项公式，根据通项公式的特点构造成等差数列进行求解解题时一定要注意关键条件“ ”，否则很容易出现错误解本题需要掌握的知识点是等比数列的定义、等2比数列的通项公式和等差数列的通项公式，即等比数列的定义： （常数） ，等1naq比数列的通项公式： ，等差数列的通项公式：1naq1nd10.【2015 高考天津，理 18】已知数列 满足na，且2 12()*,nnaqN为 实 数 ， 且 ，成等差数列.345,a+(I)求的值和 的通项公式；n(II)设 ，求数列 的前项和.*21log,nbNanb【答案】(I) ; (II) .2,.n为 奇 数 ,为 偶 数 124nnS
