1、2.1 试述多元联合分布和边缘分布之间的关系。设 是 p 维随机向量，称由它的 q（0,200 , 其他 =(11)221 2(11)(22)12 + (22)222=(11)221 2(11)(22)12 + (22)222 +2(11)221 2(11)221(11)1 (22)22+（ 12） (11)221所以指数部分变为12(11)121(22)1222+(11)221 令 t= (22)122(11)121= 11222(1)=+(1,2)2= 1212(12)1/2(11)2221+(122) 1122= exp 121 (11)2221exp ，121 (11)2221 10=
2、(1)0 ，其他同理，exp ，122 (22)2222 20=(2)0 ，其他2.3 已知随机向量 的联合分布密度函数为=(1,2),其中,f（ 1,2） =2()(1)+()(2)2(1)(2)()2()2。求：1,2（1） 随机变量各自的边缘密度函数、均值与方差。解： =(1)=f（ 1,2） 22()(1)+()(2)2(1)(2)()2()2 2=2()(1)()2()2+ ()()2()22(2)2 2(1)()2()22(2)2=1同理，=(2)=f（ 1,2） 12()(1)+()(2)2(1)(2)()2()2 1=1babadxxfxE21111同理可得 2c ba bad
3、xbxdxfxD 1221111同理可得 22c（2） 随机变量的协方差和相关系数。E( = =1)= 1f（ 1） 1111+2E( = =2)= 2f（ 2） 2212+2E( = =12)= 12f（ 1） 1121113(2+2)E( =22)= 22f（ 2） 22212=13(2+2)D( E(1)= 12)E(1)2=112()2D( E(2)= 22)E(2)2=112()2Cov E(（ 1,2） = 12)E(1)E(2)E( =12)=112 f（ 1,2） 216(2+)(+)+16(2+)(+)19(2+)(2+).=Cov（ 1,2）136()()= =Cov（ 1
4、,2）D(1)D(2) 136()()112()() 13（3） 判断是否独立。f（ 1） f（ 2） = 1() 1()f（ 1,2）。1,2不相互独立2.4 设随机向量 服从正态分布，已知其协差阵为对=(1,2， )角阵，证明的分量是相互独立的随机变量。=1122不相关 =0 , 与 又 服从正态分布=(1,2， )相互独立。 （与 ， ， =1， 2， ， ）2.5解： 依据题意，X= 570001540200162145012 270001441875036120003812190084500015283508 13200190210001381200026E(X)=16=1()=(3
5、5650,12.33,17325,152.5)D(X)= 16=1()()= 16799000032416.67 32415.66710.8889 69768750614001392529.833697687501392561400029.833 30478125166562.5166562.513912.583注：利用 , S 其中 1pnX1()nnXI10nI在 SPSS 中求样本均值向量的操作步骤如下：1. 选择菜单项 AnalyzeDescriptive StatisticsDescriptives ，打开 Descriptives 对话框。将待估计的四个变量移入右边的 Variab
6、les 列表框中，如图 2.1。图 2.1 Descriptives 对话框2. 单击 Options 按钮，打开 Options 子对话框。在对话框中选择 Mean 复选框，即计算样本均值向量，如图 2.2 所示。单击 Continue 按钮返回主对话框。图 2.2 Options 子对话框3. 单击 OK 按钮，执行操作。则在结果输出窗口中给出样本均值向量，如表 2.1，即样本均值向量为（35.3333，12.3333 ，17.1667 ，1.5250E2） 。表 2.1 样本均值向量在 SPSS 中计算样本协差阵的步骤如下：1. 选择菜单项 AnalyzeCorrelateBivaria
7、te，打开 Bivariate Correlations 对话框。将三个变量移入右边的 Variables 列表框中，如图 2.3。图 2.3 Bivariate Correlations 对话框2. 单击 Options 按钮，打开 Options 子对话框。选择 Cross-product deviations and covariances 复选框，即计算样本离差阵和样本协差阵，如图 2.4。单击 Continue按钮，返回主对话框。图 2.4 Options 子对话框3. 单击 OK 按钮，执行操作。则在结果输出窗口中给出相关分析表，见表 2.2。表中 Covariance 给出样本协
8、差阵。 （另外，Pearson Correlation 为皮尔逊相关系数矩阵，Sum of Squares and Cross-products 为样本离差阵。 ）2.6 均值向量和协差阵的最大似然估计量具有哪些优良性质？1 ，即 是 的无偏估计；()EX，即 不是 的无偏估计，1nSS而 ，即 是 的无偏估计；()2 ， 分别是 ， 的有效估计；X1n3 ， （或 ）分别是 ， 的一致估计（相合估计） 。Slim(1 ） =lim(11 ） = ()EX2.7 试证多元正态总体 的样本均值向量证明： （ ） =（1（ ） ） =1（ （ ） ） =（ ） =（1（ ） ） =12(（ ） )
9、=12=(, )2.8 试证多元正态总体 的样本协差阵 为 的无偏估(, )11 计。证明：E( )=1=1()()=1=1()()()()=1=1()()()()= = )=1()() 1(1=1是 的无偏估计， S=n 1 为 的无偏估计11 2.9 设 是从多元正态总体 中独立抽（ 1） ,（ 2） ,（ ） (, )取的一个随机样本，试求样本协差阵 的分布。11解： ， 且相互独立，则样本离 (),)apNXna,21差阵 ，其中()()1(,)naapWSX()1naX的分布为 (1, )样 本 协 差 阵11 2.10 设 是来自 的数据阵，i=1,2, ,k() (, ) （1）已知 且 ，求 的估计。1= 1= 和 （2）已知 ，求 和 的估计。1= 1， ， 这道题我对自己的答案不是很确定。
